期末压轴专题03 平面直角坐标系性质与探究的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 以四类综合题型为载体，系统整合平面直角坐标系性质应用与探究方法，突出几何直观与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点坐标规律探究|1典例+3变式|观察周期、归纳通项；列表追踪、模运算|从具体点坐标变化抽象周期性规律，培养抽象能力| |坐标系性质应用|1典例+3变式|坐标特征分析、距离关系转化；分类讨论、数轴辅助|结合象限、对称等性质，建立参数方程，发展推理意识| |新定义型问题|1典例+3变式|定义转化、代数表达；举例验证、分类讨论|将新定义转化为坐标运算，提升数学语言表达能力| |面积相关问题|1典例+3变式|公式法、割补法；坐标定底高、设参建方程|运用坐标表示距离，通过割补转化不规则图形，强化应用意识|

期末压轴专题03 平面直角坐标系性质与探究的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、点坐标规律探究 类型二、利用平面直角坐标系的性质求解 类型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型四、平面直角坐标系中与面积有关的问题 压轴专练 类型一、点坐标规律探究 解决点坐标规律探究问题，关键在于观察点的坐标随序号变化的周期性或递推规律。 方法总结 1. 观察周期：分析点的坐标随序号变化的规律，特别是每次移动的方向、距离，找出其循环周期（如移动4次回到原位）。 2. 归纳通项：将点的横、纵坐标分别用序号n的代数式表示，常采用分段表示或利用取余（模运算）确定坐标。 解题技巧 1. 列表追踪：列出前几次移动后点的坐标，直观观察横、纵坐标的变化趋势和循环模式。 2. 模运算：用序号n除以周期（如4）的余数来定位点在一个周期内的具体位置，从而直接写出坐标。 例1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律的探索，解题的关键是找出点的移动的规律． 根据点的运动规律进行求解即可． 【详解】解：根据点运动规律可得，点每运动1次横坐标向右移动一个单位长度，纵坐标每移动5次为一个循环周期， ∴， ∴点的横坐标为， 纵坐标为2， ∴点的坐标是， 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可． 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）， ∴位置是A种瓷砖， 故答案为：A． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，由，所以的坐标在第二象限，然后通过下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，，得,由图形可得，，即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴在第二象限， ∵下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，， ∴, 由图形可得，， 故答案为：． 类型二、利用平面直角坐标系的性质求解 利用平面直角坐标系的性质求解，关键在于将几何问题转化为坐标运算。 方法总结 1. 坐标特征：利用点所在的象限（符号）、坐标轴上的点（含0）、对称点（关于轴或原点）等条件，建立关于参数的方程。 2. 距离关系：根据点到坐标轴的距离（绝对值）或两点间距离公式，列出关于参数的等式或不等式求解。 解题技巧 1. 分类讨论：当参数影响点的坐标符号或位置时，需分情况讨论，避免漏解。 2. 数轴辅助：对于涉及不等式或范围的问题，可画数轴直观确定参数的取值范围。 例2．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“点的纵坐标比横坐标大3”列方程求解即可； （2）根据“点在轴上”得到纵坐标为0，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得． （2）解：点在轴上， ， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4： (3)点在第二、四象限的角平分线上； (4)点到轴的距离为3． 【答案】(1)点的坐标是 (2)点的坐标是 (3)点的坐标是 (4)点或． 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求出，进而求解即可； （2）根据题意得到，求出，进而求解即可； （3）根据题意得到，求出，进而求解即可； （4）根据题意得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标是； （2）解：点的横坐标比纵坐标小4， ， ， ，， 点的坐标是； （3）解：点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， ，， 点的坐标是； （4）解：点到轴的距离为3 ∴ 或． 当时，点， 当时，点． 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上或与坐标轴平行的点的坐标特征； （1）根据点在x轴上，纵坐标为0即可求解； （2）根据题意列出关于m的方程即可求解； （3）与轴平行的直线上的点横坐标相同，由此得，解出m即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ，， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）已知点，解答下列问题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标，直线轴，求出点P的坐标． (3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据轴上的点的纵坐标为0，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得横坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：点的坐标为，直线轴， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴横纵坐标互为相反数， ， ， ， ∴． ∴的值为． 类型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 解决平面直角坐标系中的新定义型问题，关键在于准确理解新定义并将其转化为坐标运算。 方法总结 1. 理解定义：仔细阅读并准确理解新定义（如“和谐点”“距离和”）的数学含义。 2. 代数转化：用点的坐标(x, y)将新定义的条件表示出来，转化为方程、不等式或函数关系进行求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单的具体点代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2. 分类讨论：新定义中常含绝对值、距离等概念，解题时需根据坐标的符号或大小关系进行分类讨论。 例3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”． (1)已知点，写出点在第一象限的“等差点”的坐标________；（写出一个即可） (2)已知点的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标为________； (3)已知点与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)或； (3) 【分析】本题围绕新定义“等差点”展开，理解“等差点”的定义是解题的关键． （1）根据“等差点”的定义和第一象限点的特征进行作答即可； （2）需要考虑点分别在轴与轴的情况，再根据“等差点”的定义进行判断即可； （3）根据“等差点”的定义对坐标进行运算即可； 【详解】（1）解：点在第一象限的“等差点”的坐标为，根据新定义可以得， ∴， 故可以是，， 故答案：（答案不唯一）． （2）解：①当点在轴上时，设， 由题意得，解得，． ②当点在轴上时，设， 由题意得，解得，． 综上所述：的“等差点”点的坐标为或． （3）解：由题意得， ． 互为相反数， ， 联立方程组得： ， 解得，． ． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，一个点到x轴、y轴的距离的较小值称为这个点的“短距”，如：点的“短距”为1．若一个点到x轴、y轴的距离相等时，称这个点为“完美点”，如：点和点都是“完美点”． (1)点的“短距”为_________； (2)若点的短距为5，且点B在第四象限内，求a的值； (3)若点是“完美点”，求b的值． 【答案】(1)2 (2) (3)1或 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义，是解题的关键． （1）根据“短距”定义进行求解即可； （2）根据点的短距为5，得出，求出或，根据点B在第四象限进行验证即可； （3）根据点是“完美点”，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点的“短距”为2； （2）解：∵点的短距为5， ∴， 解得：或， 当时，，此时点坐标为，在第一象限，不符合题意； 当时，，此时点坐标为，在第四象限，符合题意； 综上，； （3）解：∵点是“完美点”， ∴， 解得：或． 【变式3-2】（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)点是“角平分线点”．见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可； 【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 【变式3-3】（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，对于点A，若点B的坐标为，其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A的“4级关联点”点B的坐标为，即B． (1)点P的“3级关联点”是_________； (2)若点C的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（2）求出点的坐标） 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义即可求解； （2）由题意可得点C的“2级关联点”点D的坐标为，再根据点D在x轴上，得到，求解即可得出答案； （3）由轴，得到点的横坐标为，设点的纵坐标为，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 点P的“3级关联点”是，即， 故答案为：； （2）解：由题意可得： 点C的“2级关联点”点D的坐标为：， ∵点D在x轴上， ∴， ∴， ∴，点； （3）解：由（2）可知，点， ∵轴， ∴点的横坐标为， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 类型四、平面直角坐标系中与面积有关的问题 解决平面直角坐标系中与面积有关的问题，关键在于利用坐标表示距离，并灵活运用割补法或公式法。 方法总结 1. 公式法：对于规则图形（如三角形、矩形），直接用面积公式。三角形面积常用“水平宽×铅垂高÷2”，矩形面积用长×宽。 2. 割补法：对于不规则图形，采用分割法（分成多个规则图形求和）或补形法（补成规则图形求差）。 解题技巧 1. 坐标定底高：优先选择在坐标系中与坐标轴平行的线段作为底边，其长度直接由横坐标差或纵坐标差的绝对值得到，对应的高也易于计算。 2. 设参建方程：若涉及动点或未知点，先设其坐标，然后用含参数的式子表示图形面积，再根据已知面积列出方程求解。 例4．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． 【变式4-1】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件； (1)求的值以及点的坐标． (2)如图（2）：在轴上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)线段，轴，直接写出D点坐标． 【答案】(1)，，； (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用非负性求出的值，进而写出点A，C的坐标即可； （2）先求出面积，设，再根据的面积等于面积的2倍结合三角形面积公式进行求解即可得出P的值．进而可得出点P的坐标． （3）根据垂线段最短得出轴时，线段的长最小，再根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，； ∴， ∴的面积； 设， 由题意，得：， 即：， ∴， ∴， ∴或． （3）解：∵点为x轴上的一个动点， ∴轴时，线段的长最小， ∵， ∴ ∵，， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式4-2】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，第一象限的点坐标为，且点到轴、轴的距离相等． (1)点的坐标为________； (2)如图1，轴的正半轴上有一点，连接、，点为轴上一动点，动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示（不要求写的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴平行线，交轴于点．当点从原点出发1秒时，此时点从点出发，以每秒1个单位长度在直线上运动，当的面积是的面积的2倍时，请直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)秒；或 【分析】（1）根据点到轴、轴的距离相等列方程求解即可； （2）根据 求解即可； （3）根据的面积是的面积的2倍列方程求出t的值，进而可求出点Q的坐标． 【详解】（1）∵点到轴、轴的距离相等， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）如图， ∵动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动， ∴， ∴ ， 即； （3）如图， 由题意，得， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标为或． 【变式4-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． (1)点C坐标 ，点D坐标 ； (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标； （2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可； （3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上， 则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度， ∴，． 故答案为：，． （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵将点向下移动1个单位得到点P， ∴点， ∴ ， 设点，则， ∵与面积相等， ∴， 即， 解得或， ∴或． （3）如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 综上，或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据横纵坐标的正负判断该点所在象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴，， ∵， ∴该点在第三象限． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第一象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，则直线轴 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，涵盖象限内点的坐标符号规律、点到坐标轴的距离与坐标的对应关系、坐标轴上点的坐标特征、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征． 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴该点在第二象限，故A错误； ∵点在第一象限，到轴的距离为4，到轴的距离为3， ∴点的坐标为，故B错误； ∵点位于坐标轴上， ∴或， ∴，故C正确； ∵点与的纵坐标相同、横坐标不同， ∴直线轴，故D错误； 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可． 【详解】解：由题知， 因为，且点，点， 则时，， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，符合题意； 时，或， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，不符合题意， 综上所述，的值为或． 4．（25-26八年级上·山东日照·期末）在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图，把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点．“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．若，，，，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用．根据题意分别算出，，，，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形和都是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“L”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）点在第_____象限，它到轴的距离是______，到轴的距离是______． 【答案】 二 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断点所在象限，根据点到坐标轴距离的定义求解对应距离即可. 【详解】解：平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 已知点坐标为，横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴该点在第二象限. ∵平面直角坐标系中，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值， ∴该点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：二；；． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查坐标与图形性质及垂线段最短的应用．先根据轴确定点所在的直线，再利用垂线段最短的性质求出线段的最小值． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 点的纵坐标为，即点在直线上， 根据垂线段最短的性质，当时，线段的长度最小， 此时点的横坐标与点的横坐标相同，即， 点的坐标为， 由两点间距离公式可得，的长度为， 故答案为：5 7．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，在一个单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 根据题意得出，然后确定出第2025个点的坐标即可． 【详解】解：，， 观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 即， ∵， 故在轴正半轴上， ， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点，…在x轴上，点，…在射线OM上，，…均为等腰三角形，且，…，…均为直角三角形，若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的几何规律探索，结合等腰三角形的性质与直角三角形的性质求解是解题的关键． 根据图形得出均为等腰三角形，且，为直角三角形，直角在处，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质找出规律计算即可； 【详解】解：由题可得：是等腰三角形，是直角三角形且，， ， ， ， ， ， ， 同理：中，，在中，，得到， 同理可得：， 可得：， 根据计算可得： ， ， ， ， ， ． 故答案是：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三点，若a，b，c满足关系式： ．求的面积． 【答案】6 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形．根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴． 10．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点P在x轴上，则点 P坐标为 ； (2)若点 P的纵坐标比横坐标大8，则点 P在第 象限； (3)点， 轴， 求点 P坐标． 【答案】(1) (2)二 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征： （1）根据点在x轴的坐标的特征可得，从而得到m的值，即可求解； （2）根据题意可得关于m的方程，即可求解； （3）根据轴，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点 P坐标为； 故答案为： （2）解：∵点 的纵坐标比横坐标大8， ∴， 解得：， ∴点 P坐标为， ∴点 P在第二象限； 故答案为：二； （3）解：∵点，，轴， ， ， 点坐标为． 11．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 12．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)t为或 (2)或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握图形与坐标性质等知识是解题的关键． （1）由题意得，当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当点P在上时，②当点P在上时；③当点P在上时，分别表示即可． 【详解】（1）解：， ， 当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或， 或， 为或； （2）解：①当点P在上时，； ②当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P横坐标都为6， ∴； ③当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P纵坐标都为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 13．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 14．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．点C的坐标满足，连接和．按要求解相关点的坐标： (1)求点C的坐标； (2)若x轴上有一点D使得的面积为6，求点D的坐标； (3)平移线段得到线段（点C对应点P，点A对应点Q），且点P在线段上，当的面积为8时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）利用非负数的性质即可求解； （2）设点D的坐标为，则得，由面积关系即可求解； （3）设点P的坐标为，过点C作轴于点E，由求得，利用平移的性质即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 即点C的坐标为； （2）解：设点D的坐标为，则得， ∵的面积为6， ∴， 即， 解得：或， ∴点D的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为，则， 如图，过点C作轴于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点P的坐标为， ∵线段平移得到线段， ∴平移为向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴点Q的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题03平面直角坐标系性质与探究的四 类综合题型 目录 典例详解 类型一、点坐标规律探究 类型二、利用平面直角坐标系的性质求解 类型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型四、平面直角坐标系中与面积有关的问题 压轴专练 典例详解 类型一、点坐标规律探究 解决点坐标规律探究问题，关键在于观察点的坐标随序号变化的周期性或递推规律。 方法总结 1. 观察周期：分析点的坐标随序号变化的规律，特别是每次移动的方向、距离，找出其循环周期（如 移动4次回到原位)。 2.归纳通项：将点的横、纵坐标分别用序号的代数式表示，常采用分段表示或利用取余（模运算） 确定坐标。 解题技巧 1. 列表追踪：列出前几次移动后点的坐标，直观观察横、纵坐标的变化趋势和循环模式。 2. 模运算：用序号除以周期（如4）的余数来定位点在一个周期内的具体位置，从而直接写出坐标。 例1.(25-26八年级上·江苏连云港期末)如图，在平面直角坐标系中，己知点 A(1,、B(-1,、C(-1,-2)、D(1,-2),动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形 ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的 边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是() 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（-1,0 B.-1,-2 C.(1,-2) D.(1,0 【变式1-1】(25-26八年级上山东济宁期末)如图，平面直角坐标系x0y内，动点P第1次从点P。-3,4)运 动到点P（-2,2),第2次运动到点P2(-1,,第3次运动到点P(0,-,.按这样的规律，第2026次运动到 点P026的坐标是（) D A.（2023,-1 B.(2023,4 C.(2023, D.2023,2 【变式1-2】(25-26八年级上·安徽合肥期末)学校万慈园计划用如图①所示的A,B两种瓷砖铺成如图②所 示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1)，其右边瓷砖的位置记为2，，其上面瓷砖的位置记为1,2】 ,按照这样的规律，(2026,2025)位置是 种瓷砖. 回 A种瓷砖 B种瓷砖 1234 图①瓷砖图 图②预铺图案 【变式1-3】(25-26八年级上广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，点P,P,P,.均在边长均为 1个单位长度网格格点上，其顺序按图中→”方向排列，P(0,0),P2(0,1),P(1,1),P(1,-1),卫(-1，-1)， P,(-1,2)…,根据这个规律，点P26的坐标为 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P X 类型二、利用平面直角坐标系的性质求解 利用平面直角坐标系的性质求解，关键在于将几何问题转化为坐标运算。 方法总结 1.坐标特征：利用点所在的象限（符号）、坐标轴上的点（含0）、对称点（关于轴或原点）等条件，建 立关于参数的方程。 2. 距离关系：根据点到坐标轴的距离（绝对值）或两点间距离公式，列出关于参数的等式或不等式求 解。 解题技巧 1. 分类讨论：当参数影响点的坐标符号或位置时，需分情况讨论，避免漏解。 3 数轴辅助：对于涉及不等式或范围的问题，可画数轴直观确定参数的取值范围。 例2.(25-26八年级上陕西汉中期末)在平面直角坐标系中，已知点P(3,m-1. (1)若点P的纵坐标比横坐标大3，求m的值： (2)若点P在x轴上，求m的值， 【变式2-1】(25-26七年级上山东泰安期末)已知点P(3m+2,5-m),根据下列条件求点P的坐标. (I)点P在x轴上； (2)点P的横坐标比纵坐标小4： (3)点P在第二、四象限的角平分线上； (4)点P到x轴的距离为3. 【变式2-2】(25-26八年级上江苏期末)已知点P(2m+4,m-1),请分别根据下列条件，求出点P的坐标. (1)点P在x轴上. (2)点P的纵坐标比横坐标大3， (3)点P在过点A(2,-4)且与y轴平行的直线上. 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-3】(25-26九年级上甘肃兰州期末)已知点P(2a-2,a+5),解答下列问题. ()点P在x轴上，求出点P的坐标： (2)点Q的坐标(4,5)，直线PQ∥x轴，求出点P的坐标. (3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值. 类型三、平面直角坐标系中的新定义型问题 解决平面直角坐标系中的新定义型问题，关键在于准确理解新定义并将其转化为坐标运算。 方法总结 1.理解定义：仔细阅读并准确理解新定义（如“和谐点”“距离和”）的数学含义 2.代数转化：用点的坐标x,y)将新定义的条件表示出来，转化为方程、不等式或函数关系进行求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单的具体点代入新定义试算，理解其本质后再进行一般化处理。 2. 分类讨论：新定义中常含绝对值、距离等概念，解题时需根据坐标的符号或大小关系进行分类讨论。 例3.(25-26八年级上·辽宁沈阳期末)在平面直角坐标系x0y中，点Aa,b),B(c,d,若c-a=d-b≠0 ,则称点A与点B互为“等差点”，例如：点A(-1,3),点B(2,6),因为2--1=6-3≠0，所以点A与点B 互为“等差点” (1)已知点A4,-2),写出点A在第一象限的“等差点”的坐标 ；(写出一个即可) (2)已知点A(5,-3)的“等差点”B在坐标轴上，求点B的坐标为 (3)已知点A-3,2m与点B(2V3,-n互为等差点”，且m、n互为相反数，求点B的坐标 【变式3-1】(25-26八年级上·四川成都期末)在平面直角坐标系中，一个点到x轴、y轴的距离的较小值 称为这个点的“短距”，如：点(1，-2)的“短距”为1，若一个点到x轴、y轴的距离相等时，称这个点为“完美 点”，如：点(-8，-8)和点(5，-5)都是“完美点” (1)点A-3,2)的“短距”为 ； (2)若点B(6,1+2a)的短距为5，且点B在第四象限内，求a的值： (3)若点C4b-1,-3)是“完美点”，求b的值. 【变式3-2】(24-25七年级上·吉林·期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离 的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点？为“角平分线点”. 4/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)点A-3,5)的“长距”为； (2)若点C-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),请判断点D是否为“角 平分线点”，并说明理由. 【变式3-3】(24-25七年级下·江西赣州期末)在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点B的坐标为 (mx+,x+my),其中m为常数，则称点B是点A的m级关联点”.例如，点A-1,3)的“4级关联点”点B的 坐标为-1×4+3，-1+4×3，即B-1,11. (1)点P(1,2)的3级关联点”是； (2)若点C(2,)的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，若存在点E,使得EC∥y轴，且EC=5,求点E的坐标.（提示：先由(2）求出点 C的坐标) 类型四、平面直角坐标系中与面积有关的问题 解决平面直角坐标系中与面积有关的问题，关键在于利用坐标表示距离，并灵活运用割补法或公式法。 方法总结 1.公式法：对于规则图形（如三角形、矩形），直接用面积公式。三角形面积常用“水平宽×铅垂高： 2”,矩形面积用长×宽。 2.割补法：对于不规则图形，采用分割法（分成多个规则图形求和）或补形法（补成规则图形求差）。 解题技巧 1.坐标定底高：优先选择在坐标系中与坐标轴平行的线段作为底边，其长度直接由横坐标差或纵坐标 差的绝对值得到，对应的高也易于计算。 2.设参建方程：若涉及动点或未知点，先设其坐标，然后用含参数的式子表示图形面积，再根据已知 面积列出方程求解。 例4.(24-25七年级下.吉林四平.期末)如图，A,B,C三点的坐标分别为A-4,0,B(2,0),C(0,6). C(0,6)M A入 B (-4,0)0(2,0)龙 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求三角形ABC的面积S。4BC; (2)过点C作直线I平行于x轴，点M为直线I上任意一点，试猜想三角形CAB的面积S△C4B与三角形MAB的 面积Ss的关系，并证明你的猜想： 1 )试在坐标轴上找一点P,使S40=2Sc,请直接写出满足条件的点P的坐标。 【变式4-1】(24-25七年级下.甘肃武威期末)如图(1)：在平面直角坐标系中，点Aa,0),点C(c,4), 点B(6,0),且a与c满足条件a+5+Vc-4=0: B B 图1 图2 (I)求a,c的值以及点A,C的坐标. (②)如图(2)：在y轴上是否存在一点P,使△ABP的面积等于ABC面积的2倍，若存在，求出点P的坐标， 若不存在，说明理由。 (3)线段CD=5,CD∥x轴，直接写出D点坐标. 【变式4-2】(23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)在平面直角坐标系中，第一象限的点A坐标为 (2m-2,10-m,且点A到x轴、y轴的距离相等. M B 图1 图2 备用图 ()点A的坐标为 (2)如图1，y轴的正半轴上有一点B(0,4),连接AB、OA,点P为x轴上一动点，动点P从原点O出发， 以每秒2个单位长度沿x轴的正方向运动.设点P的运动时间为t秒，△ABP的面积为S,请用含t的式子表 示S(不要求写t的取值范围)： 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，在(2)的条件下，过点A作x轴平行线AM,AM交y轴于点C.当点P从原点O出发1秒时， 此时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度在直线AM上运动，当△ABP的面积是△AQP的面积的2倍时， 请直接写出此时t的值和点Q的坐标 【变式4-3】(23-24七年级下广东广州期中)如图1，在平面直角坐标系中，A1,Q)、B(b,3)、E(-2,0), 其中a、b满足：a-6+√b-5=0.平移线段AB得到线段CD,使得C、D两点分别落在y轴和x轴上. D D 图1 图2 (1)点C坐标_，点D坐标： (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P,连接PC、PD,在y轴上是否存在点Q,使得△PCD与 △QCD面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线D0上一动点，与点O、D不重合，连接AH不过点C,若∠HAB与LOCD的平分线 交于点M,直接写出∠AHO与∠AMC的数量关系. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上宁夏银川期末)在平面直角坐标系中，点(-2，-α2-1在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26八年级上·河南平顶山期末)下列结论正确的是() A.点P(-2024,2025)在第四象限 B.点M在第一象限，它到x轴，y轴的距离分别为4,3，则点M的坐标为4,3) 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.平面直角坐标系中，点P(x,y)位于坐标轴上，那么y=0 D.已知点P(-4,6),0(-3,6,则直线PQ∥y轴 3.(24-25八年级下·湖北武汉期末)对于平面直角坐标系中的任意线段AB,给出如下定义：线段AB上各 点到x轴距离的最大值，叫做线段AB的“x轴距”，记作B,如图，点A(-1,-2),点B(3,4),则线段AB的 “x轴距”为4，记作dB=4,己知点E(-1,2m),点F(2,m+1),若dEs=2,则m的值为() 4 B 3 A -2 A.1 B.-3或1 C.-3或-1 D.-1或1 4.(25-26八年级上山东日照·期末)在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图， 把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点.“1”为一个单位长度，建立平面直角坐 标系，若甲、乙两部分的面积分别为S,S2,重心分别为M,（x,y,),M,x2,y2,原图形的重心坐标为 M(x,,则有x=+S,y=+S.若AF=4,AB=6,BC=8,CD=2,则此L形的重心 S,+S2 S,+S2 坐标为() D G 5 1719 2911 A B 10'5 C. 105 D. 1811 5’5 二、填空题 5.(25-26八年级上·宁夏银川期末)点(-2,4)在第象限，它到x轴的距离是 ,到y轴的距离 是 6.(25-26八年级上河南郑州期末)在平面直角坐标系中，己知点A-2,-1),B(1,4),Cx,y).若AC∥x 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 轴，则线段BC的最小值为 7.(25-26七年级上山东东营期末)如图，在一个单位为1的方格纸上，△AA2A,△A,A4A,△A464,…,是 斜边在x轴上，斜边长分别为2,4,6，的等腰直角三角形.若△AA2A的顶点坐标分别为 A,(2,0),A(1,-1),A,(0,0),则依图中所示规律，Ao25的坐标为 8.(25-26八年级上黑龙江牡丹江期末)如图，在平面直角坐标系中，∠M0x=30°，点A,A2,A,.在x 轴上，点B1,B2,B,.在射线OM上，OAB，OAB2,OAB,均为等腰三角形，且 OA,=AB,0A2=AB2,0A=AB,…△ABA2,△AB2A,△AB,A4,均为直角三角形，若OA=1,则线段 A2026A2027的长为 B3 B2 B AA2 A3 在 三、解答题 9.(25-26八年级上江西吉安·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,a,B(b,0),C(3,c)三点，若a, b,c满足关系式：a-2+(b-3)+Vc-4=0,求ABC的面积. B衣 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(25-26七年级上山东济南期末)已知在平面直角坐标系中的点P(3m-6,m+4). (I)若点P在x轴上，则点P坐标为_； (②)若点P的纵坐标比横坐标大8，则点P在第_象限： (3)点A(-1,2),AP∥x轴，求点P坐标 11.(25-26八年级上·安微淮北期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运 动，即A(0,0)→A1(1,3)一A22,0)→A,3,-2)→A44,0)→A55,3)→A6(6,0)→.，按这样的运动规律，完 成下列任务： A A13 A10 A16 Q(A) A3 A1 (①)直接写出下列各点的坐标： ①A1g9:;②A026: (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点(x,),（x2y),（x,y),(x4,y4),请写出，，，y4之 间满足的数量关系，并说明理由 12.(25-26八年级上江西鹰潭期末)如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A,BC⊥y轴，垂 足为C,OA=CB，,OC=AB,已知A6,0),C(0,-8),点P从O点出发沿折线0A-AB-BC的方向运动 到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒. 备用图 备用图 10/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，求点P的运动时间t; (2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标。 13.(25-26八年级上江西景德镇期末)在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)和点Q(m,n),若满足： m=2b-1则称点P的美好点”为点0.例如，点2，的美好点是(4，. m=2a 1)①点P(-2,3)的“美好点”坐标是 ②若点P的“美好点”为(7，-3)，则点P的坐标是多少？ (2)若点P(a,a+3)的“美好点”位于x轴上，求a的值. 14.(24-25七年级下·云南临沧期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(6,0)，(0,2).点 C的坐标m,n)满足(m-4)+n-3=0,连接AC,BC和0C.按要求解相关点的坐标： B (1)求点C的坐标； (②)若x轴上有一点D使得△ACD的面积为6，求点D的坐标； (3)平移线段CA得到线段PQ(点C对应点P,点A对应点Q),且点P在线段OB上，当△ACP的面积为8 时，求点Q的坐标. 11/11