第01讲数列的概念期末题型归纳训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第01讲数列的概念重点题型归纳 【题型1】观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项 1．数列的第8项为（    ） A． B． C． D．. 【针对训练】 1．的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 2．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【题型2】数列的周期性 例题1．若数列满足，其前项积为，则（   ） A． B． C．6 D．-6 【针对训练】 1．已知数列满足，则前2023项的和的值为（    ） A．506 B．1012 C．1013 D．2024 2．已知数列满足，，则（   ） A． B． C．2 D．2025 3．已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【题型3】确定数列中的最大最小项 例题1．已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 【题型4】累加法求数列通项 例题1．已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【针对训练】 1．在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 2．在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5】利用an与sn关系求通项或项 例题1．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知数列的前项和公式为，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 2．若是数列的前项和，，则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型6】观察法求数列通项 例题1．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 3．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【题型7】由递推关系式求通项公式 例题1．已知数列满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．4 【针对训练】 1．若数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 2．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 3．记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 4．已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 【题型8】累乘法求数列通项 例题1．已知，，求数列的通项． 【题型9】根据数列的单调性求参数 例题1．在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲数列的概念重点题型归纳 【题型1】观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项 1．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 【针对训练】 1．的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【详解】由题意可知，故第9项为． 2．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 【题型2】数列的周期性 例题1．若数列满足，其前项积为，则（   ） A． B． C．6 D．-6 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；， 故数列是以4为周期的周期数列，， . 【针对训练】 1．已知数列满足，则前2023项的和的值为（    ） A．506 B．1012 C．1013 D．2024 【详解】因为数列满足， 所以， 故数列是以3为周期的周期数列，且， 所以. 2．已知数列满足，，则（   ） A． B． C．2 D．2025 【详解】由题意可知，即该数列是以3为周期的数列， 所以. 3．已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【详解】，，，， 可见，数列的周期为， ， ． 【题型3】确定数列中的最大最小项 例题1．已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【详解】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故. 【针对训练】 1．已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】由； 由. 所以数列中，当时；当时， 所以数列中，最小. 即数列的最小项是第8项. 2．已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 【详解】依题意，， 当时，，数列单调递减，且， 当时，，数列单调递减， 因此，， 所以当取得最小值时，. 【题型4】累加法求数列通项 例题1．已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 【针对训练】 1．在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【详解】由可得， 则 . 2．在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】由，得， ∴，，，， ，. 累加上式可得， ， . 【题型5】利用an与sn关系求通项或项 例题1．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 【针对训练】 1．已知数列的前项和公式为，则（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【详解】． 2．若是数列的前项和，，则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【详解】 ． 【题型6】观察法求数列通项 例题1．已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 【针对训练】 1．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 2．已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【详解】，观察可得该数列的通项公式可以为 3．数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列， 所以此数列的一个通项公式为，故C正确. 【题型7】由递推关系式求通项公式 例题1．已知数列满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．4 【详解】因为，所以， ， ， ， ， 所以数列的周期为3，即. 【针对训练】 1．若数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 【详解】因为数列满足，则， 又因为，所以，，， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 所以. 2．已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 3．记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【详解】（1）①，当时，，即，所以， 当时，②， 式①-②得，即， 故当时，， 当时，依然成立， 故通项公式为； （2），故， 当时，， 当时，，故， 又，故， 所以， 故 4．已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 【详解】（1）由已知， 当时，， 则， 化简可得，即，，，，， 等式左右分别相乘可得，即， 又，所以； （2）由（1）得，即， 所以. 【题型8】累乘法求数列通项 例题1．已知，，求数列的通项． 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 【题型9】根据数列的单调性求参数 例题1．在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 【针对训练】 1．若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】数列为单调递增数列，且，， ，，即， 因为是关于n的单调递增函数，当时， 取得最小值．所以， 所以， 则． 2．数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】在数列，，由是递增数列， 得，， 而当时，，则， 所以的取值范围是. 3．已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 【详解】由等差数列满足，得， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $