期末压轴专题02 平方根、立方根与实数及其运算五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 以五类综合题型为载体，构建“方法总结+解题技巧+典例变式”的系统化训练体系，聚焦平方根、立方根与实数运算的概念深化与综合应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数设计与运算|1例+3变式|流程图转化、变量追踪、循环处理|从程序框图到代数表达，体现数学抽象与运算能力| |平方根与立方根综合|1例+3变式|定义性质辨析、符号优先、估算定界|概念双重性与唯一性的应用，强化推理意识| |算术平方根/立方根规律探究|1例+3变式|特例观察、结构拆分、归纳验证|从特殊到一般，培养数学建模与规律探究能力| |实数规律探究|1例+3变式|特普转化、周期验证、公式抽象|运算规律的符号与结构分析，发展逻辑推理| |实数新定义问题|1例+3变式|新规理解、举例验证、化归转化|新概念应用与知识迁移，提升应用意识|

期末压轴专题02 平方根、立方根与实数及其运算五类综合题型 目录 典例详解 类型一、实数设计与实数运算 类型二、平方根与立方根的综合应用 类型三、与算术平方根、立方根有关的规律探究题 类型四、与实数有关的规律探究题 类型五、与实数有关的新定义型问题题 压轴专练 类型一、实数设计与实数运算 解决实数设计与实数运算问题，关键是将程序流程图转化为代数表达式，并按流程逐步计算。 方法总结 1. 理解流程图：明确流程图中各框（输入、处理、判断、输出）的功能与执行顺序。 2. 代数化执行：将初始值代入，按箭头顺序逐步计算，遇判断框根据条件选择分支。 解题技巧 1. 追踪变量：在演算纸上记录每一步操作后各变量的当前值，避免混乱。 2. 循环处理：若含循环结构，先明确循环条件与变量变化规律，归纳规律或逐步执行有限次。 例1．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可． 【详解】解：， ， ∴输出结果为3． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 类型二、平方根与立方根的综合应用 平方根与立方根的综合应用，关键在于严格区分两者的定义与性质，并根据问题类型选择合适的解题策略。 方法总结 1. 明确定义与性质：平方根（±√a，a≥0）具有双重性和非负性；立方根（³√a，a为任意实数）具有唯一性和符号保形性。 2. 分类讨论与应用：根据问题类型（求值、比较大小、整数部分、规律探究等）选择相应方法，如直接计算、估算、方程思想或找规律。 解题技巧 1. 符号优先：解题时首先确定结果的符号，平方根要考虑正负两个解（除非题目指定算术平方根），立方根则保留原数符号。 2. 估算定界：对于求无理数的整数部分或比较大小的问题，先估算被开方数介于哪两个完全平方数（或完全立方数）之间，从而确定其整数范围。 例2．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 【变式2-1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【变式2-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式2-3】（24-25七年级上·山东·期末）的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求x，y的值； (2)求y的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的意义，求平方根等知识，掌握这三个定义是解题的关键． （1）由算术平方根为4，可求得x的值；再由立方根为3即可求得y的值； （2）由（1）中所求及平方根即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4， ∴， 解得：； ∵的立方根是3， ∴， 即， 解得：， ∴． （2）解：∵， ∴． 类型三、与算术平方根、立方根有关的规律探究题 解决与算术平方根、立方根有关的规律探究题，关键在于从特殊例子中观察、归纳出一般规律。 方法总结 1. 观察特例：计算前几项具体数值，观察被开方数与结果的变化规律，特别关注结果的整数部分、小数部分或循环节。 2. 抽象归纳：将观察到的规律（如周期性、递推关系）用含序号 \(n\) 的代数式（通项公式）表示出来，并验证后续项。 解题技巧 1. 拆分结构：将被开方数拆分为“完全平方/立方数 + 余项”的形式，或拆成整数部分和根式部分，便于分析结果的构成。 2. 对比验证：用归纳出的规律计算后续1-2个新项，验证规律的正确性，再用于求解或证明。 例3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 【变式3-1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即那么正数就叫做a的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？________； (3)由（2）的猜想：________； (4)根据（3）计算：________，________． 【答案】(1)2；4；8 (2) (3) (4)10； 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据（1）的结果即可求解； （3）根据（2）所得的关系即可求解； （4）根据（3）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由（1）得，，， ∴； （3）解：由（2）得， ∴猜想：； （4）解：由（3）可得解：，． 【变式3-2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 类型四、与实数有关的规律探究题 解决与实数有关的规律探究题，关键在于从具体的、特殊的例子出发，观察、归纳出一般性的规律。 方法总结 1. 从特到普：准确计算前几项的具体数值或结果，仔细观察数字、运算符号及结果的变化特征。 2. 归纳公式：将观察到的规律（如周期性、递推关系）抽象为用序号 \(n\) 表示的代数式（通项或求和公式）。 解题技巧 1. 拆分结构：将复杂的实数运算拆解为符号、整数部分、小数部分或循环节等独立模块，分别寻找规律，再组合。 2. 周期验证：若发现周期规律，需用后续1-2个周期内的项进行验证，确保归纳正确后再应用于解题。 例4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 【变式4-1】（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 【变式4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 类型五、与实数有关的新定义型问题题 解决与实数有关的新定义型问题，关键在于准确理解并严格遵循题目给出的新规则。 方法总结 1. 理解新规：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则或新概念的形式与含义。 2. 模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的实数代入进行运算或推理。 解题技巧 1. 举例验证：用简单的具体数值先按新规则操作一遍，确保理解无误后再进行正式运算。 2. 化归转化：将新定义运算后的表达式，通过常规的实数运算法则（如结合律、分配律、有理化等）进行化简求值。 例5．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 【变式5-2】（25-26八年级上·北京延庆·期末）对于非负实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如，，． (1)计算：__________；__________； (2)若，则满足条件的的取值范围是__________． (3)如图，数轴上的点，表示的数分别为和，是数轴上一点，且点是的中点．设点表示的数为，求． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，估算无理数的大小，理解符号表示不大于的最大整数是解题的关键． （1）先求出，，再根据符号表示不大于的最大整数求解即可； （2）先根据符号表示不大于的最大整数求出的取值范围，再求解即可； （3）根据数轴上两点间距离求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴； ∵， ∴， ∵符号表示不大于的最大整数， ∴； （2）∵， 又∵符号表示不大于的最大整数， ∴， ∴； （3）∵点，表示的数分别为和， ∴． ∵点表示的数为，点表示的数为，由数轴可知点在点的左边， ∴． ∵点是的中点， ∴， ， ， ， ∴点表示的数为． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们规定：二元一次方程组的解记为，若存在满足，，则称是的“五好点”． (1)点的“五好点”的坐标为______； (2)若方程组的解记为，点的“五好点”为，且满足，求的取值范围； (3)已知：是的整数部分，是的算术平方根（其中），当时，的“五好点”是，问：可能取得的最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)可能取得的最大值是 【分析】（1）根据新定义，由，利用，，得到其“五好点”的坐标即可； （2）解二元一次方程组，得到，得到“五好点”的坐标，代入，得到的范围； （3）根据题意，得到，通过解方程组得到，从而得到结果． 【详解】（1）解：根据“五好点”定义，，， ， “五好点”，，， “五好点”的坐标为， 故答案为：； （2）解： 将，得， 解得， 把代入，得， 点的“五好点”为， ，， 又 ， ； （3）解：， 的整数部分， ，是的算术平方根（其中）， ， 即为， 当时，的“五好点”是， ， 两式相减，得， ， ， 可能取得的最大值是． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）实数中无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 综上可知，无理数共有个． 2．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法中正确的有（    ） ①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若，，则；③的平方根是；④的平方根和立方根都是；⑤带根号的数都是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据对顶角定义、平行线的性质、平方根立方根定义、无理数的概念逐个判断说法正误，统计正确说法的个数得到结果． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被截得的同位角相等，但不是对顶角，故①错误； ②同一平面内，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条，∵，，∴，故②正确； ③∵，的平方根是，∴的平方根是；∴③正确； ④的平方根和立方根都是，故④正确； ⑤带根号的数不一定是无理数，例如：是有理数，故⑤错误； 综上，正确的说法共有个． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据程序图计算即可． 【详解】解：取算术平方根得，是有理数， 取立方根得，是有理数， 取算术平方根得，是无理数，输出， 即输出的y值是． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 二、填空题 6．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）的倒数为_____；的立方根是_____． 【答案】 【分析】先把化为假分数，再求倒数；先把化简，再求立方根． 【详解】解：∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的立方根为． 7．（25-26七年级上·山东威海·期末）已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，确定出最接近它的正整数和，再代入计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，为相邻的两个正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山西运城·期末）若实数x，y满足，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，利用非负数的性质，算术平方根和绝对值均非负，和为零则每个部分为零，求出x和y的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴且． 解得，． ∴， ∴． 故答案为：1 9．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）①，②，③……观察以上式子，请解答_______． 【答案】 【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可． 【详解】解：∵，，， 故． 10．（25-26八年级上·广东佛山·期末）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是___________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的估算，核心是理解“表示不超过的最大整数”的含义，思路为逆推法：从第三次操作的结果1出发，依次确定第二次操作、第一次操作的输入范围，最终找到满足条件的最大正整数．关键在于每次逆推时，根据取整的定义确定数的取值区间，再通过平方得到对应的整数范围． 【详解】解：设第三次操作的输入为，由，根据定义可知，两边平方得，因此的最大正整数值为3； 设第二次操作的输入为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为； 设原正整数为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为． 验证：对进行操作：，符合题意；而需4次操作变为1，不符合． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）（1）计算：； （2）求x的值： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 则， ∴． 12．（25-26八年级上·江西吉安·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，无理数的大小估算，求一个数的平方根，求一个数的算术平方根，已知一个数的立方根，求这个数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先利用立方根的意义、算术平方根的意义分别求得m，n，再利用无理数的大小估算得出d的值； （2）根据（1）中求得的字母的值，代入代数式求值，再求出它的平方根． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，； 又∵，是的整数部分， ∴， 综上，，，． （2）解：因为，，， 所以， 所以的平方根为． 13．（25-26七年级上·山东威海·期末）设三角形的三边分别为，，，则有下列三角形面积公式成立： ①，其中（海伦公式） ②（秦九韶公式）． 已知一个三角形的三边，，分别为，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【答案】． 【分析】把，，分别代入公式②，计算算术平方根即可． 【详解】解：将，，代入公式②，得， = ． 14．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 15．（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题02平方根、立方根与实数及其运算 五类综合题型 目录 典例详解 类型一、实数设计与实数运算 类型二、平方根与立方根的综合应用 类型三、与算术平方根、立方根有关的规律探究题 类型四、与实数有关的规律探究题 类型五、与实数有关的新定义型问题题 压轴专练 典例详解 类型一、实数设计与实数运算 解决实数设计与实数运算问题，关键是将程序流程图转化为代数表达式，并按流程逐步计算。 方法总结 1. 理解流程图：明确流程图中各框（输入、处理、判断、输出）的功能与执行顺序。 2.代数化执行：将初始值代入，按箭头顺序逐步计算，遇判断框根据条件选择分支。 解题技巧 1. 追踪变量：在演算纸上记录每一步操作后各变量的当前值，避免混乱。 2. 循环处理：若含循环结构，先明确循环条件与变量变化规律，归纳规律或逐步执行有限次。 例1.(25-26七年级上浙江丽水期末)如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值 为( ) 输入x 取算术平方根 否 结果是 否小于4 输出y 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.3 C.2 D.1 【变式1-1】(25-26八年级上山西临汾期末)有一个数值转换器，流程如下：当输入x的值为64时，输出 y的值是 输入☒→求算术平方根→是否为无理数 输出y 否 求立方根 是否为无理数是 否 【变式1-2】(25-26七年级上·浙江台州期末)按如图所示的程序计算，若输入的a=32,则输出的结果为 输入a×(-2) 求立方根 →大于或等于2 是 求算术平方根输出 否 【变式1-3】(25-26八年级上北京通州期末)根据图中的程序，当输入的x为64时，输出的y值是 否 y=x 否 输入x x≥10 y是无理数 输出y 是 y=派 类型二、平方根与立方根的综合应用 平方根与立方根的综合应用，关键在于严格区分两者的定义与性质，并根据问题类型选择合适的解题策 略。 方法总结 1.明确定义与性质：平方根（士√a,a≥0）具有双重性和非负性；立方根(3√a,a为任意实数)具 有唯一性和符号保形性。 2. 分类讨论与应用：根据问题类型（求值、比较大小、整数部分、规律探究等）选择相应方法，如直 接计算、估算、方程思想或找规律。 解题技巧 1. 符号优先：解题时首先确定结果的符号，平方根要考虑正负两个解（除非题目指定算术平方根），立 方根则保留原数符号。 2 估算定界：对于求无理数的整数部分或比较大小的问题，先估算被开方数介于哪两个完全平方数（或 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完全立方数)之间，从而确定其整数范围。 例2.(25-26七年级上山东济南期末)已知2a+1为9的算术平方根，2为5b-2的立方根， (1)求a、b的值； (2)求2a+b的平方根。 【变式2-1】(24-25七年级下，陕西安康期末)己知a+3的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a,b的值； (2)求a+2b的平方根. 【变式2-2】(24-25七年级下江西赣州期末)己知3m-2的平方根是±2，m+2n+4的立方根是2. (1)求m,n的值： (2)求2mn+5的算术平方根. 【变式2-3】(24-25七年级上山东·期末)x+12的算术平方根是4,2x+y-6的立方根是3. (1)求x,y的值： (2)求y的平方根. 类型三、与算术平方根、立方根有关的规律探究题 解决与算术平方根、立方根有关的规律探究题，关键在于从特殊例子中观察、归纳出一般规律。 方法总结 1.观察特例：计算前几项具体数值，观察被开方数与结果的变化规律，特别关注结果的整数部分、小数 部分或循环节。 2.抽象归纳：将观察到的规律（如周期性、递推关系）用含序号)的代数式（通项公式）表示出来， 并验证后续项。 解题技巧 1.拆分结构：将被开方数拆分为“完全平方/立方数+余项”的形式，或拆成整数部分和根式部分，便 于分析结果的构成。 2 对比验证：用归纳出的规律计算后续1-2个新项，验证规律的正确性，再用于求解或证明。 例3.(24-25七年级下广西南宁期末)(1)填表： n 0 0.000001 0.0001 0.01 100 10000 0 0.001 0.1 1 100 (2)规律归纳： ①若正数m的小数点向左（或右）移动 位，则√m的小数点就相应地 移动 位； 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当m>1时，若正数m越大，则√m也越大. (3)尝试运用：已知√169=13，√m=1300,求m的值； (4)灵活应用：当m≥0时，比较√m和m的大小. 【变式3-1】(24-25七年级下·江西上饶期末)请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于α，即 x2=a那么正数就叫做a的算术平方根，记作√a(即√a=√x2=x),如32=9,3叫做9的算术平方根。 (1)计算下列各式的值√4=，16=，√64=： (2)观察(1)中的结果，√4,16，√64之间存在怎样的关系？ (3)由(2)的猜想：√ab= ；a≥0，b≥0 (4)根据(3)计算：√2×√50 【变式3-2】(24-25七年级下·江西上饶期末)观察下表，并解决问题. 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 20 200 (①)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或 向左)移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位. (2)已知V0.2≈0.4472，√2≈1.414，则√20≈ (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知0.3≈0.6694,5≈1.442,30≈3.107，则300≈ 【变式3-3】(25-26八年级上河南平顶山期末)【观察】 ①近+-1=1+(-1)=0 ②8+-8=2+(-2)=0： ③1000+-1000=10+(-10)=0： 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，b, 若a+6=0,则a+b= ,反之也成立 【应用】根据(2)中的结论，解答问题：(3)若2x-5+1-x=0,求2x+1的算术平方根 类型四、与实数有关的规律探究题 解决与实数有关的规律探究题，关键在于从具体的、特殊的例子出发，观察、归纳出一般性的规律。 方法总结 1. 从特到普：准确计算前几项的具体数值或结果，仔细观察数字、运算符号及结果的变化特征。 2.归纳公式：将观察到的规律（如周期性、递推关系）抽象为用序号\()表示的代数式（通项或求 和公式)。 解题技巧 1. 拆分结构：将复杂的实数运算拆解为符号、整数部分、小数部分或循环节等独立模块，分别寻找规 律，再组合。 2. 周期验证：若发现周期规律，需用后续1-2个周期内的项进行验证，确保归纳正确后再应用于解题。 例4.(24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算√5×9+4=_；√16×20+4=-. (②)用含正整数的式子表示上述算式的规律：一 (3)计算：V1×5+4-√2×6+4+V3×7+4-V4×8+4+…+V2021×2025+4. 【变式4-1】(23-24八年级下·山东聊城期末)观察下列各式： 0++2=1+1-1 11 1 .13 222 11 ,11,17 V+2+3=1+2366 1,1 11,113 3+4 =1+ =1 3412121 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1),+ 11 +52+6 1 2) (n为正整数)： (n+1)2 (3)利用上面的规律计算： 37.1 V3649 【变式4-2】(23-24八年级下，安徽安庆期末)观察下列各式： 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1,1 2① 1 V++2=1+ 11 ++京-1+ 23.② 11 1 1++4 =1+ 3×4 请利用你所发现的规律，解决下列问题： 11 ()发现规律 十 42 11 1 (2)计算，1+ 下+2+V1+2+京+V 1+ 1+ 32+ 42+…+ 20232+2024 【变式4-3】(25-26八年级上·安徽宿州期中)观察下列各式： 第1个等式： ;第2个等式： 31 -4-2 73 第3个等式： 52 第4个等式： 164 根据上述规律，解答下面的问题： (I)请写出第6个等式： ； (2)根据等式的规律，请写出第n个等式；(n是正整数，用含的式子表示) 199 (3)计算： --引-- 10000 类型五、与实数有关的新定义型问题题 解决与实数有关的新定义型问题，关键在于准确理解并严格遵循题目给出的新规则。 方法总结 1. 理解新规：仔细阅读题目，准确理解新定义的运算规则或新概念的形式与含义。 2. 模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的实数代入进行运算或推理。 解题技巧 1. 举例验证：用简单的具体数值先按新规则操作一遍，确保理解无误后再进行正式运算。 2.化归转化：将新定义运算后的表达式，通过常规的实数运算法则（如结合律、分配律、有理化等） 进行化简求值。 例5.(24-25七年级下·河南信阳·期末)某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究.新定义： 对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”，例如： -1,-4,-9这三个数，V-1)×(-4=2,√-×(-9)=3，V-4×(-9)=6其结果2,3,6都是整数，所 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以-1，-4，-9这三个数称为“组合平方数”. (1)-4,-16,-25这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由 (2)若三个数-2，m,-18是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值， (3)写出两组含有-3的“组合平方数”. 【变式5-1】(25-26七年级上浙江台州期末)我们规定，若实数a,b满足a-m=m-b,则称a与b是关于 m的对称数. (1)若a与8是关于4的对称数，则a的值是 (2)若25-1与11-25是关于m的对称数，求m的值 (3)若有理数x,y满足2×x+V5)=y+x×V5,判断x+V2与3y-√巨是否是关于7的对称数. 【变式5-2】(25-26八年级上北京延庆期末)对于非负实数a,我们规定：用符号a表示不大于√ā的 最大整数，称[回为a的根整数，例如，[6]=4，[V5]=1. B 0 1计算：[V4]=；[V53]= (2)若[V]=3,则满足条件的x的取值范围是 (3)如图，数轴上的点A,B表示的数分别为1和√2，C是数轴上一点，且点A是BC的中点.设点C表示 的数为x,求[x-1+3W2+1] 【变式5-3】(24-25七年级下·湖南长沙期末)我们规定：二元一次方程组 [a,x+by=G的解记为P(x,), ax+bay=C, 若存在Px,y）满足X=x+y,y=x-y,则称P是P的“五好点”. (1)点A1,-1)的“五好点”的坐标为； (2)若方程组 2x+y=5 x-y=1 的解记为M(x,y),点M的五好点”为M'(x',y）,且满足x+y≥7，求k的取值范 围； (3)已知：m是3的整数部分，n是Vc的算术平方根（其中c>0),当a≥b≥0时，Q3Va+b,2Wb的“五 好点”是Q'(m+1,2n),问：c可能取得的最大值是多少？ 7/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.2425八年线下湖南萄開期末)实数号，-反，x17525,03中无理统的个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(20-21七年级上·黑龙江哈尔滨期末)下列说法中正确的有() ①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若a⊥b,blc,则a⊥c;③√16的平方根是±2；④0的平方根 和立方根都是0；⑤带根号的数都是无理数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上河南郑州·期末)实数3+√10在两个相邻的整数m与m+1之间，则整数m是() A.6 B.7 C.8 D.9 4.(24-25八年级上广东佛山期末)在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是() 是有理数 输入x值 取算术是有理数 是无理数 平方根 取立方根 输出y 是无理数 A.2 B.2 C.2 D.8 5.(24-25七年级上·浙江温州期末)如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把√2表示在数轴上点 A处，记A右侧最近的整数点为B,以点B为圆心，AB为半径画半圆，交数轴于点A,记4右侧最近 的整数点为B2,以点B2为圆心，A,B,为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续，则A,B的长为() 1 A B A2 B2 A3 A.√2-1 B.√2 C.√2+1 D.2-√2 8/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(2425七年级下甘肃临夏期末)-2的倒数为；6的立方根是一· 7.(25-26七年级上山东威海·期末)已知m<√53<n(其中m、n为相邻的两个正整数)，则m+n的值为 8.(25-26八年级上山西运城期末)若实数x,y满足√x-2+y+3=0,则(x+y)226的值为 2526七年级上南限期末)①2子-2得，@，5高-3品@4音4周 观察以上 式子，请解答 n2+1 10.(25-26八年级上广东佛山期末)任何实数m,可用m]表示不超过m的最大整数，如5]=5， []-2,现对35进行如下操作：35[5]=5[5]=2[]=1，这样对35只需进行3次揉 作后变为1.类似的，对196只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数 中，最大的是 三、解答题 11.(25-26八年级上江苏南京期末)(1)计算： 店-27+： (2)求x的值：(x-2)=-125. 12.(25-26八年级上江西吉安期末)已知m-2的立方根是2，n+1的算术平方根是3，d是√15的整数部 分. (I)求m,n,d的值； (2)求m-n+4d+2的平方根， 13.(25-26七年级上山东威海·期末)设三角形的三边分别为Q,b,C,则有下列三角形面积公式成立： ①S=Vpp-a)(p-b)(p-c,其中p=.(a+b+c(海伦公式) a2+b2-c2 秦九韶公式). 已知一个三角形的三边a,b,c分别为5，√6，√7，选用一个公式求这个三角形的面积. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(25-26八年级上贵州毕节期末)已知数轴上点A表示的数为-√2，点B表示的数为1，点A关于点B 的对称点为点C,一只蚂蚁从点C沿数轴向左爬行3个单位长度到达点D,设点D所表示的数为. (1)1n= (2)求2m-1-Vm-1)2的值： (3)在数轴上E,F两点分别表示实数e,f,且3e-2f八与V3f+9互为相反数，求6e+5f的立方根， 15.(25-26八年级上·福建三明期末)阅读以下材料，解决以下问题： ①√和√4为相邻两个整数，则有：4-1=3=2×√+1： ②√4和√5为相邻两个整数，则有：9-4=5=2×√4+1： ③√5和V16为相邻两个整数，则有：16-9=7=2×√5+1. (1)若√a的值和√a+1i的值为两个相邻整数，则a+11-a=11=2√a+1,则a= (2)猜想并证明结论： 结论：若√a的值和√b的值为相邻的两个整数，其中a<b,则有b-a=_ 证明：：√a的值和√b的值为相邻的两个整数，可设√b=, 请补全小明的证明过程， (3)若√m的值和√m+159的值为相差3的两个整数，求m的值. 16.(25-26八年级上·安微宿州期中)观察下列各式： 31 第1个等式： 第2个等式： 11 42 第3个等式 5 ，73 93 第4个等式： 164 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第6个等式： (2)根据等式的规律，请写出第n个等式；(n是正整数，用含的式子表示) 199 3)计算： 10000 10/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11/11