专题07 一次函数与四边形的综合问题（4大题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07一次函数与四边形的综合问题 目录 A题建模·专 题一、一次数与行四 的合问题 题二、一次数与的合问题.11 题 、一次数与 的合问题.… .19 题四、一次数与方的合问题… .29 B合 ·能力 A 题型建模·专项突破 题型一、一次函数与平行四边形的综合问题 1(25-26年级下 中)如图，在面直 标系xOy中，四 OABC是行四， A,C两点的标分别为(4,0)，(-2,3)将行四 OABC 4个单后，再下1个单， 得到行四 NPOM B M (I)求出直线MN的解析 (2)行四 NPOM与行四 OABC的重部分的 是 重部分的面是 (3)点E是x上一动点，在直线OB上是 在点D,使得以O,N,D,E为点的四为行四？ 在，求出满足件的有点D、点E的标：不在， 说明理由 2 (25-26年级上·林长·开学考)在面直 标系中，直线I:y=x+b(k,b为常数)经过 点(1,0)、(0，-3)，点M在直线1上 标为m,将点M 2个单得到点N,将点M关于x 对得到点P,以NM、NP为作行四 MNPO (1)求直线1的表达； (2) 行四 MNP2的面为l6,求m的； (3)直线1与行四 MNPO有点（不点）时，求m的 (4)直线1将行四 MNPQ分成的两部分可以成一个 不重的 时，直接写出m的 3(25-26年级下四成都中)在面直标系中，点A的标是2,5)，点B的标是1,2)，点 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C的标是(6,2) A A A B C B ●C (①)在第一限内有一点D,使得四 ABCD是行四 点D的标为 (2)在直线AC上有一点E,面内有一点F,使得以A、B、E、F为点的四 是行四 面 为10，求点E的标： (3)在(1)的前提下， 直线：y=-7k-1与行四 ABCD的 BC于一点M,与AD于一 点N, 行四 四个点到直线1的离和是5V3,求这直线1的解析 题型二、一次函数与矩形的综合问题 4(24-25年级下·全国 作业)如图，在面直 标系第一限内有 ABCD,AD=4, AB=3,ADx,点D的标答为6,4)，作直线OB ()点A的标为 点B的标为 点C的标为 (2)直线1与直线OB行，将直线1y上下 ，直接写出直线与 ABCD有只有一个公 点时，直线1对的数表达 (3)在(2)中直线1的 过程中，设直线I与x、y的点分别为M,N,直线是会分 ABCD的面？会，出时的直线1（不需证明）求出△AMW的面；不会， 说明理由 28 5(24-25年级下· 大同 )如图，已知直线4：y=3x+3与直线1，：y=-2x+16相于点C, 不I2分别x于A、B两点 DEFG的点D、E分别在直线I,上，点F、G都在x上，点 G与点B重合 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D [2 8 (1)方程组3 x-y= 3的解是 2x+y=16 (2)求△ABC的面； (3)求点E的标； (4) DEFG从B点出，x的方 2个单长，写出时 DEFG与△ABC重部分 的面S的 6(25-26年级上·四成都·考)如图，在面直标系中， OABC的点A,C分别在y和 x上，把 OABC对线AC在的直线，点B在点D处，连接DC与y相于点E已知 OABC的 OC,OA的长是一元二次方程x2-12x+32=0的两个根，OA>OC VA D C (I)求直线AC的解析： (2)求点D的标； (3)点M是直线AC上的动点，在标面内是 在点P,使以点E,C,M,P为点的四 是？ 在，直接写出有满足件的点P的标：不在， 说明理由 题型三、一次函数与菱形的综合问题 7(24-25年级上·四成都·考)已知 ABCD的长为5，其点都在标上，点A标为 (0,-3) 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X-3 图1 图2 备用图 (1)求点B的标及 ABCD的面； (2)点P是 上一动点，A→B→C→D动（到达D点时 ①如图1， 点n关于，对的点。好在直线y-青-3上时，求点n的标 ②探究：如图2，P动到BC,CD时，作△ABP关于直线AP的对图为△AB'P,是 在这样 4 的p点，使点g好在直线y=3x-3上？ 在，求出满足件的点。标：不在， 说明理由 8(25-26年级上四成都 ·)在面直标系xOy中，对于直线l:y=kx和直线l2y=k2x,在 {上一点A,在l上一点B,OA=OB=m,以OA,OB为 作 OACB, OACB为k, k,的m相关，∠AOB为飞，k2的m相关 ,OA的对BC为k,k2的m相关 特别地，k=0时，直线y=,直线y=0,代表x 如：如图，1：y= 2x,4:y=3x,OA=0B=5 0c为23的5相关408为 的5相关 ’O1的对8C为23的5相关 V=3x y=0.5x (1) OACB是0，-1的2相关， 0,1的2相关的数是°； (2) ODEF是0，k2的4相关， 点2,2⑤在0，飞，的4相关 上时，求k的； (3) k,k2的m相关与k,k(其中k2≠k3)的m相关 都经过点(3，时，直接写出m 的 9(25-26年级上辽 ·考)如图1，在面直 标系中，四 OABC是，B点标是 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0,3),∠0AB=60°，长BA,与x相于点D B B O D主 图1 图2 备用图 (I)求直线AB的数表达： (2)将 OABC x 得 04B'C,设00'=0≤1≤3W5, OAB'C'与AOBD重部分 的面为S ①如图2，点C在y上时，求S的； s三6√3时， 直接写出1的 题型四、一次函数与正方形的综合问题 10(24-25年级下·北 )如图，在面直标系中，点A为x 上一点，OA=6, 过点4的直线与直线y= 5x 于点B(5,-3),动点p'Q都在线OA上（p'Q不与04重合，p与 2不重合)，OP=AQ,以P№为在x下方作方PQCD,设OP=m,方PQCD的周长为L P D ()求直线AB的数解析 ; (2)m=5时， 方POCD的面为 (3)求L与m之的数关系； 11(2024 ·模预)在面直标系中，O为原点，四 AOBC是方，点A-4,0),点 B在y 上，点C在第二限，△MON的点M(0,5),N(5,0) 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 yA M M B E H O A'O O 图1 图2 (I)如图1，求点B,C的标： (2)将方AOBC x ,得到方AOBC,点A,O,B,C的对点分别为A,O,B, C'设00'=t, 方AO'B'C'与△MON重合部分的面为S ①如图2,1<t≤4时，方A'OB'C'与△MON重合部分为 ,直线B'C'分别与y,MN于 点E,F,OB与MN于点L,用t的子表S: ② 9 后重合部分的面为2,1的是_（直接写出结果可） 12(25-26年级下， 考)如图，在面直 标系中，直线y=-3x -4+6与x、y分别 于A,B两点，点C是x 上一个动点， 标为m,连接BC,以BC为在BC的作方 BCDE,方BCDE的对线BD,CE于点M VA E 图① 图② (1)你用m的代数表点M的标： BD ②)如图，连接oM'AM'AD'AM=OM时，求AD的： (3)在(2)的件下，将方BCDE点B转得到方BCDE',E,C,A点线时，直接 写出线AC的长 B 综合攻坚·能力跃升 一、 单选题 1(25-26 年级上 化)如图，在面直 标系中，行四 OABC的OC在x 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的 上，点B(6,2),C(4,0),直线y=2x+1以每1个单长的y下，经过 () 直线可将行四 OABC分成面相等的两部分 米y2x+1 A > B 2 C5 D6 2(24-25年级下 海 )如图，将 ABCD置于面直 标系中，其中AD在x上， AB=2将直线Ix负方以每1个单长的 已知直线l在起置的解析为y=x-4 设在过程中直线 ABCD的 得的线长为m,时为t,m与t的数图如图 ABCD的面为() B 0 D 图① 图② A42 C5√2 A 时， 后的解析为 图① t=3 y=x-4+3=x-1 y=0, x=1, A1,0), t从7化到9时，直线l从点D 到点C, .CD=9-7=2, 直线从点A 到点B,t从3化到5时， .BC=9-5=4, ∴.S ABCD=BC×CD=4×2=8, :D 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 3(24-25 年级下 考)如图，在 ABCD中，点A的标为(0,12)，点C的 标为2， 直线BD的表达为y=X+b,y于点E,2BE=BD, ABCD的面为 (2026~辽·模预)如图，方OABC的点A,C分别在x和y上，点B标4,4连接 4C,以点c为心作分别 Oc于点E’线 AC于点F再分别以点E'F为心，大于F 为 作，两 于点D,作线CD,将方OABC着线CA方 得到方O'ABC 点O的对点O在线CD上时，点O的标为 E 三、解答题 5(25-26 年级下·中·考)如图，在面直标系中， ABCO的点A-6,8),点C在x 上，对线ACy于点M,ABy于点H动点P从点A出，以2个单长/的 线A-B-C 点C动 H M (I)求点B的标 (2)求对线AC在直线的解析 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设动点P的动时为t,连接PM、BM,aPBM的面为S,用t的子表S: (4)t=8时，直线AC上是 在点N,使S△NBM=S△PBM 在，求出N点的标；不在， 舒 明理由 6(25-26年级下·北京·中)在面直 标系xOy中，已知行四 ABCD,A0,5),B(-3,1, C(2,1),D(5,5),动点E的标为a,b),直线：y=ax+b(a≠0的图与行四 ABCD有只有两 个公点， 直线1是行四 ABCD的“直线” 3 3 2 2 1 -5-4-3-2-1012345x 方-43-2-1012345x -2 2 -3 -3 -4 分 (①)E的标为(2,2)，直线：y=ax+b(a≠0)与x的点标为 (2)点E在直线y=x+m上动， ①m=0时，直线1是行四 ABCD的“直线”， 直接写出a的 ②直线！是行四 ABCD的“ 直线”，直接写出m的 7(24-25年级下·北京海·)在面直 标系xOy中： 已知方ABCD,其中A-1,,B(1,1,Cl,-)，D(-山，-，M,N为方 两点，MN=2 出如下定： 线MN得到线MN',使点M',N'分别在方ABCD的相两上，或线 MN'与方的重合(M,N分别为点M,N的对点)，线MM'(或NN')长的大为线 MN到方ABCD的“ 离” y M B DM2 D (1)如图， 线MN,得到方ABCD内两长为2的线MN,M2N2,这两线的置关系 是 (NW或NN)的线的长等于线MN到方ABCD的“ 离” 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 @直线y3x+1+与，、Y 3 于点E'F'点MN为线EF上两点，求MN到方 ABCD的“ 离”的大 (3)点M(4,4),直接写出MN到方ABCD的“ 离”的小： 8(25-26年级下·北家·中)定在面直标系中，对于任意的个点A,B,C出如 下定： 的任 一 与 标行，A,B,C点都在 的内部或上， 为点A,B,C的 在点A,B,C的有 中， 在面小的 为点A,B,C的 4 4 N。3 N。3 M M 5-4-3-2-1012345x 5-4-3-2-1012345 -2 -2 -3 -4 -5 图1 图2 备用图 如图1， DEFG, JCH都是点A,B,C的 JCH是点A,B,C的 探究如图2，已知M(4,1，N(-2,3),动点P(m,川 (1)m=2,n=4,点M,N,P的 的周长为，面为： (2)m=3,点M,N,P的 的面为30，求n的； (3)动点p经过(0,5)，m每增加1时n小2，设点M,N,P的 的面为s ①直接写出n与m之的数关系； ②m≤2时，直接写出S关于m的数关系： ③点M,N,P的 为方时，直接写出点P的标： 10/10 专题07 一次函数与四边形的综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与平行四边形的综合问题 1 题型二、一次函数与矩形的综合问题 11 题型三、一次函数与菱形的综合问题 19 题型四、一次函数与正方形的综合问题 29 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与平行四边形的综合问题 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，直线：（，为常数）经过点、，点在直线上且横坐标为，将点向右平移个单位得到点，将点关于轴对称得到点，以、为邻边作平行四边形． (1)求该直线的表达式； (2)若平行四边形的面积为，求的值； (3)当直线与平行四边形有交点（不含顶点）时，求的取值范围； (4)当直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)且 (4)或 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）首先表示出，，得到，表示出，得到，然后根据平行四边形的面积为列方程求解即可； （）首先表示出，然后求出当点在直线上时，，然后结合图象求解即可； （）如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点，证明出，得到直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，然后表示出，然后代入求出；如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：（，为常数）经过点、， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵点在直线上且横坐标为， ∴ ∵将点向右平移个单位得到点， ∴ ∴ ∵将点关于轴对称得到点， ∴ ∴ ∵平行四边形的面积为， ∴ 解得或； （3）解：如图所示，当点在直线上时， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 如图所示，当时，直线与平行四边形没有交点（不含顶点）， 如图所示，当时，直线与平行四边形有交点（不含顶点）， ∵点关于轴对称得到点， ∴当时，平行四边形不存在， 综上所述，当直线与平行四边形有交点（不含顶点）时，的取值范围为且； （4）解：如图所示，当直线经过中点A时，延长交直线于点B ∴ ∵ ∴， ∴ ∴直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∵点A是中点，， ∴，即 ∴ ∴； 如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点 同理可证， ∴直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形， ∵点是中点，， ∴，即 ∴ ∴ 综上所述，当直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，或． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)若在第一象限内有一点，使得四边形是平行四边形，则点的坐标为______________． (2)若在直线上有一点，平面内有一点，使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10，求点的坐标； (3)在（1）的前提下，若直线与平行四边形的边交于一点，与边交于一点，且平行四边形四个顶点到直线的距离和是，求这条直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）分三种情况：为对角线，为对角线，为对角线，设出点D的坐标，根据平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同列式求解即可； （2）根据平行四边形的性质得到的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5；求出直线的解析式为；可求出，且轴，则；再分两种情况：当点E在点A下方时，，当点E在点A上方时，，据此分别求出点E的纵坐标即可得到答案； （3）过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接，由平行四边形的性质得到，则可证明，进而可证明，根据平行四边形的性质得到，轴，则可证明，进而可求出；求出，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得 ， ∴（舍去）； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得 ， ∴（舍去）； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得 ， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为； （2）解：∵以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10， ∴的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ∴，且轴， ∴； 如图所示，当点E在点A下方时， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点E的坐标为； 如图所示，当点E在点A上方时， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或； （3）解：如图所示，过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，轴， ∴，轴， ∴， ∴ ∵平行四边形四个顶点到直线的距离和是， ∴， ∴； 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ，即，此时点N的横坐标大于7，不满足点N在上，不符合题意； 当时，，即，此时满足点N在上，点M在上； 综上所述，， ∴直线l的解析式为． 题型二、一次函数与矩形的综合问题 4．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系第一象限内有矩形，，，轴，点的坐标答案为，作直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)若直线与直线平行，将直线沿轴上下平移，请直接写出当直线与矩形有且只有一个公共点时，直线对应的函数表达式． (3)在（2）中直线的平移过程中，设直线与轴、轴的交点分别为，，则直线是否会平分矩形的面积？若会，画出此时的直线（不需证明）并求出的面积；若不会，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)见解析， 【分析】（1）由题意根据矩形的性质与坐标特征分别分析即可得出A、B、C的坐标； （2）由题意可知当直线与A、C两点相交时，其与矩形有且只有一个公共点时，以此利用平移规律进行分析即可； （3）根据题意设直线交于点E，交于点F，延长交x轴于点P，利用即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 设此时直线的解析式为， 故答案为：；；； （2）设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当直线与矩形有且只有一个公共点时，直线的函数表达式为或； （3）画出符合题意的出，设直线交于点E，交于点F，延长交x轴于点P，如图所示， 直线平分矩形的面积， ， 设此时直线的解析式为，则点E的坐标为，点F的坐标为， ，， ， ， 此时直线的解析式为， 当时，， 解得， 点M的坐标为， 当时，， 点N的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点P的坐标为， ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和平移的规律以及矩形的性质，利用数形结合思维分析是解题的关键． 5．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，分别交x轴于A、B两点．矩形的顶点D、E分别在直线上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． (1)方程组的解是______； (2)求的面积； (3)求点E的坐标； (4)若矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形与重叠部分的面积S的值． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】本题考查一次函数的交点问题，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，掌握相关知识点是解题的关键． （1）解方程组即可； （2）根据（1）中方程组的解求得交点C的坐标，分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，再结合点C的坐标利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）把代入直线的解析式即可求得D点的坐标为，然后把代入直线的解析式即可求得点E的坐标； （4）利用，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：， 得： ， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以方程组的解是； 故答案为：； （2）解：由（1）可知交点C的坐标为． 令直线中，，则，解得， ∴； 令直线中，，则，解得， ∴． ∴． （3）解：∵点G与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， 把代入直线得， ∴， 把代入得，解得， ∴； （4）解：∵， ∴， 矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，此时矩形与重叠部分为五边形，如图， ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，菱形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）由一元二次方程，求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （2）根据把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，可证明，设，则，有，解得，即得，直线解析式为，设，可得，即可解得； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，的中点即为的中点，且，即得，当，为对角线时，的中点即为的中点，且，，当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案． 【详解】（1）解：由一元二次方程， 得或， ，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为； （2）解：把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处， ， 在矩形中，与平行， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 由，， 同（1）得：直线解析式为， 设， 由折叠可知， ， 解得（不符合题意，舍去）或， ； （3）解：在坐标平面内存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，， 而，， 当为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得， ； 当，为对角线时，的中点即为的中点，且， ， 解得或， 或（此时M和C重合，舍去）； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 综上所述，P的坐标为或或或． 题型三、一次函数与菱形的综合问题 7．（24-25九年级上·四川成都·月考）已知菱形的边长为，其顶点都在坐标轴上，且点坐标为． (1)求点的坐标及菱形的面积； (2)点是菱形边上一动点，沿运动（到达点时停止） ①如图1，当点关于轴对称的点恰好落在直线上时，求点的坐标． ②探究：如图2，当运动到，边时，作关于直线的对称图形为，是否存在这样的点，使点正好在直线上？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，菱形的面积为； (2)①点坐标为或；②满足条件的点坐标为或． 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，，，由，可得，再根据勾股定理求出，可求出点的坐标，得到，，最后根据菱形的面积公式求出其面积即可； （2）①有两种情形：求出图中点坐标，根据对称性可得点坐标，当点与重合时，也满足条件； ②分两种情形：当平分时，当时，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， 菱形的边长为， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ，， ； （2）解：①如图2中， 菱形的顶点都在坐标轴上， 点关于轴对称的点也在直线， 由题意知，，， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ， 当点坐标为时，点关于轴对称的点恰好落在直线上， 当点与重合时，点关于轴对称的点恰好落在直线上，此时， 综上所述，满足条件的点坐标为或； ②如图3中， 当平分时，满足条件， 由题意知，，，， ，， ， ， ， ， 当时，在直线上， 此时直线的解析式为， 直线的解析式为， 由， 解得：， ， 综上所述，满足条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、菱形的性质、翻折变换、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，对于直线和直线，在上取一点A，在上取一点B，若，以，为邻边作菱形，则菱形为【，】的m相关菱形，称为【，】的m相关菱角，的对边称为【，】的m相关菱边．特别地，当时，直线，即直线，代表x轴． 例如：如图，，，，则菱形为的5相关菱形，为的5相关菱角，的对边为的5相关菱边． (1)若菱形是的2相关菱形，则的2相关菱角的度数是______； (2)若菱形是【0，】的4相关菱形，当点在【0，】的4相关菱边上时，求的值； (3)当【，】的m相关菱边与【，】（其中）的m相关菱边都经过点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)45或135 (2)的值为 (3)m的取值范围为 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了正比例函数与菱形的性质，勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题意得出两条直线为，，则或； （2）先得出点是菱形的一个顶点，根据题意画出图形，即可求解； （3）根据新定义，设，勾股定理求得，进而分为边求得m的值，即可求解． 【详解】（1）解：菱形是的2相关菱形，如图1， ∴两条直线为，， 或， 故答案为：45或135； （2）解：到原点距离为， ∵菱形是【0，】的4相关菱形， ∴点是菱形的一个顶点， 如图2，点在直线上，即， 解得：； 如图3， 点E的坐标，则点在直线上，即， 解得：， 的值为； （3）解：设【，】的m相关菱形为，【，】（其中）的m相关菱形为， 则，，均过， ， 连接，如图： 要使，同时存在，则和之间的距离， ∵直线恒过点O，直线QR恒过点M， ∴直线与直线之间的距离， ∴当时，一定存在与，使得直线过点M． 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S． ①如图2，当点在y轴上时，求S的值； ②当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接交轴于点，根据菱形的性质求出，再由待定系数法求解函数解析式； （2）①先证明为等边三角形，则，那么，，则，故，过点作于点，可得，故，证明四边形为平行四边形，则； ②当重叠部分为五边形时，过点作于点，表示出，，则，证明为等边三角形，则，故，则，然后表示，则，过点作于点，同理可得，，然后计算，而，最后由建立方程求解；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意． 【详解】（1）解：连接交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， ∴， ∴， ∴直线； （2）解：①在图1中，∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形，且平移后的为菱形 ∴,， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作于点 ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②当重叠部分为五边形时，如图： 过点作于点 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 过点作于点， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意， 综上：当时，． 题型四、一次函数与正方形的综合问题 10．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为．    (1)求直线的函数解析式； (2)当时，正方形的面积为_______； (3)求与之间的函数关系式； 【答案】(1)； (2)16 (3) 【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得正方形的边长，即可求得正方形的面积； （3）分当和时，两种情况讨论，用分别表示出的长，利用正方形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：16； （3）解：当时，如图，    ∵， ∴， ∴正方形的周长为； 当时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； 综上，． 11．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限，的顶点，． (1)如图1，求点B，C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为，，，． 设，正方形与重合部分的面积为S． ①如图2，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示S； ②若平移后重合部分的面积为，则t的值是 ．（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；②或6 【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答； （2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解； ②分当和时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由，得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． （2）解：①∵，，， ∴，， 由平移知，四边形是正方形，得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， ． ②当时，依题意，得，解得或（舍去）；当时，点与点N重合，此时， ∴， ∴， 依题意，得，解得或（舍去）， 综上，t的值是或6． 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，一次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键． 12．（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，点是轴正半轴上一个动点，横坐标为，连接，以为边在的右侧作正方形，正方形的对角线，交于点． (1)请你用含的代数式表示点的坐标； (2)如图，连接，，，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，将正方形绕点旋转得到正方形，当，，三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作轴于点，构造“一线三直角”模型，容易证明，则，，从而得到，利用中点公式表示出点的坐标； （2）作轴于点，利用等腰三角形的性质可得，结合点的坐标可计算出．利用勾股定理可计算出，，利用勾股定理的逆定理可判断．容易证明，则，利用正方形的性质求出，进而得到的值； （3）分两类讨论，当点在点与点之间时，利用勾股定理可计算出，则；当点在点与点之间时，同理可得，． 【详解】（1）解：如图，作轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，，且， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，点是中点， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点是中点， ∴由中点公式可得，点的坐标为； （2）解：如图，作轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 由（1）可知，点的坐标为； ∵轴于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，解得， ∴，， ∴，， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在点与点之间时，如图， 由旋转的性质可知，四边形也是正方形， ∴，， 在直角中，， 在直角中，， ∴； ②当点在点与点之间时，如图， 同理可得，， ∴； 综上所述，线段的长为或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【答案】D 【分析】连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过点且平行于直线的直线解析式即可； 本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线平行于， ∴， ∴， 将点代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∴时间为秒， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东珠海·期末）如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过分析直线平移过程中与矩形边的相交情况，结合函数图象获取关键信息，进而求出矩形的边长，最终计算出矩形的面积． 【详解】由图象可知，当时，，此时直线平移后过点， 图②中点时，直线平移后过点；点时，直线平移后过点， 当时，，此时直线平移后过点，如图①， ∴当时，平移后的解析式为， 令，则，即， 当从变化到时，直线从点平移到点， ∴， ∵直线从点平移到点，从变化到时， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为，直线的表达式为，交轴于点，若，则菱形的面积为_______ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得和的长是解题的关键．连接交于点，根据菱形的性质得出直线，且，，即可求得直线的解析式为，进而求得的坐标，从而求得的坐标以及的长，把的坐标代入，求得的值，即可求得的坐标，根据勾股定理求得，根据，即可得到，然后根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】解：连接交于点，如图所示． 四边形是菱形， 直线，且，， ∵直线的表达式为，直线与平行， 又与垂直， ∴与平行， 设直线的解析式为， 点的坐标为， 直线的解析式为， 点的纵坐标为2， 把代入得， ， ∴ 把的坐标代入得，，解得， 直线为， ， ， ，， ， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 4．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出点 C和点 A 的坐标，进而确定直线 的解析式；根据作图痕迹判断为 的角平分线；根据平移性质得出四边形是平行四边形，进而判断出，根据平移得出直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形 是正方形，点 B 坐标为 ， ∴，， 设直线 的解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴， 由平移得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知为 的角平分线， ∴， ∴， ∴， 由题意知，直线向下平移4个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 设， 则， 解得， ∴点的坐标为． 三、解答题 5．（25-26九年级下·广东中山·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)y (3) (4)存在，或 【分析】（1）由点A坐标可得，，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解； （2）利用待定系数法求直线解析式即可； （3）分两种情形：如图中，时，如图中，时，分别求解即可； （4）根据题意可得，过点N作轴交于点Q，求出，结合面积得到即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线 的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：连接，如图中，当时， ∵对角线交y轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图中，当时， ∵， ∴， 又， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，； （4）存在点N，如图4所示： 当时，点P在上运动， ∴， ∵， ∴， 过点N作轴交于点Q， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， ∴， ∴ 解得：， ∴N点的坐标为或． 6．（25-26八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，动点的坐标为，若直线的图象与平行四边形有且只有两个公共点，则称直线是平行四边形的“双优直线”． (1)若的坐标为，则直线与轴的交点坐标为___________； (2)点在直线上运动， ①当时，若直线是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围； ②若直线恒是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）先推导出直线，求出当时，x的值，即可解答； （2）①先推导出点，直线，得到直线过定点，令点为，作直线，求出直线的解析式为， 与轴的交点为，直线的解析式为，与轴的交点为，分类讨论：第一种情况：当或时，第二种情况：当且时，第三种情况：当或时，逐个分析求解即可； ②先推导出直线的解析式为，直线，且过定点， 分类讨论：第一种情况：当时，当时，第二种情况：当或时，第三种情况：当时， 逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：， 直线， 当时，，解得， 直线与轴的交点坐标为； （2）解：①当时，点在直线上运动， ， 则点，直线， 当时，， 直线过定点， 令点为，作直线，如图 设直线的解析式， 将、分别代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为， 同理可得直线的解析式为，与轴的交点为， 由图可知，当或时，直线与平行四边形只有1个交点，不符合题意， 当且时，直线与平行四边形没有交点， 当或时，直线与平行四边形有2个交点， 综上所述，或． ②由①同理可得，直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ， 则直线， 令，则， 直线过定点， 如图 第一种情况：当时， ∵， ∴直线l∶过定点，且不与边重合， 则直线l∶与平行四边形始终有2个交点，符合题意； 当时，存在，直线l∶与边重合，与平行四边形有无数个交点，不符合题意； 第二种情况：当或时，连接点B与，此时直线l与平行四边形只有1个交点，不符合题意； 第三种情况：当时，定点在平行四边形的内部，此时直线与平行四边形总有2个交点，即直线恒是平行四边形的“双优直线”， 综上所述，． 7．（24-25八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中： 已知正方形，其中，，，，，为该正方形外两点，给出如下定义：平移线段得到线段，使点，分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合分别为点，的对应点，线段或长度的最大值称为线段到正方形的“平移距离”． (1)如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段，则这两条线段的位置关系是______；______(填或)的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”； (2)直线：与轴、轴交于点、，点、为线段上两点，求到正方形的“平移距离”的最大值． (3)若点，直接写出到正方形的“平移距离”的最小值：__________． 【答案】(1)平行； (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理求两点距离，理解新定义是解题的关键； （1）根据平移的性质结合定义即可求解； （2）点、为线段上两点，要使得最大，则在上，而到轴的距离为，则，根据解析式可得过定点，过点作轴于点，则，根据，得出重合，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）根据题意要使得最小，则离点最近，则当和重合时，最小，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：根据平移的性质可得分别与平行， ∴， 根据图形可得，则的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离” 故答案为：平行；． （2）解： 当时， ∴直线过定点， 当时， 解得： ∴ 根据（1）可得平移后的位置有2个， ∵点、为线段上两点，要使得最大，则在上，而到轴的距离为，则， ∴， 如图，过点作轴于点，则， ∴， 在中， 又∵，则重合， 在中，，， ∴， 平移后的对应线段为，即最大距离为， 在中，， ∴， （3）解：∵， 要使得最小，则离点最近， 如图，当和重合时，最小，此时线段与正方形的边重合，符合题意， 此时 故答案为：． 8．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）定义在平面直角坐标系中，对于任意的三个点，，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，，三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点，，的覆盖矩形．在点，，的所有覆盖矩形中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，，的最佳覆盖矩形． 示例  如图1，矩形，矩形都是点，，的覆盖矩形，矩形是点，，的最佳覆盖矩形． 探究  如图2，已知，，动点． (1)若，，则点，，的最佳覆盖矩形的周长为_____，面积为_____； (2)若，点，，的最佳覆盖矩形的面积为30，求的值； (3)若动点经过，且每增加1时减小2，设点，，的最佳覆盖矩形的面积为． ①直接写出与之间的函数关系式； ②当时，直接写出关于的函数关系式； ③当点，，的最佳覆盖矩形为正方形时，直接写出点的坐标； 【答案】(1)18； 18； (2)6或 (3)①；②；③或 【分析】（1）利用坐标极差法，求出三点横、纵坐标的最值，作差得到矩形长、宽，代入周长、面积公式计算； （2）先确定横坐标极差，结合面积公式逆向求出纵向宽度，分类讨论动点纵坐标的最值情况，列方程求解； （3）① 利用待定系数法，结合定点坐标与变量变化规律，求一次函数解析式； ② 根据的取值范围确定水平边长和与水平边垂直的边长，分段列出面积函数关系式； ③ 根据正方形边长相等的性质，分区间讨论边长表达式，列方程求解并舍去不合理解． 【详解】（1）解：，， 最佳覆盖矩形的长为，宽为， 周长为 ，面积为； （2）解：，， 最佳覆盖矩形的长为， 矩形的面积为， 矩形的宽为， 矩形的宽由纵坐标的最大值与最小值的差决定，纵坐标分别是，，， 当为最大值时，宽为， ， 解得， 当为最小值时，宽为， ， 解得， 的值为或； （3）解：①设 把代入， 每增加1时减小2， ， ； ②，， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， ， ③当最佳覆盖矩形为正方形时，长等于宽， 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，与条件矛盾，不符合题意； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，即； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为，不符合题意； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，即； 当时，水平边长为，与水平边垂直的边长为， 令，解得，与条件矛盾，不符合题意． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $