第八章 因式分解（复习讲义）数学新教材北京版七年级下册

该初中数学因式分解复习讲义通过知识框架图系统梳理了因式分解的知识体系，涵盖提公因式法、公式法、十字相乘法等核心方法，用表格归纳分组分解法的分类与特点，清晰呈现重难点分布及方法间的内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础判断因式分解到综合应用（如已知分解结果求参数、几何图形面积计算），培养运算能力与推理意识。题型含新定义运算（如“智慧数”）和最值问题，基础生掌握方法，优秀生提升思维，助力教师实施精准复习教学。

第八章 因式分解（复习讲义） 1.理解因式分解定义，分清与整式乘法区别，掌握提公因式、公式法两种基本方法； 2.能准确提取公因式，熟练运用平方差、完全平方公式规范分解多项式； 3.养成先提公因式再套公式习惯，做到分解彻底，提升代数变形运算能力。 重点01 公因式 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 重点02 提公因式法 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 重点03 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 重点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 重点05 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 重点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误； 对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确； 对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误． 2．下列各式中从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式的积的形式．逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； C. ，是因式分解，故该选项符合题意； D. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【答案】②③． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； ②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意； 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是，请说明理由． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)不是因式分解，理由见解析 (2)是因式分解，因式分别为，和 (3)不是因式分解，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：不是因式分解． 理由：从左到右的变形不是化成几个多项式的乘积形式，故不是因式分解． （2）解：是因式分解．因式分别为，和． （3）解：不是因式分解． 理由：因为不是整式，故该变形不是因式分解，故不是因式分解． 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 6．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 7．若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 8．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【分析】设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可． 【详解】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a ∴， 解得：a＝13，k＝65． 故另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解． 题型三 公因式 9．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 10．下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案． 【详解】解：A、，，有公因式，不符合题意； B、多项式与没有公因式，符合题意； C、由，得，有公因式，不符合题意； D、，有公因式，不符合题意； 故选：B． 11．将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公因式，确定公因式时，系数取各项系数的最大公因数，字母部分取各项相同字母的最低次幂． 【详解】解：多项式中，系数6和3的最大公因数是3，字母的最低次幂是，字母的最低次幂是，因此公因式为， 故答案为：． 12．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是____________． 【答案】/ 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式．本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定，涉及的知识点是公因式的定义（系数最大公约数+相同字母最低次幂）．解题中用到的方法是分步确定法，分系数、字母两部分确定公因式．解题关键是准确找到系数的最大公约数和相同字母的最低次幂．易错点是遗漏系数的最大公约数，或误取非共同字母（如本题中的）． 【详解】系数的最大公约数：多项式系数是和，它们的最大公约数是； 相同字母的最低次幂：多项式中相同字母是和，的最低次幂是，的最低次幂是； 只取共同含有的字母：多项式中仅在第二项出现，不纳入公因式． 因此，提取的公因式是． 故答案为． 题型四 提公因式法分解因式 13．已知，，则的值为______． 【答案】30 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可求解． 【详解】解：． 14．因式分解：______． 【答案】 【分析】将原式提取公因式即可解答． 【详解】解：． 15．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先把式子变形为，再运用提公因式法进行因式分解，即可解答． 【详解】解： ． 16．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用提公因式分解因式即可； （2）用提公因式分解因式即可； （3）用提公因式分解因式即可； （4）用提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型五 平方差公式分解因式 17．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 18．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数． 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．已知为整数，求证：能被整除． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，分解因式可得：原式，可知代数式中一定有个因数为，所以代数式能被整除． 【详解】证明： ， 为整数， 是整数， 能被整除， 能被整除． 题型六 完全平方公式分解因式 21．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解中完全平方公式的应用，需依据完全平方公式的特点（两平方项符号相同，另一项是两底数乘积的2倍）对各选项进行判断． 【详解】解：完全平方公式的形式为， A． ，中间项，不符合完全平方公式的特点， B． ，常数项为负，与平方项符号不同，不符合完全平方公式的特点， C． 是平方差形式，不符合完全平方公式的特点， D． ，符合完全平方公式的特点； 故选：D 22．已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 23．已知多项式可以分解成，则m的值是________． 【答案】 【详解】解：， 则m的值是 24．因式分解： 【答案】 【分析】将看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型七 综合运用公式法分解因式 25．因式分解： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解； （2）利用提公因式法因式分解； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （4）综合利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 26．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ． 27．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了一道题目：，下面是小舒同学因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式（分成两组）...............第一步 ..............第二步 ..............第三步 ................第四步 任务一： （1）以上解题过程中，从第一步到第二步是利用 公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第二步第三步变形运用的公式 ； 任务二： 类比小舒的解题方法，因式分解． 【答案】任务一：（1）完全平方；（2）；任务二：． 【分析】本题考查了因式分解中的分组分解法以及完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是合理分组，将多项式转化为可以运用公式分解的形式． （1）观察式子变形，识别出完全平方公式的应用． （2）根据第二步到第三步的变形，写出平方差公式的一般形式． 先将多项式合理分组，使其中一组能构成完全平方形式，再运用平方差公式完成因式分解． 【详解】任务一：（1）从第一步到第二步，将转化为，是利用完全平方公式进行变形的，即． （2）从第二步到第三步，将转化为，运用的是平方差公式，用含a，b的式子表示为． 任务二：类比小舒的解题方法，因式分解如下： 28．阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解因式即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到，的值，根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ，， ，， ， 边的取值范围为． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 29．因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 31．将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式、合并同类项法则、提取公因数进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 33．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1； 【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案． （2）根据平方差公式即可求出答案． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 【点睛】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进行计算． 34．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，即可求解； （2）根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 35．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再计算即可； （2）先把前面两个数提取公因式，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是提公因式法进行简便运算，掌握提公因式的方法是解本题的关键． 36．利用简便算法计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)31． 4 (2)1 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解，即可简便计算； （2）用完全平方公式分解即可简便计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查利用因式分解简便计算，熟练掌握提公因式和运用公式法分解因式是解题的关键． 题型十 因式分解的应用 37．一块边长为的正方形空地，在四角均留出一个边长为的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小． 【答案】草坪的面积为． 【分析】草坪面积等于大正方形空地的面积减去四个正方形花坛的总面积，利用平方差公式可简便计算得到结果． 【详解】解：由题意可知，大正方形空地的边长为，每个正方形花坛的边长为，设草坪的面积为， 则 ， 答：草坪的面积为． 38．按要求完成作答 (1)将下列多项式因式分解： ① ② (2)已知，，求多项式的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①提取公因式即可； ②先变形为，再提取公因式即可； （2）将因式分解为，再代入求值即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ∵，， ∴原式． 39．某网站使用因式分解的规则产生密码，如其因式分解的结果为，若取值，则各因式的值是，于是生成六位密码“162180”，现在该网站用作为新的密码基础，取时，用上述方法产生的密码是多少？ 【答案】222717 【分析】将多项式进行因式分解后，求出各因式的值，即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴； 故上述方法产生的密码是222717． 40．阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴当时，有最小值． 题型十一 十字相乘法 41．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 42．分解因式：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先利用十字相乘法分解因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 43．因式分解：； 【答案】 【分析】本题考查因式分解的知识点，典型的十字相乘法；解题的关键在于掌握十字相乘法；本题是最简单的形式，我们要找到两个数，使得，，可得，根据题目找到适合的，即可． 【详解】解：在中，，， ∵，， 故． 44．因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． （1）利用十字相乘法进行因式分解； （2）利用十字相乘法进行因式分解； （3）利用十字相乘法进行因式分解； （4）利用十字相乘法进行因式分解； （5）利用十字相乘法进行因式分解； （6）利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型十二 分组分解法 45．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式．先分组，再提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 46．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算． （1）用分组分解法和提公因式法，分解因式即可； （2）用分组分解法和公式法，分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．阅读与思考 我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ． 请使用分组分解法解决以下问题： (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查因式分解分组分解法，理解题意并掌握分组分解法是解题的关键． （1）运用题中所给定的方法即分组分解法因式分解即可； （2）运用分组分解法可得，再根据推导，从而得解． 【详解】（1）解： （2）因为 所以 所以， 所以． 因为，， 所以， 所以 所以． 题型十三 利用因式分解法求最值 49．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据配方法把原式变形为，再根据非负数的意义解答即可； （2）根据完全平方公式把原式变形为，再根据非负数的意义，可得x，y的值，即可求解； （3）根据题意可得，再根据非负数的意义解答即可． 【详解】（1）解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为1． 50．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 51．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小的值，最小的值是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当，时，代数式有最小值，最小值是 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用： （1）先把原式变形为，可得，即可； （2）①先把原式变形为，可得，即可；②先把原式变形为，可得，再由，，可得，时，代数式有最小的值，最小的值是，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ，， ∴， ② ，， ，时，代数式有最小的值，最小的值是． 此时， ，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 52．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)，大， (3) 【分析】本题考查的是偶次方的非负性的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的利用完全平方公式进行变形是解本题的关键； （1）把化为，再结合非负数的性质可得答案； （2）把化为，再利用非负数的性质可得答案； （3）先求解，再化为，再结合非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴， ∴当时，的最小值是； （2）∵ ， 而， ∴， ∴当时，有最大值； （3）∵， ∴ ， 而， ∴， ∴的最小值为． 题型十四 因式分解的几何应用 53．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 54．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握等积法是解题的关键： （1）根据等积法得到代数式是边长为，的长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， 即， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 55．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 56．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， ∴长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 题型十五 因式分解的新定义运算 57．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 58．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 59．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 【答案】(1)110；990 (2)见解析 【分析】此题考查了利用分解因式的应用． （1）按照题意写出最小的“和谐数”与最大的“和谐数”即可； （2）可设“和谐数”为，则有，再通过计算即可． 【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c， 由题意，得， 要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1， b最小是， 此时c最小是0， 所以最小的“和谐数”时110； 最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9， 十位上b最大是9， 此时， 所以最大的“和谐数”是990． 由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990； 故答案为：110；990； （2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c）， 由题意，得， ∴“和谐数”为，则有： ， ∵a，b是整数， ∴是整数， ∴任意“和谐数”一定能被11整除． 60．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 【答案】(1) 2或5或8（写一个即可） 是 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设（a，b，c，d为整数），运用整式的乘方与因式分解证明能表示为两个整数的平方和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）证明：设（a，b，c，d为整数），则 ∵a，b，c，d为整数， ∴，都是整数， 是“完美数”． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）对于任意整数，多项式都能（　　） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用．利用平方差公式分解因式，化简后判断整除性即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 为整数， ∴ 为整数， ∴ 原式能被9整除． 故选：D 2．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）下面各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，公式法和十字相乘法等．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、不能因式分解，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 3．（2025·贵州贵阳·二模）多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故选：D． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 5．（25-26七年级下·辽宁辽阳·月考）如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长. 【详解】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 6．（24-25八年级下·江西抚州·月考）不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】A 【分析】利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴的值总是正数． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 8．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若，则__________． 【答案】6 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式，得． 10．（2026·山东菏泽·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 【答案】 【分析】根据图形面积计算即可求解． 【详解】解：各个图形组合成长方形，其面积和为，长方形的面积为， ∴ ． 11．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】 2或4 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式分解的多项式是两个平方项的差，由此可知所求指数需为正偶数，结合题意确定符合条件的数即可． 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数， 因此符合条件的正偶数为 和 ． 12．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 【答案】5或/或5 【详解】解： 能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即或 ， 解得：或 ∴k的值为5或． 13．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 【答案】 【分析】首先根据图形分别表示出、、三种板材的面积，然后根据使用的数量计算出背景墙的总面积，最后利用完全平方公式将总面积分解为平方的形式，从而得出正方形的边长． 【详解】解：由图可知，型板材的面积为，型板材的面积为，型板材的面积为， 根据题意，这面正方形背景墙的总面积为： ， 因为背景墙是正方形，且面积为， 所以这面正方形背景墙的边长是． 14．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 15．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时，原式 16．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 【答案】(1)小圳，一 (2)正确步骤见解析， 【分析】（1）根据平方差公式及整式的加减运算法则即可得答案； （2）先利用平方差公式因式分解，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误． （2）解： ． 17．（25-26八年级上·全国·期中）下面是某同学把多项式分解因式的过程． 解：设， 则原式 ． (1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底?若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式． 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，再结合题干的过程，进行分析，即可作答． （2）模仿题干的过程，设，故原式，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干过程，得出该同学对该多项式的因式分解不彻底， 过程如下： 依题意，原式 ； （2）解：依题意，设， 原式 ． 18．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 19．（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，首先得到个四位数为，仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证． 【详解】证明：根据题意，得这个四位数为． ． 因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除． 20．（25-26八年级上·北京西城·期中）我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)否， (2) 【分析】本题考查了十字相乘法，掌握整体思想是解题关键． （1），故可继续分解； （2）设， 原式可分解为；将代入可继续分解． 【详解】（1）解：设， 则原式 故答案为：否， （2）解：设， 则原式， ∴ 能力提升进阶练 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故选：A． 22．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）下列因式分解正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，因式分解就是把多项式变形成几个整式的积的形式，根据提公因式法和公式法进行判断求解． 【详解】解：A. ，分解不正确，故该选项不符合题意； B.，分解不正确，故该选项不符合题意； C.     ，分解不正确，故该选项不符合题意； D. ，分解正确，故该选项符合题意； 故选：D． 23．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 24．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 26．（25-26七年级下·全国·单元测试）设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，只有一个同学计算正确，那么正确的结果应该是（   ） A．2514 B．2184 C．5241 D．6418 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，对代数式因式分解后可得其为三个连续自然数的乘积，根据三个连续自然数的性质，乘积必能被6整除，先排除不符合的选项，再验证得到正确结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 表示三个连续自然数的乘积， ∵ 三个连续自然数中，必有一个偶数，且必有一个是3的倍数， ∴ 一定能被6整除； 选项C，5241是奇数，不能被2整除，排除； 选项D，，19不能被3整除，因此6418不能被3整除，排除； 选项A，，，2514介于两个乘积之间，不存在自然数使结果为2514，排除； 由此，选项B正确． 27．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式的形式，对应系数列方程求解即可得到结果． 【详解】解：先将原式变形可得 ∵该多项式是完全平方式，完全平方公式符合 ∴一次项系数满足 即 分两种情况计算： 当时，解得 当时，解得 ∴的值为或． 28．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解． 【详解】解：． 29．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式________． 【答案】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【详解】解： 将，代入得，原式 ． 30．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式根的关系（因式定理），解题的关键是利用因式定理，若多项式含有因式，当时，则，建立关于参数的方程组求解． 根据因式定理，由多项式含因式和，得和是方程的根，代入方程得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再代入计算结果． 【详解】解：设多项式分解因式的结果中有因式和， 当和时，， 即 化简得 即 由得，代入，得， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 31．（25-26八年级下·安徽六安·月考）已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 【答案】 6 14 【分析】（1）由，用含的代数式表示，代入，整理后配方，利用偶次方的非负性求出、、的值，即可得到所求结果． （2）根据三角形的周长公式解答即可． 【详解】解：（1）， ， 把代入得： 整理得：， 即 ∴ 且 解得：，； （2）由（1）得：，，， ∴的周长为． 32．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 33．（25-26八年级下·河北保定·期中）将下列式子因式分解或利用因式分解计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)40000 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 34．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 35．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 36．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 【答案】(1) (2)当时，代数式取最小值 (3)见解析 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）解： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 37．（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 【答案】(1) (2)2，5，3 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 38．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 【答案】3 【分析】根据题意求出，把所求式子变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 39．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂．因此，可以对底数或者指数变形、转化后，从而解决问题． (1)已知，，，求的值； (2)若，，判断a，b的大小关系，并说明理由； (3)判断能否被9整除，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）逆用同底数幂的乘除法运算法则即可解答； （2）将化为底数为3的数字，再比较即可； （3）将原式各项化为含底数7的幂的表达式，提取公因式后，判断所得结果是否含有因数9，即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． （3）证明： ， 即能被9整除． 40．（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 因式分解（复习讲义） 1.理解因式分解定义，分清与整式乘法区别，掌握提公因式、公式法两种基本方法； 2.能准确提取公因式，熟练运用平方差、完全平方公式规范分解多项式； 3.养成先提公因式再套公式习惯，做到分解彻底，提升代数变形运算能力。 重点01 公因式 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 重点02 提公因式法 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 重点03 公式法分解因式平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 重点04 十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 重点05 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 重点06 因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 4．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是，请说明理由． (1)． (2)． (3)． 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 6．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 7．若多项式因式分解的结果是，则___________． 8．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 题型三 公因式 9．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 10．下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 12．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是____________． 题型四 提公因式法分解因式 13．已知，，则的值为______． 14．因式分解：______． 15．因式分解：． 16．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 平方差公式分解因式 17．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 18．下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 20．已知为整数，求证：能被整除． 题型六 完全平方公式分解因式 21．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 22．已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 23．已知多项式可以分解成，则m的值是________． 24．因式分解： 题型七 综合运用公式法分解因式 25．因式分解： (1)； (2) (3) (4) 26．因式分解： (1)； (2)． 27．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了一道题目：，下面是小舒同学因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式（分成两组）...............第一步 ..............第二步 ..............第三步 ................第四步 任务一： （1）以上解题过程中，从第一步到第二步是利用 公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第二步第三步变形运用的公式 ； 任务二： 类比小舒的解题方法，因式分解． 28．阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 29．因式分解： (1)； (2) 30．因式分解： (1)； (2)． 31．将下列各式分解因式． (1) (2) 32．因式分解： (1) (2) (3) (4) 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 33．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 34．计算： (1)． (2)． 35．简便计算： (1)； (2)． 36．利用简便算法计算下列各式的值： (1) (2) 题型十 因式分解的应用 37．一块边长为的正方形空地，在四角均留出一个边长为的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小． 38．按要求完成作答 (1)将下列多项式因式分解： ① ② (2)已知，，求多项式的值． 39．某网站使用因式分解的规则产生密码，如其因式分解的结果为，若取值，则各因式的值是，于是生成六位密码“162180”，现在该网站用作为新的密码基础，取时，用上述方法产生的密码是多少？ 40．阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 题型十一 十字相乘法 41．因式分解：． 42．分解因式：； 43．因式分解：； 44．因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 题型十二 分组分解法 45．分解因式：． 46．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 47．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 48．阅读与思考 我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ． 请使用分组分解法解决以下问题： (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由． 题型十三 利用因式分解法求最值 49．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 50．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 51．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小的值，最小的值是多少？ 52．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 题型十四 因式分解的几何应用 53．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 54．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 55．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 56．如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为________． (2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作，若，求的值． 题型十五 因式分解的新定义运算 57．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 58．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是_________． 59．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 60．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）对于任意整数，多项式都能（　　） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 2．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）下面各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州贵阳·二模）多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 5．（25-26七年级下·辽宁辽阳·月考）如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江西抚州·月考）不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 7．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 8．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解：____． 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若，则__________． 10．（2026·山东菏泽·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 11．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 12．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 13．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 14．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 15．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，． 16．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 17．（25-26八年级上·全国·期中）下面是某同学把多项式分解因式的过程． 解：设， 则原式 ． (1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底?若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式． 18．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 19．（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 20．（25-26八年级上·北京西城·期中）我们有公式：． 反过来，就得到可以作为因式分解的公式：． 如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有． 例如：；； ；． 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式． (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解． 能力提升进阶练 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）下列因式分解正确的是（   ）． A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 24．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 26．（25-26七年级下·全国·单元测试）设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，只有一个同学计算正确，那么正确的结果应该是（   ） A．2514 B．2184 C．5241 D．6418 27．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 28．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解：_________． 29．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式________． 30．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 31．（25-26八年级下·安徽六安·月考）已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 32．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 33．（25-26八年级下·河北保定·期中）将下列式子因式分解或利用因式分解计算： (1) (2) (3) (4) 34．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 36．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 37．（25-26八年级下·江西九江·期中）现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 38．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 39．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂．因此，可以对底数或者指数变形、转化后，从而解决问题． (1)已知，，，求的值； (2)若，，判断a，b的大小关系，并说明理由； (3)判断能否被9整除，并说明理由． 40．（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $