专题09函数易错必刷题型专项训练(12大题型共计36道题)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦函数全章12类高频易错题型，通过典题特征与易错点提炼，构建从概念理解到综合应用的系统性突破体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |变量关系表示|3类（表格/关系式/图象）|数据规律分析、关系式列写、图象趋势判断|从具体表示到函数概念的抽象过程| |函数概念与性质|4类（概念/解析式/自变量范围/函数值）|定义辨析、解析式化简、取值范围限制|概念生成→性质推导→基础应用| |函数图象应用|3类（识别/画图/信息获取）|图象关键点分析、描点连线规范、信息转化|几何直观与代数表达的转化| |综合应用|2类（动点问题/三种表示方法）|运动阶段划分、多方法对比转化|知识整合与实际问题建模|

专题09函数易错必刷题型专项训练 本专题汇总函数全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.用表格表示变量间的关系 题型02.用关系式表示变量间的关系 题型03.用图象表示变量间的关系 题型04.函数的概念 题型05.函数解析式 题型06.求自变量的取值范围 题型07.求自变量的值或函数值 题型08.函数图象识别 题型09.用描点法画函数图象 题型10.从函数图象获取信息 题型11.动点问题的函数图象 题型12.函数的三种表示方法 易错必刷题型01.用表格表示变量间的关系 典题特征：给出表格数据，分析变量间的变化规律、趋势或预测后续值。 易错点：① 误将表格中的对应关系直接等同于函数关系（忽略“一个自变量对应唯一因变量”的核心定义）；② 看错表格的行列对应关系，导致变量取值配对错误。 1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（    ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 2．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 3．物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 易错必刷题型02.用关系式表示变量间的关系 典题特征：根据文字描述，写出变量间的函数关系式。 易错点：① 列关系式时遗漏常数项或运算符号错误；② 混淆自变量与因变量的位置，导致关系式方向颠倒。 4．如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的度数 D．的面积 5．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是_____． 6．某城市为了加强公民的节气意识，按以下规定收取每月燃气费：所用天然气如果不超过，按每立方米0.8元收费；如果超过，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用了天然气，应交燃气费为元． (1)若小丽家某月用燃气量为，则小丽家该月应交燃气费多少元？ (2)写出与之间的关系式； (3)若小丽家4月份的燃气费为88元，那么4月份小丽家用了多少立方米的天然气？ (4)已知小丽家6月份的燃气费平均每立方米1元，那么6月份小丽家用了多少立方米的天然气？ 易错必刷题型03.用图象表示变量间的关系 典题特征：根据情境描述，判断或绘制变量间的变化图象。 易错点：① 误将“上升/下降趋势”与变量增减对应错误；② 忽略图象的起点、终点和拐点，无法匹配情境的关键变化。 7．如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 8．如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 9．在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 易错必刷题型04.函数的概念 典题特征：判断给定的对应关系（表格、关系式、图象）是否为函数。 易错点：① 忽略“一个自变量只能对应唯一函数值”的定义，误判一对多的关系为函数；② 混淆“函数”与“关系式”的概念，认为所有关系式都是函数。 10．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 11．下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是______．（填序号） 12．下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型05.函数解析式 典题特征：根据情境写出函数解析式，或根据解析式求特定值。 易错点：① 解析式化简时运算错误，如符号、系数计算失误；② 写出解析式后忘记标注自变量的取值范围。 13．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 14．上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为__________． 15．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）（）之间的对应关系如下表： 物体的质量x/ 0 1 2 3 4 弹簧的长度y/ 8 10 12 14 16 根据上表，解决下列问题． (1)在弹性限度内，直接写出y关于x的函数解析式； (2)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？ (3)学习小组观察弹簧挂物体后的长度为，此时弹簧所挂物体质量为多少？ 易错必刷题型06.求自变量的取值范围 典题特征：根据函数解析式，确定自变量的取值范围。 易错点：① 分式函数忘记分母不为0的限制；② 二次根式函数忘记被开方数非负的限制；③ 实际情境题忽略变量的实际意义（如人数、长度不能为负）。 16．函数中自变量的取值范围是__________． 17．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 18．已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 易错必刷题型07.求自变量的值或函数值 典题特征：已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值。 易错点：① 代入求值时计算错误，尤其是含乘方、分式的解析式；② 已知函数值求自变量时，解出的根不符合取值范围未舍去。 19．若物体运动的路程S（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体所运动的路程为（   ） A．66米 B．36米 C．37米 D．26米 20．某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为__________件． 21．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费．下表是户年用电量标准，在用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量/ 单价/［元/］ 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2472元，求该户去年一年的用电量． 易错必刷题型08.函数图象识别 典题特征：给出函数图象，判断对应的情境或关系式。 易错点：① 误将水平线段当作变量不变的阶段，忽略实际情境中变量的变化；② 无法区分“匀速变化”与“变速变化”对应的图象形状。 22．了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点____________． 23．如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 24．下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 易错必刷题型09.用描点法画函数图象 典题特征：根据函数解析式，列表、描点、连线绘制函数图象。 易错点：① 列表时自变量取值不均匀，导致图象形状失真；② 描点后未用平滑曲线连接，或遗漏关键点（如与坐标轴的交点）。 25．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 26．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 27．如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ． 易错必刷题型10.从函数图象获取信息 典题特征：根据函数图象，读取变量值、变化趋势或解决实际问题。 易错点：① 看错图象的横纵坐标代表的意义，导致信息解读错误；② 误将图象的斜率当作变量的实际变化率，忽略单位换算。 28．小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（    ） A． B． C． D． 29．小明为新买的充电宝做了如下充放电性能测试：实验开始，充电宝充电口接入电源，开始给充电宝充电，一段时间后，在不断开电源的情况下，充电宝输出口接入电子设备并为其充电，又过了一段时间，充电宝断开电源，直到充电宝电量耗尽，电子设备电量未充满，测试结束．充电宝充电功率和输出功率都恒定．充电宝电量与测试时间的关系（部分数据）如图所示．小明本次的测试时间为_____分钟． 30．2026年4月19日，在北京亦庄举办了“人形机器人半程马拉松”赛事，冠军机器人“闪电”以50分26秒夺冠，超越了人类男子半马的世界纪录．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙沿同一路线出发，甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间的函数图象（如图）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______；乙行走的速度是______ ； (2)图中点表示的实际意义为______； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 易错必刷题型11.动点问题的函数图象 典题特征：根据动点在图形上的运动过程，判断对应的函数图象。 易错点：① 无法根据动点的运动阶段（匀速/变速、线段/曲线）判断图象形状； ② 忽略动点运动的临界位置（如顶点、中点），导致图象拐点判断错误。 31．如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（   ） A．12，9 B．6，6 C．6，3 D．12，3 32．如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 33．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 易错必刷题型12.函数的三种表示方法 典题特征：对比表格、关系式、图象三种表示方法的优缺点，或进行相互转化。 易错点：① 认为三种表示方法可以完全等价，忽略部分函数只能用特定方法表示；② 转化时丢失信息，如表格转关系式时遗漏特殊点。 34．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 35．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 36．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09函数易错必刷题型专项训练 本专题汇总函数全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.用表格表示变量间的关系 题型02.用关系式表示变量间的关系 题型03.用图象表示变量间的关系 题型04.函数的概念 题型05.函数解析式 题型06.求自变量的取值范围 题型07.求自变量的值或函数值 题型08.函数图象识别 题型09.用描点法画函数图象 题型10.从函数图象获取信息 题型11.动点问题的函数图象 题型12.函数的三种表示方法 易错必刷题型01.用表格表示变量间的关系 典题特征：给出表格数据，分析变量间的变化规律、趋势或预测后续值。 易错点：① 误将表格中的对应关系直接等同于函数关系（忽略“一个自变量对应唯一因变量”的核心定义）；② 看错表格的行列对应关系，导致变量取值配对错误。 1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（    ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】C 【分析】在变化过程中数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量. 【详解】解：在此次加油过程中，油量不断增加，金额随之变化，故油量和金额是变量；单价固定不变，故单价是常量. 2．水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 3．物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 易错必刷题型02.用关系式表示变量间的关系 典题特征：根据文字描述，写出变量间的函数关系式。 易错点：① 列关系式时遗漏常数项或运算符号错误；② 混淆自变量与因变量的位置，导致关系式方向颠倒。 4．如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的度数 D．的面积 【答案】B 【分析】根据常量和变量的概念，分析各选项即可． 【详解】解：在转动过程中，的长度，的度数，的面积，都在变化，属于变量；木条绕点转动至位置，的长度始终不变， ∴常量为的长度． 5．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可，熟练掌握由题意列出函数关系式是解题的关键． 【详解】由题意得：， 故答案为：． 6．某城市为了加强公民的节气意识，按以下规定收取每月燃气费：所用天然气如果不超过，按每立方米0.8元收费；如果超过，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用了天然气，应交燃气费为元． (1)若小丽家某月用燃气量为，则小丽家该月应交燃气费多少元？ (2)写出与之间的关系式； (3)若小丽家4月份的燃气费为88元，那么4月份小丽家用了多少立方米的天然气？ (4)已知小丽家6月份的燃气费平均每立方米1元，那么6月份小丽家用了多少立方米的天然气？ 【答案】(1)76元． (2)． (3)4月份小丽家用了天然气． (4)6月份小丽家用了的天然气． 【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）设小丽家每月用了天然气，已知，列出函数关系式即可； （3）先判断是否大于，然后将代入（2）中函数关系式，求出的值即可； （4）先判断是否大于，然后根据题意列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：（元）． 故小丽家该月应交燃气费76元． （2）解：由题意，得． （3）解：， 月份小丽家所用天然气超过， ∴将代入，得， 解得． 故月份小丽家用了天然气． （4）解：∵燃气费平均每立方米元，大于元， ∴用气量一定超过． 由题意，得， 解得． 故月份小丽家用了的天然气． 【点睛】本题考查关系式表示变量间的关系，一元一次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出函数解析式． 易错必刷题型03.用图象表示变量间的关系 典题特征：根据情境描述，判断或绘制变量间的变化图象。 易错点：① 误将“上升/下降趋势”与变量增减对应错误；② 忽略图象的起点、终点和拐点，无法匹配情境的关键变化。 7．如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器的形状可知，容器下部横截面积大，上部横截面积小；在单位时间内注水量保持不变的情况下，水面高度上升的速度会随着横截面积的减小而变快，即函数图象逐渐增大． 【详解】解：∵容器形状为下宽上窄， ∴随着注水时间的增加，容器内水面的横截面积逐渐减小， ∵单位时间内注水量保持不变， ∴水面高度随时间的变化率（即上升速度）会逐渐增大， ∴在函数图象上，表现为图象越来越陡，观察选项，只有选项的图象符合题意． 8．如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 3 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 9．在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 易错必刷题型04.函数的概念 典题特征：判断给定的对应关系（表格、关系式、图象）是否为函数。 易错点：① 忽略“一个自变量只能对应唯一函数值”的定义，误判一对多的关系为函数；② 混淆“函数”与“关系式”的概念，认为所有关系式都是函数。 10．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意； B.对于每一个x的值，都有唯一确定的y与其对应，符合题意； C.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意； D.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意． 11．下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是______．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； ④不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，是的函数的是①②， 故答案为：①②． 12．下列式子中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， B． 对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，则y不是x的函数， C． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， D． 对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数， 故选：B． 易错必刷题型05.函数解析式 典题特征：根据情境写出函数解析式，或根据解析式求特定值。 易错点：① 解析式化简时运算错误，如符号、系数计算失误；② 写出解析式后忘记标注自变量的取值范围。 13．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用x张白纸的长度减去粘合部分的长度可得一次函数解析式． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， ∴． 14．上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键．根据题意得到时间的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可． 【详解】解：（小时）， ． 故答案为：． 15．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）（）之间的对应关系如下表： 物体的质量x/ 0 1 2 3 4 弹簧的长度y/ 8 10 12 14 16 根据上表，解决下列问题． (1)在弹性限度内，直接写出y关于x的函数解析式； (2)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？ (3)学习小组观察弹簧挂物体后的长度为，此时弹簧所挂物体质量为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由表可知弹簧原长为，所挂物体每增加弹簧伸长，故可求出y关于x的函数关系式； （2）令时，求出y的值即可； （3）令时，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由表可知，弹簧原长为，所挂物体每增加弹簧伸长， y关于x的函数解析式． （2）解：当时，， 当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为； （3）解：当时，则， 解得， 此时弹簧所挂物体质量为． 易错必刷题型06.求自变量的取值范围 典题特征：根据函数解析式，确定自变量的取值范围。 易错点：① 分式函数忘记分母不为0的限制；② 二次根式函数忘记被开方数非负的限制；③ 实际情境题忽略变量的实际意义（如人数、长度不能为负）。 16．函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式分母不为0，二次根式被开方数非负，即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，该函数表达式分母含二次根式，因此需满足， 解得． 17．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的条件，确定自变量的取值范围，然后即可求解； 【详解】解：函数中： 分子部分要求底数，即， 分母部分要求被开方数（分母不能为零），解得， 结合两个条件： 时，的值必然大于，此时自动成立， ∴自变量的取值范围是，对应选项C， 故选：C． 18．已知长方形周长为． (1)写出长方形面积与一边长的函数关系式； (2)求出自变量的取值范围； (3)当时，算出面积的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的取值范围，求函数值，一元一次不等式的应用（用一元一次不等式解决实际问题）等知识点，熟练掌握函数基础知识是解题的关键． （1）长方形的一边长为，则另一边长为，然后利用长方形的面积公式即可得出长方形面积与一边长的函数关系式； （2）长方形的一边长为，则另一边长为，由题意得，，解不等式即可求出自变量的取值范围； （3）由（1）得，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 长方形面积， 长方形面积与一边长的函数关系式为； （2）解：长方形的一边长为，则另一边长为， 由题意得：，， 解得：， 自变量的取值范围为； （3）解：由（1）得：， 当时， ， 当时，面积的值为． 易错必刷题型07.求自变量的值或函数值 典题特征：已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值。 易错点：① 代入求值时计算错误，尤其是含乘方、分式的解析式；② 已知函数值求自变量时，解出的根不符合取值范围未舍去。 19．若物体运动的路程S（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体所运动的路程为（   ） A．66米 B．36米 C．37米 D．26米 【答案】A 【分析】把代入函数解析式求得相应的S的值即可． 【详解】解：当时， ， ∴当秒时，该物体所运动的路程为66米． 20．某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为__________件． 【答案】20 【分析】本题考查函数关系式，读懂题意，找到道等量关系是关键； 先找出总售价与售出件数的函数关系，再据此计算总售价为1000元时售出的件数． 【详解】解：观察表格，售出件时总售价50元，售出件时总售价100元， 发现总售价（元）与售出件数（件）满足（为正整数）． 当时，代入，可得， 解得． 所以，若总售价为1000元，则售出的件数为20件． 故答案为：20． 21．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费．下表是户年用电量标准，在用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量/ 单价/［元/］ 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2472元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2)该户这一年的电费为元 (3)该户去年一年的用电量为 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用电量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用电量处于第二档，代入（1）中关系式计算即可求解． 【详解】（1）解：第一档的电费为（元）， 第二档的电费为（元）， ∴电费（单位：元）与之间的关系式为； （2）解：当某户一年用电量是时，处于第二档， ∴（元）， 答：该户这一年的电费为元； （3）解：当时，电费为（元）， ∵， ∴该户去年一年的用电量在第二档， ∴， 解得， ∴该户去年一年的用电量为． 易错必刷题型08.函数图象识别 典题特征：给出函数图象，判断对应的情境或关系式。 易错点：① 误将水平线段当作变量不变的阶段，忽略实际情境中变量的变化；② 无法区分“匀速变化”与“变速变化”对应的图象形状。 22．了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点____________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，零次幂； 根据任何一个不为零的数的零次幂都是1可得答案． 【详解】解：∵，（且） ∴函数恒过点， 故答案为：． 23．如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的识别，由铁块露出水面越多浮力越小得出答案是解题的关键．分析整个铁块上升的过程，由此即可得出结论． 【详解】解：当铁块上面的面还在水中时，弹簧秤的读数不变； 当铁块上面的面浮出水面，下面的面还在水下时，随着铁块上浮，弹簧秤的读数逐渐变大； 当铁块下面的面浮出水面时，弹簧秤的读数不变． 根据弹簧秤的读数保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．得出函数的图象．选项中C的图像与描述一致． 24．下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 易错必刷题型09.用描点法画函数图象 典题特征：根据函数解析式，列表、描点、连线绘制函数图象。 易错点：① 列表时自变量取值不均匀，导致图象形状失真；② 描点后未用平滑曲线连接，或遗漏关键点（如与坐标轴的交点）。 25．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 26．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 27．如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析，当时，随的增大而减小 (3)8 【分析】（1）分点在上，点在上，两种情况讨论即可； （2）根据（1）中结论描点画图即可； （3）根据函数图象结合题意即可解答． 【详解】（1）解：当点在上，即时，则， 即 ， 当点在上，即时，，则 ， 即 ， 综上所述，y与x之间的函数表达式为：； （2）解：如图： 观察函数图象可知， 当时，随的增大而减小； （3）解：观察图象可知，当点E运动到点A时，即时，， 故此时面积为8． 易错必刷题型10.从函数图象获取信息 典题特征：根据函数图象，读取变量值、变化趋势或解决实际问题。 易错点：① 看错图象的横纵坐标代表的意义，导致信息解读错误；② 误将图象的斜率当作变量的实际变化率，忽略单位换算。 28．小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象分析小明的运动过程，确定骑行阶段的起始时间和结束时间，两者之差即为骑行时间． 【详解】解：由图象可知，小明在步行， 在停留开锁， 在骑行． 骑行的起始时刻为第，结束时刻为第． 骑行的时间为． 29．小明为新买的充电宝做了如下充放电性能测试：实验开始，充电宝充电口接入电源，开始给充电宝充电，一段时间后，在不断开电源的情况下，充电宝输出口接入电子设备并为其充电，又过了一段时间，充电宝断开电源，直到充电宝电量耗尽，电子设备电量未充满，测试结束．充电宝充电功率和输出功率都恒定．充电宝电量与测试时间的关系（部分数据）如图所示．小明本次的测试时间为_____分钟． 【答案】 【分析】根据图象信息，先求出充电宝充电功率和输出功率，再求出电量耗尽所用时间，即可得答案． 【详解】解：∵只给充电宝充电，分钟时，充电宝的电量为瓦， ∴充电宝充电功率为瓦/分钟， ∵在不断开电源的情况下，继续充电分钟，充电宝的电量为瓦， ∴充电宝的输出功率瓦/分钟， ∴充电宝断开电源后，充电宝电量耗尽所用时间为（分钟）， ∴小明本次的测试时间为（分钟）． 30．2026年4月19日，在北京亦庄举办了“人形机器人半程马拉松”赛事，冠军机器人“闪电”以50分26秒夺冠，超越了人类男子半马的世界纪录．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙沿同一路线出发，甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间的函数图象（如图）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______；乙行走的速度是______ ； (2)图中点表示的实际意义为______； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 【答案】(1)2，2.5 (2)甲、乙两个机器人在距离起点米处相遇 (3)当甲出发秒或秒时，甲、乙相距 【分析】（1）由函数图象即可解答； （2）先分别求出甲、乙的函数表达式，再联立即可求解点表示的实际意义； （3）分类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲行走的速度为，乙行走的速度是 （2）解：由甲乙的速度可得，， 当时，则， 解得， 此时 ∴图中点表示的实际意义为：甲、乙两个机器人在距离起点米处相遇； （3）解：当时，甲机器人走了 ∴时，甲、乙不可能相距； 当时，则， 解得或（舍去）； 当时，， 解得或（舍去） 综上：当甲出发秒或秒时，甲、乙相距． 易错必刷题型11.动点问题的函数图象 典题特征：根据动点在图形上的运动过程，判断对应的函数图象。 易错点：① 无法根据动点的运动阶段（匀速/变速、线段/曲线）判断图象形状； ② 忽略动点运动的临界位置（如顶点、中点），导致图象拐点判断错误。 31．如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（   ） A．12，9 B．6，6 C．6，3 D．12，3 【答案】C 【分析】根据题意，先求出当点P在上运动时的面积即a的值，再根据点沿运动到D时的路程来求b的值即可． 【详解】解：当点P在上运动时， ∴， 由图知，点P沿运动到D时，路程为． ∴， ∴． 32．如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 【答案】 【分析】根据函数图象可得，，，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：由图可得：当时，，即当点的运动距离为时，的长为， ∴当时，， 由图可得： 当时，，即当点的运动距离为时，的值最大，最大为， ∵当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在 中，， 即， 解得， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∴． 33．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解； （）当时，利用三角形面积公式解答即可求解； （）分两种情况：①点在上；②点在上，利用三角形面积公式构建方程解答即可求解； （4）延长至，使，连接交于，连接，此时△APD的周长最小，证出是等腰直角三角形，得出，由得到，再根据三角形外角性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：当时，动点在线段上，如图所示： ∴， 即与之间的关系式为； （3）解：分两种情况： ①当点在上时，如图所示，则， 解得； ②当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （4）解：点使得的周长最小，理由如下： 延长至，使，连接交于，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，看懂函数图象是解题的关键． 易错必刷题型12.函数的三种表示方法 典题特征：对比表格、关系式、图象三种表示方法的优缺点，或进行相互转化。 易错点：① 认为三种表示方法可以完全等价，忽略部分函数只能用特定方法表示；② 转化时丢失信息，如表格转关系式时遗漏特殊点。 34．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式． 【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛． 35．农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为__米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【答案】840 【分析】观察表格数据可得y=20x，可得施工8天后y的值，进而求出未铺设的管道长度． 【详解】解：观察表格数据可知： y＝20x， 当x＝8时，y＝160， 所以未铺设的管道长度为：1000﹣160＝840（米）． 故答案为：840. 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 36．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $