第四章 数列 复习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学数列单元复习卷，全面覆盖等差等比核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等差等比通项与求和、递推关系、新定义|基础题（如第1题等差性质）与创新题（如第8题T数列）结合，考查数学抽象| |填空题|3题15分|等差中项、由Sn求an、等比数列单调性|注重基本技能，如第13题由Sn求通项| |解答题|5题77分|等差等比证明与求和、递推数列、综合应用|分层设计，如第19题结合等差证明、求和及剔除相同项，考查逻辑推理与运算能力|

第四章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．在等差数列中，若，则（    ） A．20 B．24 C．27 D．29 2．已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（     ） A．2 B． C．2或 D．2或 3．等差数列中， 则前13项和（    ） A．133 B．130 C．125 D．120 4．已知是等差数列，，，则的公差等于（    ） A．3 B．4 C．-3 D．-4 5．已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C．7 D． 6．四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 7．已知实数，，成公差不为0的等差数列，若函数满足，，成等比数列，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 8．若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ） A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A． B． C． D． 10．在等比数列中，，公比为q，则（   ） A．q＝±2 B．＝±12 C．是公比为4的等比数列 D．是公比为2的等比数列 11．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．数列是递增数列 D．数列的前n项积为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若3，，x，y成等差数列，则___. 13．已知数列的前n项和为，则的通项公式为______． 14．已知等比数列为递减数列，其前项和为，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 16．已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．已知等比数列的前项和为，公比，且，. (1)求公比的值； (2)设 ，求证：是等比数列. 18．记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 19．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．在等差数列中，若，则（    ） A．20 B．24 C．27 D．29 【答案】D 【分析】求出基本量，即可求解. 【详解】解：，所以，又，所以， 所以， 故选：D 2．已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（     ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求出，根据等比数列通项列方程求解即可. 【详解】由题意得，， 又 设公比为，则，解得或. 故选：C. 3．等差数列中， 则前13项和（    ） A．133 B．130 C．125 D．120 【答案】B 【分析】先根据等差数列的通项公式求出首项和公差之间的关系，进而利用等差数列的前项和公式求出结果. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以，所以， 也即，由等差数列的前项和公式可得：， 故选：B. 4．已知是等差数列，，，则的公差等于（    ） A．3 B．4 C．-3 D．-4 【答案】C 【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差． 【详解】，， 则的公差， 故选：C 5．已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】由题中等式变形得出，由累加法求出数列的通项公式，利用对勾函数的单调性可求出的最小值. 【详解】因为数列满足，，即， 当时，则有， 所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，， 所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故， 所以的最小值为. 故选：B. 6．四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，分情况讨论，即可得到结果. 【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同， 当对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为，此时， 当对应等比数列的第一项与第四项时，此时， 当对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为，此时， 当对应等比数列的第三项与第二项时，此时， 当对应等比数列的第二项与第三项时，此时， 当对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为，此时， 当对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为，此时， 当对应等比数列的第四项与第一项时，此时. 故选：C. 7．已知实数，，成公差不为0的等差数列，若函数满足，，成等比数列，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的线型组合还是等差数列，一个数列既是等差数列，又是等比数列，则必为常数列，可以对ABC进行否定，进而判定D正确.D的正确可以举特例，但这个特例比较难找.利用等价分析转化法可以得到f(a),f(b),f(c)成等比数列的条件为d2-2b2+2=0,进而找到例子，说明f(x)可以为D的形式. 【详解】若是f(x)=2x,则由于a,b,c成等差数列，∴2a,2b,2c也成等差数列， 即f(a),f(b),f(c)也成等差数列，要使f(a),f(b),f(c)同时也成等比数列，则f(a)=f(b)=f(c)，从而a=b=c,从而等差数列a,b,c的公差为零，与已知矛盾； 若f(x)=2x+1,同理得到矛盾； 若f(x)=x3,为使f(a),f(b),f(c)成等比数列，必须且只需a,b,c成等比数列，又∵a,b,c成等差数列，∴a,b,c为常数列，进而公差为零，与已知矛盾； 若f(x)=x2+1，设a=b-d,c=b+d(d≠0), f(a)f(c)=f2(b)等价于[(b-d)2+1][(b+d)2+1]=(b2+1)2, 整理得：d2-2b2+2=0, 即只要b,d满足上式，f(a),f(b),f(c)便成等比数列， 比如取b=d=既满足要求. 取a=0,b=,c=,满足a,b,c成等差数列，且公差不为零，此时，f(a)=1,f(b)=3,f(c)=9,f(a),f(b),f(c)成等比数列. 故选：D. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，关键是数列掌握等差数列的线型组合还是等差数列，既是等差数列又是等比数列的数列必为常数列的常用结论，即可较为轻松的解决此类问题. 8．若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列的通项公式直接计算. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，，则，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，，所以，D选项正确； 故选：ABD. 10．在等比数列中，，公比为q，则（   ） A．q＝±2 B．＝±12 C．是公比为4的等比数列 D．是公比为2的等比数列 【答案】AC 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，由得，所以数列是公比为4的等比数列，故C正确； 对于D，当时，，所以数列是公比为4的等比数列，故D错误. 11．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．数列是递增数列 D．数列的前n项积为，则 【答案】ABD 【分析】对于A，对数列递推式依次取值计算即可判断；对于B，由递推式取倒数，利用等差数列定义即可判断；对于C，利用数列通项的增减性即可判断；对于D，求出的表达式，由对依次赋值比较即可判断. 【详解】对于A，由，，可得，，，，故A正确； 对于B，由和可知，两边同时取倒数可得， 即，故数列为等差数列，即B正确； 对于C，由B可得，则得，显然随着的增大， 逐渐减小，故数列是递减数列，即C错误； 对于D，依题意， ，因为， 当时，得，当时， ，而当时， ，则，故有，即D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若3，，x，y成等差数列，则___. 【答案】 【分析】先求解公差，再应用等差通项公式计算求解. 【详解】因为，所以 13．已知数列的前n项和为，则的通项公式为______． 【答案】 【分析】根据与的关系求解． 【详解】当时，， 当时，， 又当时，不满足该式， ∴ 14．已知等比数列为递减数列，其前项和为，且，则______． 【答案】/ 【分析】设数列公比为，运用等比数列的前项和的基本量运算求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设数列公比为，依题意，得， 整理得，解得或， 又等比数列为递减数列，所以， 由，得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 【答案】(1) (2)60 【分析】（1）将条件转化为关于和的等式组，联立后结合等差数列通项公式即可求解； （2）将问题化为关于和的式子，并结合（1）中求得的值即可求解. 【详解】（1）设为的公差，由题意得，解得， 故. （2）由题意得 . 16．已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系得到数列的公比，代入等比数列通项公式得到通项结果； （2）利用等比数列前项和公式计算得到前项和. 【详解】（1）由可得， 因此数列是首项、公比的等比数列， 代入等比数列通项公式得： ； （2）已知是首项为1、公比为2的等比数列， 代入等比数列前项和公式，得： . 17．已知等比数列的前项和为，公比，且，. (1)求公比的值； (2)设 ，求证：是等比数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件计算出等比数列的公比； （2）运用等比数列的定义证明即可. 【详解】（1）由题可知，将代入得， 解得或，又因为公比，所以； （2）由（1）可知， ， ，， 所以是等比数列. 18．记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比中项的定义列出方程组，求解可得； （2）根据裂项相消求和法求得，分析其单调性，可得的最小整数值． 【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，则， 即，则，因为，所以， 所以，解得， 则， 所以. （2）由（1）得， 所以， 则， 因为对任意，，且单调递增， 所以，则的最小整数值为1. 19．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解； （3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和. 【详解】（1）数列满足，， 设，则， 有， 所以， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $