专题01 因式分解55道计算题专训（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题01 因式分解55道计算题专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知因式分解的结果求参数 1 题型二、提公因式分解因式 2 题型三、平方差公式分解因式 3 题型四、完全平方公式分解因式 5 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 6 题型六、有理数简算中的因式分解计算 8 题型七、十字相乘法分解因式 9 题型八、分组分解法分解因式 11 题型九、运用整体法分解因式 11 题型十、运用因式分解法“配方”求最值 11 题型十一、因式分解的新定义运算 11 题型一、已知因式分解的结果求参数 1．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 3．已知多项式可分解因式为，则为_____． 4．已知可以因式分解为，求的值． 5．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 题型二、提公因式分解因式 6．分解因式：． 7．因式分解： (1)； (2)． 8．因式分解： (1)； (2)． 9．因式分解： 10．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、平方差公式分解因式 11．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 12．分解因式：__________． 13．若，，则_____． 14．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 15．请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)（______）； (2)（______）； (3)将因式分解． 题型四、完全平方公式分解因式 16．下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 17．分解因式的结果是____________． 18．分解因式： (1) (2) 19．因式分解： (1) (2) 20．分解因式 (1) (2)； (3) 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 21．分解因式：． 22．因式分解： (1) (2) 23．因式分解： (1)； (2)； (3)． 24．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．因式分解： (1)； (2)． 题型六、有理数简算中的因式分解计算 26．用简便方法计算： (1) (2) 27．利用因式分解计算： (1)； (2)． 28．用简便方法计算： (1)； (2)． 29．简便计算 (1) (2) 30．利用因式分解计算： (1)； (2)． 题型七、十字相乘法分解因式 31．因式分解：． 32．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 33．因式分解： 34．在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 35．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 题型八、分组分解法分解因式 36．把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 37．分解因式：___________． 38．因式分解：． 39．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 40．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 题型九、运用整体法分解因式 41．阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)因式分解：________； (2)已知，则________； (3)若，求的值，写出过程． 42．阅读以下材料，回答问题： 材料：因式分解：， 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你根据“整体思想”的方法因式分解：． 43．阅读下列材料： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式，再将“” 还原，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请利用“整体思想”解 决下列问题． (1)分解因式：； (2)分解因式：． 44．阅读材料：将分解因式． 解：将看成整体，令，则原式，再将A还原．原式． 上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题， (1)因式分解：； (2)设． ①因式分解M； ②若，求的值． 45．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： 题型十：运用因式分解法“配方”求最值 46．阅读材料： 我们把多项式叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式；同样的，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值的问题． 例如： (1)图① ∵是非负数，即， ∴，则这个代数式的最小值是________，这时相应的的值为________； (2)图② ∵是非负数，即， ∴， 则这个代数式的最小值是________，这时相应的的值是________； (3)仿照上述方法求代数式的最大(或最小)值，并写出相应的的值． 47．阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：，∵，∴． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是－1． 【尝试应用】 (1)利用“配方法”因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． 48．阅读理解并解答 （1）我们把多项式和叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断一个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式值的最大（最小）值问题 例如：（1）① 则代数式的最小值为 ，此时，相应的x的值为 ． ② -12+3 代数的最小值为 ，此时，相应的x的值为 （2）仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并求相应的x的值． 49．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值 解：原式          ∵ ∴当x=6时，的值最小，最小值为0 ∴ ∴当时，的值最小，最小值为1984 ∴代数式：的最小值是1984 例如：分解因式： 解：原式                                     （1）分解因式； （2）若，求y的最大值； （2）当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 50． (1)为了求代数式的值，我们必须知道a的值． 若，则这个代数式的值为______________， 若，则这个代数式的值为_____________， …… 可见．这个代数式的值因a的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． (2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为是非负数，所以这个代数式的最小值是_________，此时相应的a的值是__________， (3)试说明代数式有最小值，并求出最小值及相应的a的值． (4)求代数式的最大值，并写出相应的a的值． 题型十一：因式分解的新定义运算 51．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 52．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是__________． 53．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b____________c． 54．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．定义：若一个整数能表示成(、为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”． (1)判断是否为“圆梦数”，并说明理由； (2)若、均为“圆梦数”，其中为奇数，为偶数，证明：为“圆梦数”． 55．定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解55道计算题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知因式分解的结果求参数 1 题型二、提公因式分解因式 2 题型三、平方差公式分解因式 3 题型四、完全平方公式分解因式 5 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 6 题型六、有理数简算中的因式分解计算 8 题型七、十字相乘法分解因式 9 题型八、分组分解法分解因式 11 题型九、运用整体法分解因式 11 题型十、运用因式分解法“配方”求最值 11 题型十一、因式分解的新定义运算 11 题型一、已知因式分解的结果求参数 1．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 3．已知多项式可分解因式为，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 4．已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 5．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 题型二、提公因式分解因式 6．分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 7．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．因式分解： 【答案】 【分析】整理后提取公因式即可． 【详解】解： ． 10．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提公因式即可得到结果； （2）原式直接提公因式即可得到结果； （3）原式直接提公因式即可得到结果； （4）原式直接提公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 题型三、平方差公式分解因式 11．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式，灵活掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式的形式，逐一判断各选项多项式相乘是否满足“两个数的和与这两个数的差相乘”的结构，进而选出不能用平方差公式计算的选项． 【详解】解：，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， ，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， ，它不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则符合题意， ，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， 故选：． 12．分解因式：__________． 【答案】 【分析】先将原式整理为两个平方项的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】原式 ． 13．若，，则_____． 【答案】10 【详解】解：根据平方差公式可得 将，代入得原式． 14．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 15．请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)（______）； (2)（______）； (3)将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照已知等式归纳总结得出的规律，写出结果即可； （2）根据（1）中得到的规律，右侧括号内最高次项为，对应左侧最高次项为，据此求解即可； （3）根据（1）中得到的规律对进行因式分解，再结合平方差公式对进行因式分解，然后对比两式即可． 【详解】（1）解：观察可知，， 则． 答：． （2）解：根据（1）中得出的规律可知：． 答：． （3）解：根据（1）中得出的规律可知：， ∵， ∴． 答：． 题型四、完全平方公式分解因式 16．下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式进行因式分解的能力，解题的关键是了解完全平方公式的结构特点，准确记忆公式，会根据公式的结构判定多项式是否是完全平方式． 可以用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，符合结构，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、中，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； B、中，，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意； C、，符合完全平方式结构，故该选项符合题意； D、中，为负项，不满足完全平方式中两个平方项同号的要求，不符合结构，故该选项不符合题意； 故选：C． 17．分解因式的结果是____________． 【答案】 【详解】解：． 18．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式； （2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再对剩余部分利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将变形为，提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．分解因式 (1) (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）提取公因式求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 21．分解因式：． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 22．因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 24．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】综合提公因式法以及公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六、有理数简算中的因式分解计算 26．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 27．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 29．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解． （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 30．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式进行简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型七、十字相乘法分解因式 31．因式分解：． 【答案】 【分析】先对原式中两个二次多项式因式分解，重新分组后两两相乘得到含有相同项的二次多项式，利用换元法简化计算，再将结果分解至不能再分解即可． 【详解】解：原式 ， 令，代入得： 原式 ， 将回代得， 原式 ． 32．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 33．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法及完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式． 34．在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 35．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解： 故答案为． （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 题型八、分组分解法分解因式 36．把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选D 37．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 38．因式分解：． 【答案】 【分析】使用分组分解法进行因式分解，先将原式拆项分组，提取公因式得到两个二次因式的乘积，再对其中可分解的二次因式继续分解即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 39．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 40．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法； （1）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解； （2）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型九、运用整体法分解因式 41．阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)因式分解：________； (2)已知，则________； (3)若，求的值，写出过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算、因式分解、求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）把看作整体，利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把原式变形后把已知条件整体代入计算即可； （3）利用多项式乘以多项式法则分组计算后，把已知条件变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 42．阅读以下材料，回答问题： 材料：因式分解：， 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你根据“整体思想”的方法因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，令，则有，然后把代入，再利用完全平方公式进行因式分解即可，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 【详解】解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式． 43．阅读下列材料： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式，再将“” 还原，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请利用“整体思想”解 决下列问题． (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）令，因式分解后代入即可将原式因式分解； （2）令，因式分解后代入即可将原式因式分解． 【详解】（1）解：令， 则原式， 再将“” 还原，得原式， 故； （2）令， 则原式， 再还原得， 故． 44．阅读材料：将分解因式． 解：将看成整体，令，则原式，再将A还原．原式． 上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题， (1)因式分解：； (2)设． ①因式分解M； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①，②的值为5或 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式，以及整体的数学思想是解题的关键． （1）仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）①仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答； ②根据，可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：令， 则原式， 再将A还原， 原式． （2）解：①， 令， 则， 再将N还原， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为5或． 45．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可； 本题考查了因式分解，掌握“整体思想”是解题的关键． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式 ； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式 ． 题型十：运用因式分解法“配方”求最值 46．阅读材料： 我们把多项式叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式；同样的，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值的问题． 例如： (1)图① ∵是非负数，即， ∴，则这个代数式的最小值是________，这时相应的的值为________； (2)图② ∵是非负数，即， ∴， 则这个代数式的最小值是________，这时相应的的值是________； (3)仿照上述方法求代数式的最大(或最小)值，并写出相应的的值． 【答案】(1)， (2)， (3)最大值是59，这时相应的x的值是-7． 【分析】（1）根据：，可得：这个代数的最小值是2，这时相应的x的值是-1． （2）根据：，可得：这个代数式的最小值是-7，这时相应的x的值是2． （2）首先应用完全平方公式，把化成，然后判断出这个代数式的最大值是59，这时相应的x的值是-7即可． 【详解】（1）解：∵ ∴这个代数的最小值是2，这时相应的x的值是-1． 故答案为：2，-1； （2）解：∵， ∴这个代数式的最小值是-7，这时相应的x的值是2， 故答案为：，； （3）解：∵ 是非负数， ∴ ∴这个代数式的最大值是59，这时相应的x的值是-7． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意完全平方公式的应用． 47．阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：，∵，∴． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是－1． 【尝试应用】 (1)利用“配方法”因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）按照题目中配方法进行因式分解即可． （2）按照题目中配方法进行因式分解并取最大值即可． 【详解】（1） （2） ∵， ∴ 则这个代数式的最小值是， 这时相应的x的值是． 【点睛】此题考查了配方法来因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题． 48．阅读理解并解答 （1）我们把多项式和叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断一个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式值的最大（最小）值问题 例如：（1）① 则代数式的最小值为 ，此时，相应的x的值为 ． ② -12+3 代数的最小值为 ，此时，相应的x的值为 （2）仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并求相应的x的值． 【答案】（1）①4，-3；②-9，2；（2）22，-4 【分析】（1）①根据题干信息直接作答即可；②根据题干信息直接作答即可； （2）先把前两项通过添负号，添括号化为： 再利用完全平方式的特点化为：，从而可得答案. 【详解】解：（1）①代数式的最小值为4  ，此时，相应的x的值为-3 ． ②代数的最小值为-9  ，此时，相应的x的值为2 （2） = — 代数的最大值为22  ，此时，相应的x的值为-4 【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键. 49．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值 解：原式          ∵ ∴当x=6时，的值最小，最小值为0 ∴ ∴当时，的值最小，最小值为1984 ∴代数式：的最小值是1984 例如：分解因式： 解：原式                                     （1）分解因式； （2）若，求y的最大值； （2）当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）（x-20）（x-26）；（2）y的最大值为1314；（3）当m=4，n=3时，有最小值，最小值为2020． 【分析】（1）模仿题目中的方法进行因式分解即可； （2）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （3）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 【详解】解：（1）＝（x2﹣46x+529）﹣9＝（x﹣23）2﹣32＝（x﹣23+3）（x﹣23﹣3）＝（x-20）（x﹣26）， 故答案为：（x-20）（x-26）； （2） = = = ∵， ∴， ∴， 当x=1时，y的最大值为1314； （3）＝m2+（﹣2mn﹣2m）+（n2+2n+1）+（n2﹣6n+9）+2020 ＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+（n﹣3）2+2020 ＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020， 当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时，原式取最小值． ∴当m＝4，n＝3时，多项式有最小值2020． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 50． (1)为了求代数式的值，我们必须知道a的值． 若，则这个代数式的值为______________， 若，则这个代数式的值为_____________， …… 可见．这个代数式的值因a的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． (2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为是非负数，所以这个代数式的最小值是_________，此时相应的a的值是__________， (3)试说明代数式有最小值，并求出最小值及相应的a的值． (4)求代数式的最大值，并写出相应的a的值． 【答案】(1)10；17 (2)1；2 (3)最小值是2023，相应的a的值是3 (4)最大值是2022，相应的a的值是 【分析】（1）将分别代入即可得到答案， （2）根据非负数的性质即可得出答案， （3）先把给出的代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得到答案， （4）根据完全平方公式把给出的代数式进行整理，即可得到答案． 【详解】（1）解：若，则， 若，则． 故答案为10；17． （2）解：当时，代数式值最小为1，此时． 故答案为1；2 （3）解：， ∵， ∴当时有最小值． ∴代数式的最小值是2023，相应的a的值是3； （4）解： ∵，则， ∴当时有最大值． ∴代数式的最大值是2022，相应的a的值是． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、非负数的性质，解题的关键是把题目中的代数式化成完全平方的形式进行解答． 题型十一：因式分解的新定义运算 51．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 52．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是__________． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 53．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b____________c． 【答案】 【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可． 【详解】解：由题意得，当，时， ， ， ， 故答案为：． 54．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．定义：若一个整数能表示成(、为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”． (1)判断是否为“圆梦数”，并说明理由； (2)若、均为“圆梦数”，其中为奇数，为偶数，证明：为“圆梦数”． 【答案】(1)是“圆梦数”，理由见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，核心是紧扣“能表示为两个整数的平方和的正整数是圆梦数”这一关键． （1）判断是否为“圆梦数”，只需找到两个整数，使它们的平方和等于，若能找到，则是“圆梦数”，反之则不是； （2）要证明是“圆梦数”，需先根据“圆梦数”定义设出、的表达式，再对进行代数变形，将其转化为两个整数的平方和形式，同时验证变形后的结果为整数，即可完成证明． 【详解】（1）解：∵，且4、1均为整数， ∴是“圆梦数”； （2）证明：设，， 则 ． ∵为奇数，为偶数， ∴一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数；同为奇数或同为偶数， 令，，则， 当同为奇数时，均为奇数，则，均为整数， 当同为偶数时，均为偶数，，均为整数， ∴为“圆梦数”． 55．定义：若多项式有一个大于1的整数因式，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． (1)当，为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有________． ①  ②  ③  ④ (2)若关于的多项式是的完美多项式，求的值． (3)已知正整数，，满足不等式，且，若关于的多项式（为常数）是的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为，求，的值． 【答案】(1)②④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，因式分解的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，设，则，得到，求解即可； （3）由，得到，得到当时，，得到，根据新定义得到，则此完美多项式的另一个因式为，根据且最小值为，得到，求解即可． 【详解】（1）解：①，是一个单项式，故①不符合题意； ②，该式有因子，是的半完美多项式，故②符合题意； ③，没有等于的因子，故③不符合题意； ④，因为，为整数，所以与中必有一个为偶数，则是2的倍数，所以是16的倍数，是的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）解：设 ， ； （3）解：， ， ，为正整数， 当时，， 当取其它值时，与题意不符，舍去； ， 是的完美多项式 此完美多项式的另一个因式为， 且最小值为， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $