专题 01 幂的运算（知识梳理 + 题型精析 +期末真题）章节期末复习专项突破讲练 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 以“法则-逆用-综合”为主线，系统构建幂的运算方法体系，通过分层训练培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础梳理|9知识点+9题型（含各地期末真题）|法则正逆双向应用（如指数拆分转化）|从单一运算到逆运算，形成“法则-应用-逆用”完整链条| |培优提升|5培优题型（规律探究/新定义）|综合法则辨析与迁移应用（如多法则融合运算技巧）|从基础到综合，发展推理意识与创新意识| |真题实战|15道期末真题（选择/填空/解答）|考点靶向训练（高频考点突破）|模拟真实考试，强化应用意识与数据观念|

专题 01 幂的运算 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】同底数幂相乘 1 ★★【题型 1】同底数幂相乘运算 2 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 3 ★★【题型 2】同底数幂相乘的逆运算 3 【知识点三】幂的乘方 4 ★★【题型 3】幂的乘方的运算 5 【知识点四】幂的乘方逆运算 6 ★★【题型 4】幂的乘方的逆运算 6 【知识点五】积的乘方运算 7 ★★【题型 5】积的乘方运算 8 【知识点六】积的乘方逆运算 9 ★★【题型 6】积的乘方逆运算 9 【知识点七】同底数幂的除法运算 12 ★★【题型 7】同底数幂的除法 12 【知识点八】同底数幂除法的逆运算 13 ★★【题型 8】同底数幂除法的逆运算 13 【知识点九】零指数幂、负整数指数幂 15 ★★【题型 9】零指数幂、负整数指数幂的运算 15 二.培优题型精析 16 ★★【题型 10】幂的运算法则辨析 16 ★★【题型 11】幂的综合运算 17 ★★【题型 12】幂的逆运算综合 19 ★★【题型 13】幂的运算规律探究 23 ★★【题型 14】幂的运算与新定义探究 25 三.期末真题专练 28 （一）选择题（5题） 28 （二）填空题（5题） 30 （三）解答题（5题） 31 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】同底数幂相乘 （1） 运算法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ★★【题型 1】同底数幂相乘运算 【例题1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，运用同底数幂的乘法法则求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方，同底数幂相乘，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将多个相同数的和与积转化为乘法和乘方形式，再利用等式性质求出的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：∵2025个相加可表示为，2026个相乘可表示为， ∴根据题意得， 又∵， 等式两边同时除以，得， 将代入，得， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东江门·期末）计算______． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）若，则的值为________． 【答案】27 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则，将原式转化为指数相加的形式，再代入已知条件求解． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，， 已知， 所以， 故答案为：27． 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 （2） 运算法则 一个同底数幂，可拆分为两个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 一个同底数幂，可拆分为两（多）个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 ★★【题型 2】同底数幂相乘的逆运算 【例题2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·上海·课后作业）计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，同底数幂乘法的逆用， 将两项统一为相同的指数形式后相减系数，再将结果转换为科学记数法即可． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，则___________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法运算法则，将 转化为 后代入已知条件计算 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级上·天津和平·期末）已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 【知识点三】幂的乘方 （3） 运算法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展延伸： ★★【题型 3】幂的乘方的运算 【例题3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法． 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算和幂的乘方，原式表示n个相乘的积再取立方，应用指数运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，则________． 【答案】4 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【知识点四】幂的乘方逆运算 （4） 运算法则 一个同底数幂，可将其指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式，两种拆分底数的幂次、交换指数位置的写法均成立。 拓展延伸： ★★【题型 4】幂的乘方的逆运算 【例题4】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且， 又∵，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D ． 【变式2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）已知，，则代数式的值为________． 【答案】12 【分析】将所求代数式利用幂的运算法则变形，代入已知条件计算即可得到结果； 【详解】解：根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则，得：， 将，代入，得：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 【知识点五】积的乘方运算 （5） 运算法则 积的乘方等于乘方的积 拓展延伸： ★★【题型 5】积的乘方运算 【例题5】（25-26八年级上·河南周口·期末）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题的关键是熟练运用积的乘方法则和幂的乘方法则． 先运用积的乘方法则，将展开为；再分别计算各项，其中，，最后合并得到结果． 【详解】解：． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算与幂的运算法则，需依据同类项定义、合并同类项法则、积的乘方及幂的乘方法则对各选项逐一判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．应用积的乘方法则，将积中每个因子分别乘方，再将所得的幂相乘． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河南新乡·期末）________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数幂相乘的法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 【知识点六】积的乘方逆运算 （6） 运算法则 拓展延伸： ★★【题型 6】积的乘方逆运算 【例题6】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）计算等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方法则的逆用即可计算． 【详解】解：． 【变式1】（25-26八年级上·四川巴中·月考）已知，那么的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算：_____． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用，积的乘方的逆用．先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴=（①______）， =（②______）， ∴（③______） ∴…… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴④______，⑤______， ∴ ∴…… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【答案】(1)①；②；③；④5；⑤3；⑥ (2)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，灵活运用幂的运算法则是解题的关键； （1）根据根据小明与小丽的尝试，利用幂的运算性质即可完成； （2）根据两人的尝试继续完成即可． 【详解】（1）解：小明的尝试： ∵，， ∴，， ∴； 小丽的尝试： ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：①；②；③；④5；⑤3；⑥； （2）解：小明的证明： ∵，， ∴，， ∴； 即， ∴； 小丽的证明： ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 整理得：． 【知识点七】同底数幂的除法运算 （7） 运算法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减 ★★【题型 7】同底数幂的除法 【例题7】（25-26八年级上·福建漳州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可求解． 【详解】解：． 【变式1】（25-26九年级上·广东茂名·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用同底数幂的乘除法则、积的乘方法则、合并同类项法则，逐一判断选项即可. 【详解】解：A、，正确； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误. 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）计算的结果为___________． 【答案】100 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据指数的运算法则，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法． 【详解】解： 故答案为：100． 【变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）计算__________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算． 依据同底数幂的除法法则即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【知识点八】同底数幂除法的逆运算 （8） 运算法则 ★★【题型 8】同底数幂除法的逆运算 【例题8】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的应用；利用指数运算的性质，将分解为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题利用幂的乘方运算和同底数幂的除法运算的逆运算，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 将，代入得： 原式． 【变式3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解； （2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】重点掌握幂的运算法则． 【知识点九】零指数幂、负整数指数幂 ★★【题型 9】零指数幂、负整数指数幂的运算 【例题9】（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 【变式2】（2025·山东潍坊·中考真题）计算：___________． 【答案】 【详解】解： 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 二.培优题型精析 ★★【题型 10】幂的运算法则辨析 【例题10】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：根据0次幂的运算法则：，可知，故此选项不符合题意； B：根据合并同类项运算法则，与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C：根据整式的除法，，可知，故此选项不符合题意； D：根据整式的乘方运算法则，，故此选项符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则及合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断各选项计算的正确性． 【详解】解：A、，故A错误； B、，，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并计算， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是熟练应用运算法则；根据运算法则逐一判断即可. 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误； B、∵ ，∴ B错误； C、∵ ，∴ C正确； D、∵ ，∴ D错误； 故选：C ★★【题型 11】幂的综合运算 【例题11】（25-26八年级上·广东中山·期末）计算：． 【答案】． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·河南安阳·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项等知识点，熟练掌握幂的相关运算法则及有理数的运算规则是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂及乘方的运算法则，分别计算、和，再进行加减运算． （2）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则及积的乘方法则，分别计算、和，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的混合运算，准确应用运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再乘除，最后进行加减运算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的四则运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）分别计算同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ★★【题型 12】幂的逆运算综合 【例题12】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题： 计算：． 解：原式 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）计算：________； （2）若，，求的值； （3）若，求x的值． 【答案】（1）；（2）12；（3）3 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先利用有理数乘方的逆运算可得，再利用积的乘方的逆用计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再利用幂的乘方的逆用计算即可得； （3）根据有理数乘方的逆运算可得，再计算幂的乘方、同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵，， ∴ ． （3） ， ∵， ∴， ∴， 解得． ★★【题型 13】幂的运算规律探究 【例题13】（25-26八年级上·云南昭通·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式规律的探索，解题的关键是找出整式的规律． 观察单项式的系数，发现是2的幂次，从开始，因此第n个代数式的系数为，进而求解即可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴第个代数式是． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）观察下列单项式：按此规律，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各单项式的系数和字母因数的规律，即可求解． 本题主要考查了单项式规律题，解题的关键是：找到各单项式的系数和字母因数的规律． 【详解】解：各单项式的系数为，，，，，， 第个单项式系数为， 各单项式字母因数为，，，，，， 第个单项式字母因数为， 第个单项式为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）观察下列等式： 按此规律，第n个等式为_______ 【答案】 【分析】观察给定等式，右边数字均为2乘以3的从到次幂之和，符合因式分解规律． 本题是对数字变化规律的考查，观察等式的变化是解题关键． 【详解】根据因式分解公式， ； ； ； ； ， 故答案为：， 【变式3】（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． ★★【题型 14】幂的运算与新定义探究 【例题14】（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　） ①；②若，则；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了对数的定义及和乘方意义，同底数幂的乘法；根据对数的定义及和乘方意义逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：① 根据定义，若，则．因，故，①正确． ② 若，则： ∵， ∴． ∵ ∴，即， 解得， 故，②正确． ③ （）： 设，， 则，． 故，，③正确． 综上，①②③均正确， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解新定义并正确计算是解题的关键． 根据新运算的定义列式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)2 【分析】题目主要考查新定义运算，负整数指数幂，有理数的混合运算，理解题意是解题关键． （1）根据题意代入计算求解即可． （2）首先根据得出，接着变形为，然后整理原式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三.期末真题专练 （一）选择题（5题） 1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，先分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：负整数指数幂法则：，零指数幂法则： ，，， ， 故答案选：D． 5．（23-24八年级上·重庆大足·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，根据相关运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； （二）填空题（5题） 6．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，拆分指数后逆用积的乘方运算法则进行简便计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 7．（25-26八年级上·河南商丘·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正整数指数幂法则、零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 需分别依据正整数指数幂法则、零指数幂法则、负整数指数幂法则计算各数，再通过有理数的加减运算得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，则值为_________． 【答案】9 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法； 将9和27化为以3为底数的指数形式，利用指数运算法则计算，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 10．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．将已知条件中的幂转化为底数为3的形式，利用指数运算法则计算所求表达式． 【详解】解：由 ，得 ， 即 ， 由 ， 得 ， 则 ． 故答案为：． （三）解答题（5题） 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算法则． （1）分别利用零指数幂，乘方和负指数幂计算，再作加减法； （2）首先利用幂的乘方计算，再计算同底数幂的乘除法，最后合并； （3）利用单项式乘多项式，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期___________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)六 (3) (4) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键． （1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式； （2）由（1）中可知，，从而得到除以7余1，即可得到答案； （3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案； （4）由（3）中的方法，令，列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由杨辉三角规律，如图所示： ；； （2）解：由（1）中可知， ， 除以7余1，则今天是星期五，再过7天还是星期五， 再过天是星期六， 故答案为：六； （3）解：由题意可知，令，则， 令，则， ； （4）解：令，则，， ． 13．（24-25七年级下·湖南永州·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【答案】(1)①12， ② (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算的逆用. （1）①直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； ②逆用同底数幂的乘法得到，根据乘法结合律计算即可； （2）逆用幂的乘方，将，，化为幂为111的数，再比较即可； （3）先求出的值，再逆用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2），，，， ∴； （3）由题意可知：， ∴ 14．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、幂积的乘方、同底数幂的乘除等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26八年级上·吉林·期末）（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方法则的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01幂的运算 目录 一·知识梳理与基础题型精析 .1 【知识点一】同底数幂相乘… …1 ★★【题型1】同底数幂相乘运算. 2 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 .3 ★★【题型2】同底数幂相乘的逆运算… .3 【知识点三】幂的乘方。 .4 ★★【题型3】幂的乘方的运算 5 【知识点四】幂的乘方逆运算… .6 ★★【题型4】幂的乘方的逆运算 .6 【知识点五】积的乘方运算… 7 ★★【题型5】积的乘方运算… .8 【知识点六】积的乘方逆运算… .9 ★★【题型6】积的乘方逆运算… .9 【知识点七】同底数幂的除法运算 .12 ★★【题型7】同底数幂的除法 …12 【知识点八】同底数幂除法的逆运算… .13 ★★【题型8】同底数幂除法的逆运算… .13 【知识点九】零指数幂、负整数指数幂 15 ★★【题型9】零指数幂、负整数指数幂的运算 .15 二，培优题型精析… .16 ★★【题型10】幂的运算法则辨析。 .16 ★★【题型11】幂的综合运算.… 17 ★★【题型12】幂的逆运算综合… 19 ★★【题型I3】幂的运算规律探究… .23 ★★【题型14】幂的运算与新定义探究.25 三.期末真题专练 .28 (一)选择题(5题) .28 (二)填空题(5题) 30 (三)解答题(5题) 31 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】同底数幂相乘 (一)运算法则 am·a”=am+"(m,n都是正整数) 1/12 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 拓展延伸：am·a”·aP=am+m+P(m,n,p都是正整数) ★★【题型1】同底数幂相乘运算 【例题1】(25-26八年级上山西朔州期末)计算a2·a的结果是(_】 A.a B.as C.a5 D.2a6 【变式1】(25-26七年级上福建泉州期末)若a+a+a+ +a=a~a:aa(a≠0)，则 2025个 2026个 (2023-a2025)3的值为() A.8 B.-8 C.6 D.-6 【变式2】(25-26八年级上广东江门期末)计算y2.y= 【变式3】(25-26八年级上福建福州期末)若x+2y=3,则3.32的值为 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 (二)运算法则 am+”=am·a”(m,n都是正整数) 一个同底数幂，可拆分为两个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 拓展延伸1：am+"=aP·a(m,n,p,q都是正整数，且m+n=p+q) 拓展延伸2：am+=aP·a·a(m,n,p,q,t都是正整数，且m+n=p+qtt) 一个同底数幂，可拆分为两（多）个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 ★★【题型2】同底数幂相乘的逆运算 【例题2】(25-26八年级上江西赣州期末)若2m=a,则2m+2=() A.a+2 B.d C.4a D.2a 【变式1】(25-26七年级上上海课后作业)计算4.2x10221-1.2×102026,结果用科学记数法表示 为() A.3.08×102026B.4.08×10202 C.4.08x102026 D.3.08×102027 【变式2】(25-26七年级上江苏盐城期末)若10°=2,10=3，则10+b= 2/12 【变式3】(25-26八年级上·天津和平.期末)己知3m=x,81”=y,则33m+8m= (用 含x,y的代数式表示) 【知识点三】幂的乘方 (三)运算法则 (a)=a"(m,n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展延伸： (a月 =am即(m,,p都是正整数)。 ★★【题型3】幂的乘方的运算 【例题3】(25-26八年级上广东湛江期末)计算(x2)x的结果是（) A.x B.x1o C.x20 D.x24 【变式1】(25-26八年级上河南濮阳期末)计算：(ab-ab.a=（) n个ab相乘 A.ab B.ain+b3n C.n'absn D.nan+nbsn 【变式2】(25-26八年级上安徽芜湖阶段检测)若d2=2,则(a2)'=· 【变式3】(25-26七年级上上海闵行期末)计算：（-xy)=一· 【知识点四】幂的乘方逆运算 (四)运算法则 am=(a"）=a)”(m,n都是正整数)。 ·个同底数幂，可将其指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式，两种拆分底数的幂 次、交换指数位置的写法均成立。 拓展延伸：。=[(a）广(m,wp都是正整数。 ★★【题型4】幂的乘方的逆运算 【例题4】(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)己知am=3,a”=2,则am*2m等于() 3/12 A.5 B.6 C.12 D.18 【变式1】(25-26八年级上广东湛江期末)已知a=255,b=3“,c=43,则a、b、c的大小关系是 () A.axbxc B.bxaxc C.cxaxb D.b>c>a 【变式2】(25-26八年级上福建莆田·期中)已知a"=2,d=3,则代数式a2m*"的值为 【变式3】(24-25七年级下·全国课后作业)若x=2"-1,y=1+41,用含x的代数式表示y为 【知识点五】积的乘方运算 (五)运算法则 ab”=a"b(n是正整数) 积的乘方等于乘方的积 拓展延伸：(abc”=ab”c"(n是正整数)。 ★★【题型5】积的乘方运算 【例题5】(25-26八年级上河南周口期末)计算(-2a2b'的结果是（) A.-6ab B.-8ab C.8ab D.-2ab 【变式1】(25-26八年级上广东湛江期末)下列运算正确的是() A.a2+a=a B.3a2-a2=2 c.(-2a)2=4a2 D.(a2'=a 【变式2】(25-26八年级上湖北荆州期末)(-2a3=. 【变式3】(25-26七年级上河南新乡期末)a-a）-a)-a)(-a)2= 【知识点六】积的乘方逆运算 (六)运算法则 a"b”=(ab)”(n是正整数) 4/12 拓展延伸：a"b"c”=(abc”(n是正整数)。 ★★【题型6】积的乘方逆运算 2025 【例题6】(25-26八年级下湖南衡阳期末)计算 ×22026等于() A.1 B.2 C. D. 【变式1】(25-26八年级上四川巴中月考)已知xy”=3,那么xy2m的值为() A.3 B.6 C.9 D.12 2025 【变式2】(25-26七年级上陕西西安期末)计算： ×42026= 4 【变式3】(24-25七年级下山东济南期末)当3=15,5=15时，试说明a+b=ab. 小明做如下尝试： 小丽做如下尝试： 30=15,5°=15， 30=15,5=15, 36=(① ）=15, 3-=④ ，5-1=⑤ 5b=(② )“=15°， (3y=3 .3b.5b=(③ )15 … … (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理. 【知识点七】同底数幂的除法运算 (七)运算法则 a"÷a”=am-"(m,n都是正整数，且m>n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减 拓展延伸：a"÷a”÷aP=am-m-P(m,n,p都是正整数) ★★【题型7】同底数幂的除法 【例题7】(25-26八年级上福建漳州期末)计算a5÷a的结果是() 5/12 A.a B.a C.2 D.a 【变式1】(25-26九年级上广东茂名期末)下列计算正确的是() A.x2÷x=x2B.(xy2)=y C.x2.x3=x0 D.5y2-2y2=3 【变式2】(25-26八年级上湖北孝感期末)计算(102)÷10的结果为 【变式3】(25-26七年级上江苏宿迁期末)计算a°÷a3 (a≠0) 【知识点八】同底数幂除法的逆运算 (八)运算法则 am-"=a"÷a"(m,n都是正整数，且m>n) 拓展延伸：am-"-p=am÷a”÷aP(m,n,p都是正整数) ★★【题型8】同底数幂除法的逆运算 【例题8】(25-26八年级上四川遂宁期末)若xm=6,x”=2,则x2m-"的值是() A.10 B.12 C.18 D.34 【变式1】(25-26八年级上贵州铜仁期中)已知a"=3,a"=2,则a2m-3m的值是() B D.1 【变式2】(24-25七年级下.宁夏银川期末)若a”=2,a"=5,则a2m-"的值是 【变式3】（25-26八年级上，安微铜陵期末)已知3“=4,3=8,3=10. (1)求39*b-e的值. (2)求32a-b的值. 【知识点九】零指数幂、负整数指数幂 a°=1(a≠0)，aP= (a≠0，p是正整数) ★★【题型9】零指数幂、负整数指数幂的运算 【例题9】(25-26七年级上江苏南京期末)计算(-a3的结果是() A.-a2 B.d C.-a D.a 【变式1】(25-26八年级上·贵州遵义期末)下列各式运算正确的是() 6/12 A2= B.(-2)°=0 C.(x23=x D.a.a2=a2 【变式2】(2025山东潍坊中考真题)计算：（-2)°-31= 【变式3】(25-26八年级上四川泸州期末)计算：（-1)26-2×3'+1° 二.培优题型精析 ★★【题型10】幂的运算法则辨析 【例题10】(24-25八年级上·新疆吐鲁番期末)下列计算中，正确的是() A.(-1)°=-1 B.2m+3n=5mn C.a6÷a3=a2 D.(x2y)=xy3 【变式1】(25-26八年级上·福建漳州·期末)下列计算正确的是() A.a.a2=a B.(-a÷a=-a c.（-a}'=a0 D.a2+a2=a 【变式2】(25-26九年级上山东临沂期末)己知x≠0，则下列运算正确的是() A.x4+x2=x6 B.x6÷x3=x2 C.（-2x2y=-6xy2 D.-2x+3x=x 【变式3】(25-26八年级上湖北襄阳·期末)下列计算中，正确的是() A.a6÷a5=a B.(a')"=a' C.a3.a'=a8 D.(ab)'=a'b ★★【题型11】幂的综合运算 【例题11】(25-26八年级上广东中山期末)计算：a3.a2.a+-a2)+-2a2. 【变式1】(25-26八年级上河南安阳·期末)化简 (1)22+3°-(-12026 (②)a3.aa+(a2'-(-2a月 【变式2】(25-26七年级上江苏泰州期末)计算： 7/12 0--4+18(引 2-a2)'a3+-a2a'-32a 【变式3】(25-26七年级上江苏盐城期末)计算： (1)-10+8÷(-2)°-4×(-2）； (2)a2.aa+(a2]+(-2a2. ★★【题型12】幂的逆运算综合 【例题12】(25-26七年级上·江苏盐城期末)若am=a”(a>0且a≠1，m,n是正有理数)，则 m=n.利用该结论解决下面的问题： (1)如果8=2，求x的值； (2)如果2+2+2+3=48，求x的值. 【变式1】(25-26七年级上江苏连云港期末)若am=a”(a>0,且a≠1，m,n是正有理数)， 则m=n,利用该结论解决下面的问题： (1)如果32=38，求x的值； (2)如果2+21=48，求x的值. 【变式2】(24-25七年级下·江苏淮安期末)【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的 道例题： 计算：4×(-25). 解：原式=4×4×-25)°=4×[4×(-25)]=4×(-100)=4x106 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： 71）2025 0叭2) ×22024 【变式3】(24-25七年级下-江苏扬州期末)(1)计算：42”×(-0.25)2= (2)若am=2,d'=3,求a2m*"的值； 8/12 (3)若2×4×16=29，求x的值. ★★【题型13】幂的运算规律探究 【例题13】(25-26八年级上云南昭通期末)按一定规律排列的代数式：a,2a,4a,8a,16a,…, 第n个代数式是() A.na B.2-a C.2"a D.2"a 【变式1】(24-25九年级上·云南楚雄期末)观察下列单项式：-2a,4a2,-8a3,16a,-32a,…按此规 律，第n个单项式是() A.（-2a" B.(2a" C.-2a" D.-(2a 【变式2】(25-26八年级上·河南周口期末)观察下列等式：3-1=2,32-1=8,33-1=26,34-1=80， 按此规律，第n个等式为 【变式3】(24-25八年级上河南周口月考)阅读下列各式：(xy)=x2y2,（y)=xy3, (xy)=x4y… (1)根据积的乘方得出规律：(xy)"=,(z)”=: (2)应用规律： ①填空：5100×0.2100= ②计算：82023×(-0.25)2024×0.52025 ★★【题型14】幂的运算与新定义探究 m 【例题14】(24-25七年级下·广东茂名·期末)我们定义： =p"·q”.若 6 n 16 =27 则 的值为() 21 4 A.4 B.16 C.64 D.256 【变式1】(24-25七年级下.甘肃酒泉期末)定义：如果a=N(a>0,a≠1，那么x叫作以a为底 N的对数，记作x=1og。W.例如：因为72=49，所以10g,49=2;因为53=125，所以10g125=3. 下列说法正确的个数为() 9/12 ①log61=0;②若log2(3-a=log9,则a=-1;③l0g2xy=log2x+log2y(x>0,y>0. A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)定义新运算：a⊕b=b2-2ab,则(3m)©(2m)的 运算结果是 【变式3】(24-25七年级下·浙江杭州期末)定义关于*的一种运算：a*b=a°+ab(a≠0，b是整数)， 例如：（-1*3=(-1)3+(-1×3=-1-3=-4. (1)求(-4)*2的值. (2)若a*2=1,求a*(-1的值 三·期末真题专练 (一)选择题(5题) 1.(25-26八年级上广东梅州期末)已知x+y=2,则5.5的值是() A.10 B.-10 C.25 D.-25 2.(25-26八年级上江西宜春期末)定义虚数单位i,2=-1，则i+2++…+2026的计算结果为 () A.-i B.i C.i-1 D.i+1 3.(24-25八年级上·四川眉山期末)已知a+2b-3c-2=0,则3“.9÷27的值为() A.27 B.9 C.6 D.1 42sǒ八华级上闻南商丘期未)瓶a=3.b-(,c-目) ,则a,b,c的大小关系 是() A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 5.(23-24八年级上·重庆大足·期末)下列运算中正确的是() A.-a2=a2 B.a2.a=a C.a6÷a3=a2 D.(a23=a (二)填空题(5题) 10/12 6.(24-25七年级下.宁夏银川期末)计算： (20×0.750= 7.25,26八年级上河南商丘期未)计第：一1-(：-3+日 8.(2026七年级下江苏.专题练习)若2+3×5+3=1001，则x的值是 9.（25-26七年级上江苏泰州期末)己知2x+3y-2=0,则9.27值为 10.(25-26八年级上黑龙江牡丹江期末)若9”=3,27”=4，则32m”=。 (三)解答题(5题) 11.(24-25七年级下·山东菏泽期末)计算： -314--2 (2-2a'.a2+(a}'÷a (3)(t+4)-3(-2- 12.(24-25七年级下·安徽安庆期末)我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨 辉三角”揭示(a+b)”（n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律.如 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;（a+b)°=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b. (a+b)°=1 .(a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 ..(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4= (I)请你写出(a+b)和(a+b)'的展开式： (②)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过25天是星期 (3)设(x+)”=a,x”+a6x6+…+a,x+a。·小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令x=1则 a,+a6+…+a,+a。=(1+1)”=27,聪明的你能不能求出a,+a6+…+a2+a,的值，若能，请写出过 程： (4)你能在(3)的基础上求出a,+a3+a5+…+a1s+a1,的值吗？若能，请写出过程. 13.(24-25七年级下.湖南永州期末)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也 11/12 可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法“幂的乘方“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为 am*"=a”·a”,a"=a）”=(a)”,a"b"=(ab)”(m,n为正整数)请运用这个思路和幂的运算法 则解决下列问题： (1)①已知a"=4,a”=3,则a"+"=_ ②计算： ×-3)”= (2)己知a=255,b=34,c=433,请比较a,b,C的大小，并用“<”连接起来. (3)若规定：a÷a”=a-"(a≠0)，a"=4,a=3,求a2m-n的值. 14.(25-26八年级上·全国期末)计算： --3144- 2a23-a÷-a2 15.(25-26八年级上·吉林期末)（1)已知5=m,5'=n,求5-y的值.（用含m,n的代数式表 示) (2)己知3=2,3=4，求32a-b的值. 12/12