精品解析：山东淄博市临淄区2025—2026学年下学期期中考试 六年级数学试题（五四学制）

2025～2026学年度第二学期期中考试 初一数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列各方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运用等式的性质，变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如果是方程的解，那么a的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 以上都不对 4. 纸鸢是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，纸鸢的制作融合了竹篾的坚韧、纸张的轻盈以及丝线的柔韧，展现了独特的艺术魅力．在如图所示的纸鸢骨架中，与构成内错角的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某日太原市正午太阳光线与水平面的夹角为．若调整集热板角度，使光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（ ） A. B. C. D. 8. 春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，副春联和个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸张，一张红纸能制作幅春联或制作个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配张红纸制作春联，则依题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 数学活动课上，老师让同学们折叠矩形纸片进行探究活动．兴趣小组的同学通过如图的方法折纸后进行探究，并提出了以下说法．下列说法中不正确的是（ ） A. 平分 B. C. 与互补 D. 与互余 10. 如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（ ） A. 弯道上 B. 直道上 C. 弯道上 D. 直道上 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果与5互为相反数，它的解是_____． 12. 已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 13. 某地要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏西方向到B村，从B村沿北偏东方向到C村，为了保持与方向一致，则的度数为______． 14. 已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大30°，则这个锐角的度数为______． 15. 如图，在一副三角尺和中，，，，，将三角尺的顶点E落在边上．若三角尺不动，将三角尺绕点E顺时针旋转一周．在转动过程中，当与三角尺的直角边垂直时，的度数可能为______． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，直线相交于点O，． （1）请写出图中的对顶角为______，的余角为______； （2）若，求的度数． 18. 定义一种新运算：，如．请解决下列问题： （1）直接写出结果：______；______； （2）已知：，求x的值． 19. 如图，P是的边上的一点，点A，O，P都在格点上． （1）请同学们借助三角板或直尺，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母（保留作图痕迹）．要求：过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为点D； （2）在第（1）问基础上，完成下面填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______（填“”“”或“”），理由是______； （3）请同学们借助三角板或直尺，或利用尺规作图的方法，过点A画的平行线（保留作图痕迹）． 20. 下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你在横线上补全解答过程（其中括号里填依据）． 条件及问题 思路方法 解答过程（部分依据省略） 知识要素 如图，已知，，垂足分别为D，F，，试说明：． 化未知为已知，构建条件与条件、条件与结论之间的联系． 解：因为，（已知）， 所以（）， 所以（）， 所以（两直线平行，同旁内角互补） 又因为（已知）， 所以（）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（）． 垂线、平行线的判定与性质、余角、补角． 21. 自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． （1）求的度数； （2）与 平行吗？ 为什么？ 22. 某商场经销的A，B两种商品，A种商品每件售价50元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价70元． （1）A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ； （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在周末，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 23. 在数学探究课上，某兴趣小组发现：当两条直线平行时，角之间常常可以“转移”或“转化”，从而帮助解决一些看似复杂的角度问题．他们决定围绕平行线的“等角转化”这一现象，展开一次由浅入深的探究活动． （1）探索尝试：阅读并补充推理过程． 如图1，某同学在纸上画出线段，在外作一点A，连接，这位同学没用量角器测量，而是尝试借助平行线来“搬动”这些角，计算出了的度数．请将推理过程补充完整． 解：过点A作，所以 ， ． 又因为， 所以． （2）类比迁移：从上面的推理过程中，兴趣小组的同学发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．现在他们进一步思考，在图2中，，，请求出的度数． （3）拓展应用：如图3，， 分别平分，，且它们所在直线交于点F，若，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中考试 初一数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列各方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是整式方程，逐一分析选项即可得到结果． 【详解】解：A． 含有两个未知数，是二元一次方程，不符合一元一次方程定义，故A错误； B． 中未知数的最高次数为2，是一元二次方程，不符合定义，故B错误； C． 分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故C错误； D． 只含有一个未知数，未知数的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，故D正确． 2. 下列运用等式的性质，变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的基本性质逐一判断选项，需注意等式两边同乘或同除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：A、∵中分母为，可得，等式两边同乘得，∴A变形正确； B，∵，等式两边同乘得，等式两边同减得，不能推出，∴B变形错误； C、∵当时，恒成立，不能推出，∴C变形错误； D、∵当时，也成立，因此不能推出，∴D变形错误． 3. 如果是方程的解，那么a的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得 ， 解得． 4. 纸鸢是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，纸鸢的制作融合了竹篾的坚韧、纸张的轻盈以及丝线的柔韧，展现了独特的艺术魅力．在如图所示的纸鸢骨架中，与构成内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此可得答案． 【详解】解：与构成内错角的是． 5. 下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 6. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某日太原市正午太阳光线与水平面的夹角为．若调整集热板角度，使光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查余角的性质，角度的实际应用，理解集热板与太阳光线垂直是解题关键． 根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 故选：． 7. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义，可得答案． 【详解】解：D中的，A，B，C选项中的不一定等于， 故选：D． 8. 春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，副春联和个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸张，一张红纸能制作幅春联或制作个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配张红纸制作春联，则依题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分配张红纸制作春联，则剩下张红纸用于制作福字，一共能制作幅春联，个福字，根据题意可得，化简得到所求方程． 【详解】解：根据题意，可列方程． 9. 数学活动课上，老师让同学们折叠矩形纸片进行探究活动．兴趣小组的同学通过如图的方法折纸后进行探究，并提出了以下说法．下列说法中不正确的是（ ） A. 平分 B. C. 与互补 D. 与互余 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可得：，， ∴与互补，， ∴，即， ∴与互余， ∵， ∴不平分． 10. 如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（ ） A. 弯道上 B. 直道上 C. 弯道上 D. 直道上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程相关的行程问题．设t秒后，小强第一次追上小斌．根据题意列方程，解方程求得小强第一次追上小斌所用的时间，随后算出小斌的路程，再根据直道，弯道的路程，算出当小强第一次追上小斌时，他们所处的位置． 【详解】解：设t秒后，小强第一次追上小斌． 由题意得，， ∴， ∴小斌跑过的路程为：（米）， ∵小斌是从C点出发，逆时针出发， ∴第一段是弯道， 小斌跑完弯道后，还剩下的路程为：（米）， 接下来是直道，长度为84.4米， ∵， ∴小斌第一次被小强追上是在直道上． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果与5互为相反数，它的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义，互为相反数的两个数的和为0，列出一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 12. 已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 13. 某地要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏西方向到B村，从B村沿北偏东方向到C村，为了保持与方向一致，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先求解，可得，进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大30°，则这个锐角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查余角和补角的定义与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个锐角的度数为x度， 根据余角和补角的定义可知，这个角的补角为，余角为， 根据题意列方程得： ， 去括号得： ， 移项合并同类项得： ， 系数化为得： ， 则这个锐角的度数为． 15. 如图，在一副三角尺和中，，，，，将三角尺的顶点E落在边上．若三角尺不动，将三角尺绕点E顺时针旋转一周．在转动过程中，当与三角尺的直角边垂直时，的度数可能为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据题意，分，两种情况讨论，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：当，而， ∴时， 则， ∵， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， 当时，而， ∴， 则， ∵， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴； 综上，当与三角尺的直角边垂直时，的度数为或或或． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 17. 如图，直线相交于点O，． （1）请写出图中的对顶角为______，的余角为______； （2）若，求的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据对顶角与余角的定义可得答案； （2）求解，结合，结合角的和差关系进一步可得答案． 【小问1详解】 解：的对顶角为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴的余角为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 18. 定义一种新运算：，如．请解决下列问题： （1）直接写出结果：______；______； （2）已知：，求x的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用新定义得出一元一次方程，解方程即可求出x的值． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： 解得． 19. 如图，P是的边上的一点，点A，O，P都在格点上． （1）请同学们借助三角板或直尺，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母（保留作图痕迹）．要求：过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为点D； （2）在第（1）问基础上，完成下面填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______（填“”“”或“”），理由是______； （3）请同学们借助三角板或直尺，或利用尺规作图的方法，过点A画的平行线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②，点到直线的距离，垂线段最短 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意即可作出垂线； （2）①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （3）取格点E，作直线即可． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求；直线即为所求； 【小问2详解】 解：①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 【小问3详解】 解：如图，直线即为所求． 20. 下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你在横线上补全解答过程（其中括号里填依据）． 条件及问题 思路方法 解答过程（部分依据省略） 知识要素 如图，已知，，垂足分别为D，F，，试说明：． 化未知为已知，构建条件与条件、条件与结论之间的联系． 解：因为，（已知）， 所以（）， 所以（）， 所以（两直线平行，同旁内角互补） 又因为（已知）， 所以（）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（）． 垂线、平行线的判定与性质、余角、补角． 【答案】垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；同角的补角相等；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据垂直的定义，平行线的判定和性质，同角的补角相等知识一一解答即可． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 21. 自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． （1）求的度数； （2）与 平行吗？ 为什么？ 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据，即可得出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ 【小问2详解】 ，理由如下 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 22. 某商场经销的A，B两种商品，A种商品每件售价50元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价70元． （1）A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 ； （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在周末，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】（1）40，40% （2）购进种商品40件 （3）没有优惠促销时，小华要付580元或660元 【解析】 【分析】（1）设A种商品每件进价为x元．根据题意，列方程，解得，即求得A种商品每件进价为40元；再根据lirunk，求得每件B种商品利润率为40%； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品件．根据题意，列方程 ，解得，即求得购进A种商品40件； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付y元．分两种情况进行讨论：①按总售价打九折；②600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七折优惠，在这两种情况下，分别列方程求解y值，并进行检验，最后求出没有优惠促销时，小华要付580元或660元． 【小问1详解】 解：设A种商品每件进价为x元． 由题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元． ∵B种商品每件进价50元，售价70元， ∴每件B种商品利润率为 ， ∴每件B种商品利润率为40%． 【小问2详解】 解：设购进A种商品a件，则购进B种商品件． 由题意得： ， 解得：， 答：购进A种商品40件． 【小问3详解】 解：设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付y元． 由题意可知，实际付款522元，存在两种优惠情况： ①按总售价打九折： ， 解得：， 经检验，580元在450元至600元之间，符合题意； ②600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七折优惠： ， ∴ ， ， ， 解得：， 经检验，660元超过600元，符合题意； 答：若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元． 23. 在数学探究课上，某兴趣小组发现：当两条直线平行时，角之间常常可以“转移”或“转化”，从而帮助解决一些看似复杂的角度问题．他们决定围绕平行线的“等角转化”这一现象，展开一次由浅入深的探究活动． （1）探索尝试：阅读并补充推理过程． 如图1，某同学在纸上画出线段，在外作一点A，连接，这位同学没用量角器测量，而是尝试借助平行线来“搬动”这些角，计算出了的度数．请将推理过程补充完整． 解：过点A作，所以 ， ． 又因为， 所以． （2）类比迁移：从上面的推理过程中，兴趣小组的同学发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．现在他们进一步思考，在图2中，，，请求出的度数． （3）拓展应用：如图3，，分别平分，，且它们所在直线交于点F，若，请求出的度数． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作的平行线，如图，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，过F点作，如图，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，利用平行线的性质得到，，，，则利用，可得 ，然后利用 求解． 【小问1详解】 解： 过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过E点作，过F点作，如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $