第八章 因式分解（单元自测·基础卷）数学新教材北京版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·基础过关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京密云·期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边是积的形式，右边是多项式，是乘法运算，不是因式分解，选项错误； B、等式右边不是积的形式，而是和差形式，不是因式分解，选项错误； C、等式右边是整式的积的形式，是因式分解，选项正确； D、等式右边有分式，不是整式，因此不是整式的积，不是因式分解，选项错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·北京·期中）若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，将因式分解后的形式展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程，求解即可． 【详解】解： ， 由一次项系数得，， 解得； 由常数项得，， 解得； ∴ ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·北京·月考）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键． 【详解】解：①没有降次，不属于因式分解； ②，属于因式分解； 所以①不是因式分解，②是因式分解 故选：D． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减和公因式的概念，掌握公因式的概念是解题的关键． 根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案． 【详解】， ， 的值与的公因式， 故选：D． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 8．（25-26八年级上·北京·月考）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·北京通州·一模）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式继续分解即可． 【详解】解：． 10．（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将原式因式分解得到，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∴ ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 13．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 分解因式时指将一个多项式在实数范围内分解成几个因式的积的形式，该题运用十字相乘的方法，甲看错了的值，这意味着等于甲分解的两个因式乘积的常数项，而乙看错了的值，这意味着等于乙分解的两个因式乘积的一次项系数，据此得到正确的分解因式的结果． 【详解】解：甲乙完成因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， 那么， 而乙看错了的值，分解的结果为， 那么， 因此原来的二次三项式为， 因式分解为． 故答案为：． 15．（2025·北京朝阳·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生． 【答案】 426 206 【分析】本题考查了因式分解的应用．设矩形方阵为行列，则师生总数满足，即，而，据此计算即可求解． 【详解】解：设矩形方阵为行列， ∵每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，且有15名老师， ∴师生总数满足， 整理得， ∵、都是正整数，， ∵男生总数为，当男生人数最多时，需要最大， 此时，， 解得，， ∴， ∴此次团体操表演最多可以安排426名男学生； 当，， 解得，， ∴， ∴此次团体操表演最少需要206名学生； 故答案为：426；206． 16．（25-26八年级上·北京·月考）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是______． 【答案】35 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…依次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第12个智慧优数是， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级上·北京·月考）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解： （1）综合运用提公因式法和公式法即可求得答案； （2）综合运用提公因式法和公式法即可求得答案． 【详解】（1）原式 （2）原式 18．（5分）（25-26八年级上·北京·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的因式分解能力以及整体代入求值的技巧，关键在于根据代数式的结构，提取公因式，将复杂表达式转化为已知条件的组合形式． 先把所求式子进行因式分解，得到，再把整体代入求解即可． 【详解】解： 原式 将代入得： 原式． 19．（6分）（25-26八年级上·北京·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ， ∴当n为整数时，是8的倍数． 20．（6分）（25-26八年级上·全国·期中）下面是某同学把多项式分解因式的过程． 解：设， 则原式 ． (1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底?若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式． 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，再结合题干的过程，进行分析，即可作答． （2）模仿题干的过程，设，故原式，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干过程，得出该同学对该多项式的因式分解不彻底， 过程如下： 依题意，原式 ； （2）解：依题意，设， 原式 ． 21．（6分）（25-26八年级上·北京·月考）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 22．（8分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键． （1）运用换元法设，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）方法一：设；方法二：设；再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ； （2）解：方法一：设， 则 ； 方法二：设， 则 ． 23．（8分）（24-25八年级上·山西朔州·期末）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)小厉，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘法以及因式分解的实际应用，注意计算的准确性即可； （1），即可求解； （2）即可求解； 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确； 24．（8分）（25-26八年级上·北京海淀·月考）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 25．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”． (1)判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成的形式，不是的话直接写“否”． (2)已知（是整数，是常数），要使为“智慧数”，直接写出一个符合条件的值． (3)如果数m，n都是“智慧数”，判断是否为“智慧数”，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是“智慧数”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用即可判断； （2）由得，则使为一个完全平方数即可； （3）设，，则，然后进行整理，从而可判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴45是“智慧数”； （2）解：∵， ∴， ， 则当为完全平方数时，为“智慧数”，如当时，解得：． （3）解：设，， 则有 ． 故是一个“智慧数”． 26．（10分）（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B B D D B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12．③ 13． 14． 15．426 206 16．35 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解： （1）综合运用提公因式法和公式法即可求得答案； （2）综合运用提公因式法和公式法即可求得答案． 【详解】（1）原式 ·········································2分 （2）原式 ·········································5分 18．（5分） 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的因式分解能力以及整体代入求值的技巧，关键在于根据代数式的结构，提取公因式，将复杂表达式转化为已知条件的组合形式． 先把所求式子进行因式分解，得到，再把整体代入求解即可． 【详解】解： 原式·········································3分 将代入得： 原式．·········································5分 19．（6分） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ，·········································4分 ∴当n为整数时，是8的倍数．·········································6分 20．（6分） 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，再结合题干的过程，进行分析，即可作答． （2）模仿题干的过程，设，故原式，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干过程，得出该同学对该多项式的因式分解不彻底，·········································1分 过程如下： 依题意，原式 ；·········································3分 （2）解：依题意，设， 原式 ．·········································6分 21．（6分） 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【详解】（1）解： ；·········································3分 （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形．·········································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键． （1）运用换元法设，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）方法一：设；方法二：设；再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ；·········································3分 （2）解：方法一：设， 则 ；·········································8分 方法二：设， 则 ．·········································8分 23．（8分） 【答案】(1)， (2)小厉，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘法以及因式分解的实际应用，注意计算的准确性即可； （1），即可求解； （2）即可求解； 【详解】（1）解：， ；·····························4分 （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确；·········································8分 24．（8分） 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①；·········································2分 ② ；·········································4分 （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，．·········································8分 25．（10分） 【答案】(1) (2) (3)是“智慧数”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用即可判断； （2）由得，则使为一个完全平方数即可； （3）设，，则，然后进行整理，从而可判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴45是“智慧数”；·········································2分 （2）解：∵， ∴， ， 则当为完全平方数时，为“智慧数”，如当时，解得：．·························6分 （3）解：设，， 则有 ． 故是一个“智慧数”．·········································10分 26．（10分） 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或；·········································2分 （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是；·········································5分 （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，．·········································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·基础过关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京密云·期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京·期中）若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 5．（25-26八年级上·北京·月考）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 6．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 8．（25-26八年级上·北京·月考）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·北京通州·一模）分解因式：______． 10．（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知，则______． 12．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 13．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是___________． 14．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 15．（2025·北京朝阳·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生． 16．（25-26八年级上·北京·月考）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级上·北京·月考）分解因式： (1)； (2)． 18．（5分）（25-26八年级上·北京·月考）已知，求的值． 19．（6分）（25-26八年级上·北京·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 20．（6分）（25-26八年级上·全国·期中）下面是某同学把多项式分解因式的过程． 解：设， 则原式 ． (1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底?若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式． 21．（6分）（25-26八年级上·北京·月考）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 22．（8分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 23．（8分）（24-25八年级上·山西朔州·期末）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 24．（8分）（25-26八年级上·北京海淀·月考）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 25．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”． (1)判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成的形式，不是的话直接写“否”． (2)已知（是整数，是常数），要使为“智慧数”，直接写出一个符合条件的值． (3)如果数m，n都是“智慧数”，判断是否为“智慧数”，并说明理由． 26．（10分）（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·基础过关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京密云·期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京·期中）若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 5．（25-26八年级上·北京·月考）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 6．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 8．（25-26八年级上·北京·月考）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·北京通州·一模）分解因式：______． 10．（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知，则______． 12．（25-26八年级上·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 13．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值是___________． 14．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 15．（2025·北京朝阳·二模）某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排___________名男学生，此次团体操表演最少需要___________名学生． 16．（25-26八年级上·北京·月考）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级上·北京·月考）分解因式： (1)； (2)． 18．（5分）（25-26八年级上·北京·月考）已知，求的值． 19．（6分）（25-26八年级上·北京·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 20．（6分）（25-26八年级上·全国·期中）下面是某同学把多项式分解因式的过程． 解：设， 则原式 ． (1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底?若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式． 21．（6分）（25-26八年级上·北京·月考）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式 (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 22．（8分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 23．（8分）（24-25八年级上·山西朔州·期末）小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 24．（8分）（25-26八年级上·北京海淀·月考）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 25．（10分）（25-26八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”． (1)判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成的形式，不是的话直接写“否”． (2)已知（是整数，是常数），要使为“智慧数”，直接写出一个符合条件的值． (3)如果数m，n都是“智慧数”，判断是否为“智慧数”，并说明理由． 26．（10分）（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $