精品解析：江西赣州市大余县南安中学2025-2026学年下学期期中考试九年级数学试题卷

2025～2026学年下学期期中考试 九年级数学试题卷 说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法，整式的加减法，同底数幂乘法，掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法，去括号、同底数幂乘法，合并同类项的法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力．由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图再与题目图形进行比较即可． 【详解】解：A选项的俯视图是一个圆，故A选项不符合题意； B选项的俯视图是一个圆，且有圆心，故B选项不符合题意； C选项的俯视图是一个圆，故C选项不符合题意； D选项的俯视图是一个圆，且圆内有一个虚线圆，故D选项符合题意； 故选∶D． 5. 跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型中的数字的变化规律类，解题的关键是找出变化规律． 根据题意，找出各原子的个数规律即可． 【详解】解：由题意可知，醚类的化学式中，氧原子(O)的数目为1，且位于中间，左右两侧所含原子种类相同和数量相等，且氧原子每侧的氢原子(H)的数目比该侧的碳原子(C)数目的2倍多1，故当碳原子(C)的总数目为 (n为正整数)时，醚类的化学式可以表示为. 故选：D. 6. 阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（ ） A. B. 连接、，则 C. D. 作射线交于点，则平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简： ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，根据算术平方根的意义作答即可． 【详解】解：． 故答案为： 8. 新素材算盘 算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用．图（1）中算盘表示的数为35，图（2）中算盘表示的数为209，则图（3）中算盘表示的数为_____． 【答案】50506 【解析】 【分析】此题主要考查学生对算盘表示数的方法的掌握情况．算盘上1个上珠表示5，1个下珠表示1，根据大数的写法：从高位到低位依次写出各位上的数字，哪位上一个单位也没有，就在那位上写0，即可写出此数． 【详解】解：由题意可知，算盘的一颗上珠表示5，一颗下珠表示1，空档表示0， 故题图（3）中算盘表示的数为50506． 故答案为：50506． 9. 在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米，数据0.00002用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，令方程两边均等于孩子的人数即可． 【详解】解：设梨有个， 由题意可得：， 故答案为：． 11. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 12. 如图，已知菱形的边长为6，，是图中线段上一点，且，连接，则的长为______． 【答案】4或或 【解析】 【分析】由题意知，如图，分三种情况求解：当时，；当时，过作交点，则，先求出，根据含的直角三角形求得，，进而求得，最后根据勾股定理求解即可；当时，过作交点，交于点，则，根据含的直角三角形和线段的和差易求，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴如图，分三种情况求解： 当时，； 当时， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，， 过作交点，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时， 过作交点，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为4或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、证明 （1）计算：； （2）如图，点A、C、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先证明，利用即可证明结论． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴． 14. 下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… （1）小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； （2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）二、三 （2）； 时，值为7，时，值为6． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：二、三； 【小问2详解】 解：原式= = = = ∵，， ∴，2，3 ∴可取4，5 当时，原式（或当时，原式） 15. 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． （1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． （2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）利用概率公式计算概率即可； （2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种， ∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为． 16. 请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． （2）在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长交圆于两点，交于点O，根据矩形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点O为所求； （2）延长交圆于两点，连接交于点G，连接，作射线交于点P，根据全等三角形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点P为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，圆心为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，点P为所求： 理由：连接， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴点P为圆心． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，整我圆周角定理是解题的关键． 17. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据，只需根据一次函数求得的长度，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 把代入得， ∴， 把、代入一次函数得， 解得， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. ☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图(1)是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图(2)，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图(2)中， ． （2）靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置，如图(3)，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处(点E)． ① °； ②求乘客水杯的最大高度． (参考数据： ) 【答案】（1）125 （2）①55；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点B作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点E作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：125． 【小问2详解】 解：①当靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：55． ②如图，过点E作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 19. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是________，C组所在扇形的圆心角的大小是________； （2）将条形统计图补充完整，并直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； （3）该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 【答案】（1）， （2）补全条形统计图见解析，平均每周劳动时间的中位数在B组； （3）估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人． 【解析】 【分析】（1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数；用C组人数所占百分比乘以即可得到C组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，即可补全条形统计图，再根据中位数的定义求解即可； （3）用1500乘以不少于的学生人数的占比，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【小问1详解】 解：这次调查活动共抽取（人）， ∴这次抽样调查的样本容量是100， C组所在扇形的圆心角的大小是； 【小问2详解】 解：B组的学生有：（人）， 补全条形统计图如下： 样本的最中间的2个数据是第50和51个， 而， 故平均每周劳动时间的中位数在B组； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人． 20. 某校球类社团准备购买一批足球和篮球补充器材库，已知篮球比足球的单价贵30元，且用2000元购买足球和用3200元购买篮球的数量相同． （1）求购买篮球和足球的单价各是多少元； （2）若学校最终敲定购买篮球和足球共75个，且要求篮球数量不低于足球数量的2倍．请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 【答案】（1）篮球的单价为80元，足球的单价为50元 （2）购买篮球50个、足球25个费用最少，5250元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用2000元购买足球和用3200元购买篮球的数量相同”，再建立方程求解即可； （2）设可购买m个篮球．则购买个足球，花费为w元，建立一次函数，结合一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：篮球的单价为80元，足球的单价为50元； 【小问2详解】 设可购买m个篮球．则购买个足球， 由题得， 解得， 设总费用为w元， 则， ∵， ∴当时，w有最小值， 此时（个）， 答：购买篮球50个、足球25个费用最少． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①是，18；② 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）设，则，，，列方程即可求解，进而可求相关线段的长； （2）①根据切线长定理即可证明结论；②由证明，即可求解． 【详解】(1)设，则，，． 由， 可得． 解得． ，，． (2)①是． 与相切于点 P， ，． 的周长为 ． ②， ． 即 ， 解得 22. 教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， （1）要证是等腰三角形，则需要证中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质即可证得结论； （2）由折叠可得，要证，则需要证明，进而结合（1）中结论即可得证； （3）结合（1）中结论，可延长交的延长线于点 N，进而得到，再结合正方形的性质、勾股定理求出，即可求出的值； 【详解】（1）证明：由折叠知， 在长方形中，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 重合部分是等腰三角形； （2）证明：同理（1）可知， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴； （3）如图，延长交的延长线于点 N， 同（1）可得， ∴ 设，则， ， ， ， ∵， ∴， ． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值； （3）如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． （1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将点坐标代入即可求出抛物线表达式； （2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积； （3）根据平行四边形的判定定理，分别以为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴假设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令,则， 令，则， 解得， ∴，，， 假设直线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， 是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 当斜边最大时，的面积最大， 假设，， 求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值， ， 是等腰直角三角形， ， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论， ①当为平行四边形的边时，则有，且， 如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中，， ， ， 点到对称轴的距离为3， 又， 抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得：或， 当时，代入，得：， 当时，代入，， 点坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时， 如图，设的中点为， ，， ， 点在对称轴上， 点的横坐标为，设点的横坐标为， 根据中点公式得：， ，此时， ； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期期中考试 九年级数学试题卷 说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. 2026 C. 0 D. 2. 如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 5. 跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（ ） A. B. 连接、，则 C. D. 作射线交于点，则平分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简： ___________． 8. 新素材算盘 算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用．图（1）中算盘表示的数为35，图（2）中算盘表示的数为209，则图（3）中算盘表示的数为_____． 9. 在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米，数据0.00002用科学记数法表示为________． 10. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_______． 11. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 12. 如图，已知菱形的边长为6，，是图中线段上一点，且，连接，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、证明 （1）计算：； （2）如图，点A、C、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 14. 下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… （1）小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； （2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 15. 哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7． （1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为． （2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率． 16. 请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． （2）在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 17. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. ☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图(1)是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图(2)，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图(2)中， ． （2）靠背可以绕点 B 旋转至与小桌板支架重合的位置，如图(3)，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处(点E)． ① °； ②求乘客水杯的最大高度． (参考数据： ) 19. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是________，C组所在扇形的圆心角的大小是________； （2）将条形统计图补充完整，并直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； （3）该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 20. 某校球类社团准备购买一批足球和篮球补充器材库，已知篮球比足球的单价贵30元，且用2000元购买足球和用3200元购买篮球的数量相同． （1）求购买篮球和足球的单价各是多少元； （2）若学校最终敲定购买篮球和足球共75个，且要求篮球数量不低于足球数量的2倍．请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 22. 教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值； （3）如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $