精品解析：江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2025年春学期九年级数学期中检测试题 卷首语： 1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分； 2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置； 3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器；希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！ 一、选择题．（本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若将气温零上记作，则表示气温（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若将气温零上记作，则表示气温零下， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式等知识点．根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式运算法则运算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解． 【详解】解：该立体图形的左视图是 ， 故选：D． 4. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴△=＜0， 解得：， 故选项中只有A选项满足， 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 5. 如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等图形，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而求出． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图是一组有规律的图案．第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，…，按此规律，第个图案中六边形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示图形的规律，能正确找到图形的规律是解答本题的关键． 分别找出每个图形中六边形的个数，得到规律，即可得解． 【详解】解：第个图案中有个六边形； 第个图案中有个六边形； 第个图案中有个六边形； ， 所以第个图案中有个六边形； 所以第个图案中六边形的个数为：， 故选：C． 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身．根据绝对值的定义即可作答． 【详解】解：， 故答案为：2． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 如图，A，B两点被池塘隔开，为测得A，B两点间的距离，在直线外选一点C，连接和．分别取的中点D，E，若测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 _______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，E分别为的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 10. 如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，又， ∴， ∴， 故答案为：3． 11. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲有羊只，乙有羊只，根据如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只． ∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ， ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ， 联立两方程组成方程组． 故答案为：． 12. 如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为___________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解直角三角形，取中点，中点，过点D作于点G，连接，根据题意，分点在直线上，点在直线上，点在直线上，三种种情况讨论，画出示意图，利用含30度角的直角三角形的性质结合中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，取中点，中点，过点D作于点G，连接， ∵点是斜边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∵在中，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在直线上时， 则， 由旋转的性质得：， ∴； 当和点在直线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上时，过点F作于点H， 则（平行线间距离相等）， ∵， ∴； 综上，点落在中位线所在直线上，则点到的距离为1或或， 故答案为：1或或． 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步理．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）已知线段、为的弦，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值，圆周角，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）连接，根据圆周角的性质得到，，进而证明，即可得出结论． 【详解】解：（1） ； （2）如图，连接， ，， ，， 在和中， ， ， ． 14. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】（1）每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元 （2）5辆 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式； （1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元； 【小问2详解】 解：设销售B型车m辆，则销售A型车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为5． 答：B型车至少销售5辆． 15. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是_____； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“刘徽割圆术”的结果有1种， ∴抽到“刘徽割圆术”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：利用表格（或树状图）列出所有可能的结果： 第二次 第一次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， ∴P（小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”）＝． 16. 如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，作线段且； （2）在图②中，作． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）结合网格特征，取格点D，T，连接交于点E，线段即为所求；、 （2）结合网格特征，取格点Q，R，连接，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 17. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数． （1）当时，求得到的新实数； （2）现将实数对放入其中，得到新实数，求的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，一元二次方程的求解，理解新定义的运算法则，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）根据新定义，代入求值即可； （2）根据题意得到一元二次方程，因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数， ∴当时，原式； 【小问2详解】 解：根据题意，将实数对放入其中得到， ∴， 整理得，， 解得，． 四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步理．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了 名学生． （2）求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数． （3）将条形统计图补充完整． （4）若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h． 【答案】（1）50 （2） （3）答案见解析 （4）720 【解析】 【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数； （2）用360°乘以D组人数所占比例即可； （3）根据总人数求出A组人数，从而补全图形； （4）用总人数乘以睡眠时长大于或等于9h人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为16÷32%＝50（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝14.4°； 【小问3详解】 解：A组人数为50﹣（16+28+2）＝4（名）， 补全图形如下： 【小问4详解】 解：1200×＝720（名）． 答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，连接，． （1）求k的值． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，与图形面积的考查，难度不大，解题的关键在于掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． （1）运用待定系数法求解即可； （2）求出一次函数与y轴交点，将的面积化为左右两个三角形面积之和求解． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入得，， ∴，且反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由题意得将代入得：， ∴， 对于直线，当， 直线与轴交于， ∴， ∴的面积为． 20. 某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，． （1）求度数． （2）求点到地面的距离．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解他的关键是∶ （1）利用多边形内角和公式求解即可； （2）过P作于F，过C作于G，交于K，过D作于L，作于H，则可证，，在，，中，利用正弦、余弦定义可求出，，，即可求解， 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过P作于F，过C作于G，交于K，过D作于L，作于H， ， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即点到地面距离为． 五、解答题．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是半圆的直径，为半圆上任意一点（不与点，重合），射线与直径的垂线相交于点，连接，已知． （1）当时，分别求线段和的长． （2）判断与的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）与的乘积是定值，该定值为． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据题意可得：，根据勾股定理可求出，证明，得到，即可求出； （2）由（1）知，，得到，推出，即可判断． 【小问1详解】 解：是半圆的直径，为半圆上任意一点， ， ，， ， 由题意可知，， 又， ， ，即， ； 【小问2详解】 与的乘积是定值， 由（1）知，， ， ， 与的乘积是定值，该定值为． 22. 原地正面掷实心球是某些城市中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练． （1）第一次训练时，智能实心球回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 竖直高度 则： ①抛物线的顶点坐标是______． ②求与近似满足的函数关系式，并求出本次训练的成绩． （2）第二次训练时，与近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？ 【答案】（1）①；②，本次训练的成绩为； （2）第二次训练成绩与第一次相比有提高，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表格中数据找到顶点坐标即可； ②设抛物线的解析式为，再把代入解析式求出即可；再令，求出即可； （2）令中的，解方程求出的值与②中的比较即可． 【小问1详解】 解：由表格中数据可知，当和时，的值相同， 是抛物线对称轴， 顶点坐标为， 故答案为：； ②设抛物线的解析式为， 把代入解析式中得， 解得， 与近似满足的函数关系式为， 令，则， 解得，， ， 本次训练的成绩为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或（舍去）， ， 第二次训练成绩与第一次相比有提高． 23. 【操作发现】 （1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数是______． 【类比探究】 （2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB=135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'．请猜想BP与CP'有怎样的位置关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC．求证：PC+PA＞PB． 【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3) 见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意可知AB=AD, ∠BAD=90°,所以可求∠ABD的度数; （2）根据旋转得出△ACP′≌△ABP，根据全等得出∠AP′C=∠APB=1350，由(1)可知∠AP’P=450，求出∠BP’C=900即可． (3) 将绕顶点逆时针旋转得到.在中，，即可证得. 【详解】(1) 由题意可知AB=AD, ∠BAD=90°, ∴∠ABD =． (2)． 理由：∵绕顶点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴． ∴， ∴， ∴点、、在同一直线上． ∵，， ∴， ∴． (3)如图，将绕顶点逆时针旋转得到， ∴， ∴，， 连接，∵， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，证明过程类似. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期九年级数学期中检测试题 卷首语： 1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分； 2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置； 3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器；希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！ 一、选择题．（本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若将气温零上记作，则表示气温（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 5. 如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一组有规律的图案．第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，…，按此规律，第个图案中六边形的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 计算：______． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 9. 如图，A，B两点被池塘隔开，为测得A，B两点间的距离，在直线外选一点C，连接和．分别取的中点D，E，若测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 _______． 10. 如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则______． 11. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列方程组为______． 12. 如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为___________． 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步理．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）已知线段、为的弦，且，求证：． 14. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价； （2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 15. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是_____； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 16. 如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，作线段且； （2）图②中，作． 17. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数． （1）当时，求得到的新实数； （2）现将实数对放入其中，得到新实数，求的值． 四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步理．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了 名学生． （2）求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数． （3）将条形统计图补充完整． （4）若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，连接，． （1）求k的值． （2）求的面积． 20. 某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，． （1）求的度数． （2）求点到地面的距离．（参考数据：，，，） 五、解答题．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是半圆的直径，为半圆上任意一点（不与点，重合），射线与直径的垂线相交于点，连接，已知． （1）当时，分别求线段和的长． （2）判断与的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 22. 原地正面掷实心球是某些城市的中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离近似满足函数关系小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练． （1）第一次训练时，智能实心球回传水平距离与竖直高度的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 7 竖直高度 则： ①抛物线的顶点坐标是______． ②求与近似满足的函数关系式，并求出本次训练的成绩． （2）第二次训练时，与近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比否有提高？为什么？ 23. 【操作发现】 （1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数是______． 类比探究】 （2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB=135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'．请猜想BP与CP'有怎样的位置关系，并说明理由． 解决问题】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC．求证：PC+PA＞PB． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$