2026年山东聊城市高唐县二模数学试题

2026学年初中学业水平模拟检测（二) 九年级数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求 题 3 4 5 6 89 10 号 选 A BB D 项 二、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 7 11.4π 12(0,-3) k≤ 13.-3且k≠1 14.5.615.2 三、解答题：本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 16.(8分) 解：(1)原式 22+1-2x2 2-√2+4 2分 =7: 4分 2(x-3)(x+1)2 +x2-2x+1 (2)原式x+1x-3 5分 =2x+2+x2-2x+1=x2+3 7分 ts、6 6) +3= 当5时，原式（5 25 8分 17.(8分) 解：(1)△EFB是等腰三角形，且EF=FB 证明：由题意得，AE是∠BAC的平分线， 1分 :AE平分∠BAC,AB=AC, ∴.AE⊥BC 2分 由PQ作法可知，P是AB的垂直平分线， 3分 .F是AB的中点， 在Rt△AEB中，F为斜边AB的中点， ∴EF=FB(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)，∴.△EFB是等腰三角形 4分 (2)'在Rt△AEB中，AE=V3EB, .tanB-4E= EB 6分 ∠B=60°，.∠BAE=30° 1 8EB=AB=方×42 2 8分 18.(8分) (1)证明：如图1，过点A作AH∥CD .AB⊥MN, ∴，∠ABN=∠ABM=90° .AH∥CD ∴.∠CAH=∠DCE=50° 1分 :∠CAB=140°，.∠HAB=90°， ∴.∠HAB+∠ABM=180° .AH∥MN 2分 又.AH∥CD」 ∴.CD∥MN 3分 E D H 7777n77777n77777m 图1 (2)解：连接PC,如图2， 由题意可知， AP=160-90=70(cm) 4分 :AP⊥AC, .∠PAC=90° △PAC为直角三角形， 在Rt△PAC中，PC=VAC+AP2=V502+702=10W74(cm) 5分 --zp B 图2 (3)解：如图3，作AH∥CD,过点P作PT⊥HA交HA延长线于点T, 由题意得点P距离地面的高度约为125cm, .AB+PT =125(cm) 又”AB=90(cm)】 .PT=35(cm) 6分 sin∠PA7=PT-351 在Rt△APT中， AP 702. .∠PAT=30° 7分 又Q,A,B共线， ∴.∠QAP=60° ∴上身AP倾斜的角度∠QAP是60° 8分 E H M B 图3 19.(8分) 解：(1)设B型号文创书签的单价为x元，则A型号文创书签的单价为(x+20)元 900_200×3 根据题意，得x+20x, 2分 解得x=40 3分 经检验，x=40是原方程的解且符合题意。 当x=40时，x+20=40+20=60 答：A,B两种型号文创书签的单价分别是60元和40元. 4分 (2)设购买A型号文创书签m个，则购买B型号文创书签(00-m）个 根据题意，得60m+40(100-m)s4800 7分 解得m≤40 答：最多能购买40个A型号的文创书签， 8分 20.(10分) 解：(1)10÷20%=50（名） 答：本次调查了50名学生 1分 (2)18;6;77(每空2分，补全频数分布直方图1分) A学校九年级学生周日 课外阅读时长的频数分布直方图 ↑yl人数 20H 16 10-- 10 5H 060.570.5 80.590.5100.5x/时长 10+18+16 500× =440 (3) 50 (人) 答：估计A学校九年级500名学生中，周日课外阅读时长在90分钟内（包括90分钟）的学生共有440人. 10分 21.(10分) (1)证明：如图1，连接E0, △ABC中，∠B=45° ∴.∠EOC=90° 1分 .EF∥CD.∴.∠FEO=90°，∴.OE⊥EF 又：OE为⊙0的半径，∴EF是⊙0的切线： 3分 B D 图1 (2)解：如图2，连接BD, :CD是⊙0的直径， ∴.∠CBD=90° 又：AC=BC,∴.∠A=∠ABC=45° ∴.∠ACB=90° ∴.∠CBD+∠ACB=180° ∴.AC∥BD 5分 BD DM ∴.∠ACD=∠ADB,ACCM 6分 :tan∠ACD=3, ∴.tan∠ADB= BC =3 BD 7分 又：AC=BC, DM BDBD 1 CM AC BC 3 8分 DM 1 OD 1 CD4,而CD2, .DM 1 OM 1 OD 2.MD 10分 0 图2 22.(11分) (1)在；AD=DF+DE 2分 解析：，将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF, :.△AEF是等边三角形. .∠EAF=60°，AE=AF」 又：在菱形ABCD中，∠BAD=60° ∴.∠BAE=∠DAF,AB=AD,AB∥CD .△ABD为等边三角形，AD=BD,∠ABD=60° ·.△BAE≌△DAF(SAS) ∴∠ADF=∠ABD=6O°，DF=BE,∴.AD=BD=BE+DE=DF+DE 又∠ADC=180°-60°=120°，∠ADC+∠ADF=120°+60°=180°， 三点F,D,C在同一直线上 (2)解：设BE=x,则ED=6-x, ∠AEF=60°，∠ABD=60° ∴.∠AED=∠AEF+∠GED=∠ABD+∠BAE, ∴.∠GED=∠BAE 又∠ABD=∠ADB=60°， ∴.△ABE△EDG .BE GD AB ED 5分 xGD 66-x, Dr+6=-3y+ <0 .0<3<6,6 3 ∴线段GD的最大值为2 7分 (3)解：AD=DF+V2DE: :四边形ABCD为正方形，∴.∠OAD=45°，√20A=V20D=AD :将EA绕点E顺时针旋转90°，得到EF, ·△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=45°，V2AE=AF, OA AD .∠OAE=∠DAF,AEAF,.△OAE∽△DAF 9分 OE OA 1 …FD AD2,FD=V2OE, 10分 .AD=20D=2(OE+ED)=20E+2ED=FD+2DE 11分 23.(12分) 解：(1)①：二次函数y=r+bx+C的图象经过(-7，m川和（5，m)两点且与x轴交于点(2,0） b-7+5 2×12 4+2b+c=0. 1分 b=2, 解得(c=-8. 2分 .y=x2+2x-8 当x=-7时，n=49-14-8=27 .b和n的值分别是2和27. 3分 ②y=x2+2x-8=(x+1}-9 当x=-3时，y=-5, 若1≤1≤1，则二次函数y=+x+C的最大值与最小值的差为5-(9)4，这与二次函数 y=x+bx+C的最大值与最小值的差为2矛盾，若1>1，则最大值与最小值的差大于4，与差为2矛盾. ∴.t<-1 4分 当-3<t<-1时，图象在抛物线对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 5分 .-5-(t2+2t-8)=2 解得=-1-V2,5=-1+V2 又：-3<t<-1,t=-1-V2 6分 ③二次函数y=+2x-8的图象上有两点(：，），（：，)， 片=2+2x-8.2=x号+2x2-8 ∴片-2=(x-x2)x+x2+2) 8分 又“x+为=-1，乃-乃=x-x,且为=-1-， .(0y-y2+12-4y =(x-x2+1-4y =[x-(-1-x)+1]-4(x2+2x-8) =(2x+2)}2-4(x+2x-8) =36 9分 cs 13 (2)4或-3≤c<3 12分 参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2026学年初中学业水平模拟检测（二） 九年级数学试题 2026.05 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前、考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．如图，点表示的数的倒数是 A．-2 B．2 C． D． 2．校徽是学校的专属视觉符号，能够将学校的办学宗旨、育人理念、办学特色、校风校训转化为直观的视觉符号，把抽象的校园精神落地为可感知、可铭记的标识．下列学校的校徽中，是轴对称图形的是 A． B． C． D． 3．在全城翘首以盼中，2026年“惠享桃都・悦动全城”消费嘉年华启动仪式，暨肥城吾悦广场开业典礼盛大举行！根据公开信息，泰安肥城吾悦广场开业首日（4月30日）客流突破31万人次．其中数据31万用科学记数法表示为 A． B． C． D． 4．下列运算结果正确的是 A． B． C． D． 5．某化学兴趣小组进行酸碱中和实验，现有4个未贴标签的试剂瓶，外观完全相同，分别装有溶液、稀溶液、稀溶液和溶液．我们知道：溶液遇酚酞变红；稀溶液、稀溶液和溶液遇酚酞不变色．现随机选取其中1个试剂瓶中的溶液与酚酞试纸进行滴定实验，则混合后溶液呈现红色的概率是 A． B． C． D． 6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．下列选项中正确的是 A．设该店有客房间、房客人，依题意得方程组 B．设该店有客房间，依题意得方程 C．设该店有房客人，依题意得方程 D．设该店有客房间、房客人，则 7．如图，点，是以为直径的半圆的三等分点，，，，三点共线，于点，则图中阴影部分的面积为 A． B． C． D． 8．已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是 A． B．当时， C．当水流速度越大时，水流的力也越大 D．当时， 9．为了实时规划测绘航线，无人机需要计算自身与地面观测点之间的距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过点．下列选项不正确的是 A．当时， B．点到的最小值为9 C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 10．如图，已知，分别为正方形的边，上的点，且，，分别交对角线于点，，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是_____． 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，以点为旋转中心将点逆时针旋转后，再沿轴正半轴方向平移2个单位，它的对应点的坐标是_____． 13．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 14．山西运城——泛舟禅师塔，它是中国唯一的圆形唐塔孤例，是盛唐与波斯文化交流的活化石．为了测量泛舟禅师塔的底座，小明想了这样的方法来测量；如图，做一个矩形框，边为软皮筋，将矩形框平放推至塔的底座下，使边紧贴塔底座的圆弧，顶点，抵住塔边，若矩形框的边，，则泛舟禅师塔底座直径大约为_____米．（结果精确到0.1米） 15．如图，在中，，，为斜边的中点，且，点，分别在和上，且，则线段的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17．（8分）如图，在等腰三角形中，，以点为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，连接交于点，连接． （1）判断的形状并证明； （2）若，，求的长． 18．（8分）如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿直立于地面，小腿部分是，上身，即于点，是演员小腿上踢后与大腿在同一平面的瞬间（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知演员身高，腿． （1）若，．求证：； （2）若演员上身垂直于大腿，大腿的长为，求点，间的距离（保留根号）； （3）当演员头部距离地面的高度是时，求上身倾斜的角度． 19．（8分）学校为了举办校园文化节，准备采购A，B两种文创书签，其中A型号文创书签比B型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型号文创书签数量的3倍． （1）求A，B两种型号文创书签的单价分别是多少元； （2）若计划购买A，B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能购买多少个A型号的文创书签． 20．（10分）在“书香校园”建设背景下，山东某市教体局想了解A学校九年级500名学生周日课外阅读时长情况，从九年级随机抽取部分学生的周日课外阅读时长数据（单位：分钟，保留整数），整理分析得到以下4组数据： （1）阅读时长在的人数占调查人数的20%； （2）将调查的九年级学生周日课外阅读时长的数据从小到大排列，其中一部分数据如下：…，67，67，68，72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80，82，82，85，…． （3）九年级周日课外阅读时长统计表如下： 组别 频数 10 16 （4）九年级周日课外阅读时长频数分布直方图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查了多少名学生？ （2）填空：_____，_____，抽取的这部分学生周日课外阅读时长的中位数是_____，并补全频数分布直方图； （3）实际调查中，九年级学生周日课外阅读时长通常不得超过90分钟，估计A学校九年级500名学生中，周日课外阅读时长在90分钟内（包括90分钟）的学生共有多少人． 21．（10分）如图，在中，，经过，两点，与边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 22．（11分）综合与实践 在数学活动课上，王老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）观察猜想 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，则，，三点_____同一直线上（填“在”或“不在”），，，之间的数量关系是_____； （2）积极思考 若菱形的边长为6，和交于点，求线段的最大值； （3）类比探究 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，与交于点．写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由． 23．（12分）已知二次函数的图象经过和两点． （1）当该二次函数图象与轴交于点时， ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求的值； ③二次函数的图象上有两点，，若，说明． （2）已知点，，若二次函数的图象与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $