第八章 因式分解（知识清单）数学新教材北京版七年级下册

该初中数学因式分解单元知识清单系统梳理了全章内容，涵盖公因式、提公因式法、公式法（平方差与完全平方）、十字相乘法、分组分解法等核心知识点，搭建了从概念理解到方法应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单以“知识点解析+特别说明+错误警示”分层呈现知识体系，如提公因式法强调符号处理与公因式确定方法，公式法标注结构特征与应用条件，配合“因式分解解题步骤口诀”培养运算能力与推理意识。设计典型例题与易错点分析，如已知分解结果求参数、分组分解法分组策略等，助力学生自主突破难点，教师可据此精准教学提升效率。

第八章 因式分解 知识点01 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点02 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点03 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点05 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 一、因式分解 1.判断是否是因式分解 错误：混淆因式分解与整式乘法，公因式找错，公式用错，分解不彻底，符号处理失误。 注意：遵循互逆关系，找准公因式，灵活选方法，保证分解彻底，规范书写符号。 1．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义及方法是解题关键． 根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意； B．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意； D．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意； 故选：C． 2.已知因式分解的结果求参数 错误：展开因式时漏项、符号出错，对应项系数不匹配，忽略因式分解彻底性致参数错。 注意：先逆用整式乘法展开，精准匹配各项系数，检验分解彻底性，核对符号与常数项。 2．（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 二、提公因式法 1.公因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 3．（25-26八年级上·北京·期中）与的最大公因式是___________． 【答案】 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【详解】解：与的公因式是． 故答案为：． 2.提公因式法分解因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 三、公式法 1.平方差公式分解因式 错误：混淆公式结构，非平方差误用公式，符号出错，分解不彻底，漏提公因式。 注意：先提公因式再用公式，确认两项均为平方形式，符号相反，分解至不能再分。 5．（24-25七年级上·上海·单元复习）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 2.完全平方公式分解因式 错误：混淆公式结构，漏判中间项，符号出错，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，确认三项结构，验证中间项，规范符号，保证分解彻底。 6．（25-26八年级下·四川达州·期中）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，再根据完全平方公式解答即可； （2）令，再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 3.综合提公因式和公式法分解因式 错误：漏提公因式、公式误用，符号出错，分解不彻底，未按先提后公的顺序操作。 注意：先提公因式再用公式，找准公因式、辨清公式结构，规范符号、分解彻底。 7．（24-25八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 四、十字相乘法与分组分解法 1.十字相乘法 错误：十字相乘凑错常数项、一次项，符号失误，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，精准凑常数项与一次项，规范符号，检验分解彻底性。 8．（24-25七年级上·上海普陀·月考）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 2.分组分解法 错误：分组不合理、分组后无法提公因式，符号出错，漏提公因式，分解不彻底。 注意：合理分组凑公因式，先提公因式再分组，规范符号，确保分解彻底并检验。 9．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)①，，，②； (2) 【分析】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）①根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； ②先分组，然后 完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； （2）将两多项式相减得到，，的关系，代入等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 解：①原式 ； 故答案为：，，． ②原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴； 1．（25-26八年级上·北京海淀·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 根据因式分解的定义即可求出答案． 【详解】解：A．不是因式分解； B．右边是多项式，不是积的形式，所以不是因式分解； C．右边是整式的积，所以是因式分解； D．右边不是整式，所以不是因式分解． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东临沂·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．能用平方差公式因式分解的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，根据平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式是解题的关键 【详解】解：①，能用平方差公式分解，符合题意； ②，不能用平方差公式分解，不符合题意； ③，不能用平方差公式分解，不符合题意； ④，不能用平方差公式分解，不符合题意； ⑤，能用平方差公式分解，符合题意； ⑥ ， 能用平方差公式分解，符合题意； ∴能用平方差公式分解因式的有个， 故选：． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如果，那么的值是（    ） A．28 B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，先利用平方差公式因式分解，然后整体代入求出计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选D． 5．（25-26八年级下·北京·期中）已知，，，则的值等于（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法与因式分解，利用整式的乘法可得，，两式相减可得，结合，得出，则，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 6．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 7．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 9．（2026·湖南娄底·二模）已知m，n满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先对所求式子因式分解，将式子转化为含有、的形式，再整体代入已知条件求值． 【详解】解：对式子进行因式分解： ， ，， 原式． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期中）用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可得，观察图形可知阴影部分的面积等于底为高为的三角形面积减去底为高为的三角形面积，利用整式的混合运算法则化简求值即可 ． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得， 阴影部分的面积为 ． 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，再将各选项正整数分解因数，判断是否为的因数即可． 【详解】解： ， 依次判断各数： ① ，是的因数，能整除； ② ，是的因数，能整除； ③ ，只含一个因数，故不是的因数，不能整除； ④ ，和都是的因数，故是的因数，能整除； ⑤ ，是的因数，能整除； 综上可得，能整除的是①②④⑤． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 【答案】 大 9 【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，再把代入计算，即可得到答案． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是（答案不唯一） 14．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，然后再用完全平方公式即可； （2）将原式转化为，然后利用平方差公式进行因式分解，注意检查每个小括号，是否有公因式存在． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； (1)请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； (2)求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 【答案】(1)56是和谐数，两个连续奇数是13和15 (2)见解析 【分析】解决本道题的关键是利用平方差公式将 “两个连续奇数的平方差” 转化为含参数的代数式，再进行计算或证明； （1）利用平方差公式设出两个连续奇数，列方程求解，判断 56 是否能表示为两个连续奇数的平方差； （2）设两个连续奇数为含整数参数的代数式，利用平方差公式展开并化简，证明结果是 8 的倍数． 【详解】（1）解：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数）， ， 56是和谐数，两个连续奇数是13和15； （2）证明：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数），对应的和谐数为， ∵ ∴ ∵为正整数，即是8的倍数， ∴任何一个和谐数一定能被8整除． 16．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为 【分析】根据多项式乘法的逆运算，先设出另一个因式，再通过展开等式两边的多项式，利用对应项系数相等建立方程，求解得到另一个因式和的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ， ． ． 由， ， ． 把代入， ， ． 另一个因式为，的值为． 17．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）从边长为4的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）． A．B.C. (2)若，求的值； (3)计算： 【答案】(1)B (2)； (3)． 【分析】（1）通过图1和图2的面积相等，推导出平方差公式． （2）利用平方差公式将因式分解，再整体代入已知条件求解． （3）先利用平方差公式对每个括号内的式子因式分解，再通过约分计算最终结果． 【详解】（1）解：图1中剩余部分的面积为：， 图2中长方形的长为，宽为，面积为：， ∵图1与图2的面积相等， ∴． 故选：． （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 18．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，仿照题干，设，即可求解； （2）已知两个一次因式，同理设出剩余的二次因式，求出参数后对二次因式继续分解即可得到最终结果． 【详解】（1）解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：多项式含有因式和， 设， 又， ，， ， ． 19．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40 “和谐数”，2026 “和谐数”；（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为51，直接写出阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除，见解析 (3) 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为． 20．（25-26八年级下·山东济南·期中）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 因式分解 知识点01 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做 . 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点02 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫 ． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点03 公式法分解因式 平方差公式 等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做 . 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点05 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—— .即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 一、因式分解 1.判断是否是因式分解 错误：混淆因式分解与整式乘法，公因式找错，公式用错，分解不彻底，符号处理失误。 注意：遵循互逆关系，找准公因式，灵活选方法，保证分解彻底，规范书写符号。 1．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2.已知因式分解的结果求参数 错误：展开因式时漏项、符号出错，对应项系数不匹配，忽略因式分解彻底性致参数错。 注意：先逆用整式乘法展开，精准匹配各项系数，检验分解彻底性，核对符号与常数项。 2．（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 二、提公因式法 1.公因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 3．（25-26八年级上·北京·期中）与的最大公因式是___________． 2.提公因式法分解因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 三、公式法 1.平方差公式分解因式 错误：混淆公式结构，非平方差误用公式，符号出错，分解不彻底，漏提公因式。 注意：先提公因式再用公式，确认两项均为平方形式，符号相反，分解至不能再分。 5．（24-25七年级上·上海·单元复习）分解因式：． 2.完全平方公式分解因式 错误：混淆公式结构，漏判中间项，符号出错，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，确认三项结构，验证中间项，规范符号，保证分解彻底。 6．（25-26八年级下·四川达州·期中）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 3.综合提公因式和公式法分解因式 错误：漏提公因式、公式误用，符号出错，分解不彻底，未按先提后公的顺序操作。 注意：先提公因式再用公式，找准公因式、辨清公式结构，规范符号、分解彻底。 7．（24-25八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 四、十字相乘法与分组分解法 1.十字相乘法 错误：十字相乘凑错常数项、一次项，符号失误，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，精准凑常数项与一次项，规范符号，检验分解彻底性。 8．（24-25七年级上·上海普陀·月考）因式分解： 2.分组分解法 错误：分组不合理、分组后无法提公因式，符号出错，漏提公因式，分解不彻底。 注意：合理分组凑公因式，先提公因式再分组，规范符号，确保分解彻底并检验。 9．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 1．（25-26八年级上·北京海淀·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．能用平方差公式因式分解的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如果，那么的值是（    ） A．28 B．5 C． D．10 5．（25-26八年级下·北京·期中）已知，，，则的值等于（    ） A．2 B．1 C．0 D． 6．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 7．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 8．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖南娄底·二模）已知m，n满足，，则的值为_____． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期中）用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号） 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 14．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）因式分解： (1)； (2)． 15．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； (1)请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； (2)求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 16．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 17．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）从边长为4的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）． A．B.C. (2)若，求的值； (3)计算： 18．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 19．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40 “和谐数”，2026 “和谐数”；（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为51，直接写出阴影部分的面积为 ． 20．（25-26八年级下·山东济南·期中）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $