高中数学单元测试——第四章数列（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 4．（本题5分）已知数列为等差数列，，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（本题5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（    ） A．42 B．95 C．102 D．109 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 三、填空题 12．（本题5分）在正项等比数列中，已知，则_____． 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（本题15分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 18．（本题17分）设正项数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 数列（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】借助等差数列性质计算即可得. 【详解】，解得. 故选：A. 2．（本题5分）在等比数列中，，则（    ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项公式计算. 【详解】等比数列，满足， 即，解得. 故选：C 3．（本题5分）已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 4．（本题5分）已知数列为等差数列，，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列下标和的性质求解. 【详解】因为是等差数列，，所以， 所以， 故选：C. 5．（本题5分）已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（    ） A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】由等比数列的前n项和公式列出关于和公比q的方程，解出，q，即可写出与，再将不等式化简，参变分离得对任意的恒成立，可构造函数，利用作差法判断函数的最小值，求得t的最大值，也可利用基本不等式进行求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，∴．∴关于n的不等式， 即，即对任意的恒成立． 解法一  设，则， 当时，，当时，， 当时，， 又，∴当或时，，∴． 故选:C． 解法二  由，当且仅当，即时等号成立， 又，∴当或时，取得最小值24，故． 故选:C． 6．（本题5分）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得． 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 7．（本题5分）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【详解】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 8．（本题5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（    ） A．42 B．95 C．102 D．109 【答案】C 【分析】根据数列的递推公式，九步到1，即，，.根据角谷猜想的结论可求得，再求出，相加可得答案. 【详解】由题可知，，，. 之后各项会按照的顺序循环. 因为，，所以. 因为. 当时，. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记，的前n项和为，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质可得，从而判断A；求出等差数列的，，即可得通项公式和前项和，判断BC；根据并项法求，判断D. 【详解】根据题意，根据等差数列的性质可得．所以．故A正确； 因为．所以，可得，即， 结合，计算可得，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD． 11．（本题6分）定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．公积为3 D． 【答案】AC 【分析】根据已知新定义计算判断A，C，应用周期性计算求和判断B，分类计算判断D. 【详解】对于A，由，得正确； 对于B，由A知，该数列的周期为3，由，得，解得错误； 对于C，由B知，正确； 对于D，当时，，当时，，当时，错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（本题5分）在正项等比数列中，已知，则_____． 【答案】 【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出，再结合即可求解． 【详解】由，则，得， 由题意知，故， 所以． 故答案为： 13．（本题5分）已知数列满足，记数列的前n项和为，则_______. 【答案】15 【分析】分别令计算即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：15 14．（本题5分）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为__________. 【答案】6 【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 所以等差数列的前项和为， 则， ，， 所以数列是等差数列，公差为. 因为，所以数列单调递减， 所以，即，所以等差数列单调递减. 因为数列单调递减，所以， 因为， ，所以. 因为等差数列单调递减，且，所以， 所以当时，取最大值. 故答案为：6 四、解答题 15．（本题13分）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的首面，再利用等差数列、等比数列通项公式求得答案. （2）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，， 由，得，又等差数列的公差是-2，则， 所以和的通项公式分别为，. （2）记和的前项和分别为，，则． 而，， 所以. 16．（本题15分）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. （2）， 17．（本题15分）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 18．（本题17分）设正项数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）根据错位相减法求和即可； （3），当时，放缩可得，据此求和即可得证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2）因为, 则    ①    ② ①②可得： . . （3）由（1）知，则， 当时，，结论也成立. 当时，因为，所以，故， 所以，当时， ， 因为，所以，即. 综上所述，. 19．（本题17分）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）设， 则， 则， 因为，所以． （3）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 试卷第1页，共3页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $