精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025—2026学年度第二学期期中质量检测试题（卷）八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° 6. 如图，等腰，周长为，，，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 在中，，，则的长度为__________． 12. 命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 13. 如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则______． 14. 如图，已知P是平分线上一点，交于点C，，垂足为D，且，则的面积等于_________． 15. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 16. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是________． 三、解答题（共12小题，计72分，解答应写出解题过程） 17. 求不等式的最小整数解． 18. 解不等式组：． 19. 如图，在中，请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不要求写作法，保留作图痕迹） 20. 已知：如图，，垂足分别为N，M，与相交于点P．求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将平移后，点A的对应点的坐标为，画出平移后的 （2）题中平移的距离是 个单位长度； （3）画出以原点O为对称中心与成中心对称的． 22. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．稻花香大米的米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种类型的稻花香大米，已知甲种类型稻花香大米每千克20元，乙种类型稻花香大米每千克16元．若该超市准备采购甲、乙两种类型稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种类型稻花香大米多少千克？ 23. 如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP=AP=AQ=QC，∠PAQ=60°. (1)求证：AB=AC； (2)求∠BAC的度数. 24. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游，选择甲旅行社实际收费（元），选择乙旅行社实际收费 （元）． （1）分别求出，与的关系式． （2）你认为他们应该选择哪家旅行社更合算？为什么？ 25. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC. (2)已知AC＝14，BE＝2，求AB的长. 26. 综合应用 综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题： （1）如图1，将绕点C顺时针旋转，得到，点恰好落在斜边上，连接，则______． （2）如图2，在中，，，点D，E在边上，，，且，请你求出的长度． （3）如图3，在四边形中，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中质量检测试题（卷）八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式基本性质．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解：A、∵，∴．故本选项的式子正确； B、∵，∴．故本选项的式子正确； C、∵，∴．故本选项的式子错误； D、∵，∴．故本选项的式子正确． 故选：C 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出不等式的解集，结合数轴即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 数轴表示如下： 4. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，计算各选项的内角度数，判断A、C、D，利用勾股定理的逆定理判断B． 【详解】解：A．∵，， ∴， 解得， ∴是直角三角形， ∴选项A不符合题意； B．∵， 可设，，，， ∵ ，， ∴， ∴不是直角三角形， ∴选项B符合题意； C．∵，， ∴， 解得， ∴是直角三角形， ∴选项C不符合题意； D．∵， 可设，，， ∴， 解得， 可得， ∴是直角三角形， ∴选项D不符合题意． 5. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° 【答案】C 【解析】 【分析】根据DF=DE，CG=CD，可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，∠GDC是△EFD的外角，∠ACB是△DGC的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是60°，即可得到答案． 【详解】解：∵DF=DE，CG=CD， ∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60° ∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°， ∴∠GDC=30°． 又∵∠GDC=∠E+∠EFD， ∴∠E=15°． 故选C 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应用外角的性质是解题的关键． 6. 如图，等腰，周长为，，，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质可得的长度，进而根据勾股定理，即可求解 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选：D 7. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 8. 如图，直线与直线相交于点，则关于不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，然后观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ，解得， ∴， 观察图象知：关于的不等式的解集为． 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：D． 10. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转的性质得到，可判断①，求得，可判断②，求得，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等腰三角形，故①符合题意； ∵， ∴，即 ∴， ∴，故②不符合题意； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， ∴符合题意的有， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 在中，，，则的长度为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 12. 命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，根据等腰三角形的定义，等腰三角形只需两边相等，而等边三角形需三边相等，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： “等边三角形是等腰三角形”的逆命题是：“等腰三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：假． 13. 如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴ ． 14. 如图，已知P是平分线上一点，交于点C，，垂足为D，且，则的面积等于_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的定义等知识，掌握角平分线的性质定理是关键． 过点P作于点E，然后根据平分线的性质可知，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 故答案为：9． 15. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解：∵， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 16. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，则，可得，作于点，由垂线段最短，可知的最小值为线段的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题（共12小题，计72分，解答应写出解题过程） 17. 求不等式的最小整数解． 【答案】 2 【解析】 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 ， ∴原不等式的最小整数解为2． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为 ． 19. 如图，在中，请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点D即可． 【详解】解：如图，点D即为所求． 证明：连接， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20. 已知：如图，，垂足分别为N，M，与相交于点P．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】如图，连接 利用证明从而可得结论. 【详解】证明：如图，连接 ， 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，掌握“斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键. 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将平移后，点A的对应点的坐标为，画出平移后的 （2）题中平移的距离是 个单位长度； （3）画出以原点O为对称中心与成中心对称的． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查图形的平移及勾股定理，中心对称图形的作法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据勾股定理求出平移距离即可； （3）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 如图，即为所作； 【小问2详解】 解：平移距离为， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，即为所作． 22. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．稻花香大米的米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种类型的稻花香大米，已知甲种类型稻花香大米每千克20元，乙种类型稻花香大米每千克16元．若该超市准备采购甲、乙两种类型稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种类型稻花香大米多少千克？ 【答案】超市最多采购甲种类型稻花香大米千克． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则乙种类型稻花香大米大米采购千克，依题意列出不等式，求解即可，掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 【详解】解：设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则乙种类型稻花香大米大米采购千克，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：超市最多采购甲种类型稻花香大米千克． 23. 如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP=AP=AQ=QC，∠PAQ=60°. (1)求证：AB=AC； (2)求∠BAC的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BAC=120°. 【解析】 【分析】（1）由AP=AQ，∠PAQ=60°可得△APQ是等边三角形，由BP=AP及外角性质可求出∠B=30°，同理可得∠C=30°，即可证明∠B=∠C，即可得AB=AC；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数即可. 【详解】（1）∵AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形，∠APQ=∠AQP=60°， ∵BP=AP， ∴∠B=∠BAP， ∵∠APQ=∠B+∠BAP=60°， ∴∠B=30°， 同理可得：∠C=30°， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC. （2）∵∠B=∠C=30°， ∴∠BAC=180°-2∠B=120°. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．熟练掌握相关性质是解题关键. 24. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游，选择甲旅行社实际收费（元），选择乙旅行社实际收费 （元）． （1）分别求出，与的关系式． （2）你认为他们应该选择哪家旅行社更合算？为什么？ 【答案】（1）， （2）当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算；当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两个旅行社所给的收费标准列出对应的关系式即可； （2）根据（1）所列关系式建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算； 时，， 解得， ∴当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算； 时，， 解得， ∴当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算； 综上所述，当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算；当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算． 【点睛】本题主要考查了列关系式，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 25. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC. (2)已知AC＝14，BE＝2，求AB的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)AB=10. 【解析】 【分析】(1)求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可； (2)根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案. 【详解】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴BD＝CD，BE＝CF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； (2)∵DE＝DF，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) ∴AE＝AF， ∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE， ∴AB＝14﹣2﹣2＝10. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 26. 综合应用 综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题： （1）如图1，将绕点C顺时针旋转，得到，点恰好落在斜边上，连接，则______． （2）如图2，在中，，，点D，E在边上，，，且，请你求出的长度． （3）如图3，在四边形中，，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． （1）根据旋转的性质得出，即可解答； （2）将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，先证明，得出，则，根据勾股定理可得，在证明，即可得出； （3）在上取一点G，使得，证明，推出，，证明，推出，设，则， ，在中，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵绕点C顺时针旋转，得到，点恰好落在斜边上， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将绕点A逆时针旋转90度得到，连接， ∵，， ∴， ∵绕点A逆时针旋转90度得到， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在上取一点G，使得， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，则， ， ， 在中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $