第17章 三角形（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

**基本信息** 聚焦三角形综合应用，以图形变换和动态问题为载体，系统覆盖中点性质、翻折对称、动点轨迹等核心考点，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形性质|1-3题|中点连线、面积转化|从三角形中位线到面积比的递推关系| |动态变换|4-5、11题|翻折运动、动点全等|对称性质与分类讨论的结合应用| |综合计算|7、14题|整边三角形、动点速度|方程思想解决几何存在性问题| |操作探究|21-24题|三角尺旋转、作图应用|从静态图形到动态变换的逻辑延伸|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第17章三角形章节压轴训练 一、单选题 1.如图，在ABC中，已知点D,E,F,G分别是线段AC,CF,BG,DE的中点.若△EFG的面积为 2,则ABC的面积为() G B A.12 B.16 C.24 D.28 【答案】D 【详解】解：连接BE,DF, D “点G是线段DE的中点， G B S FDG =S EFG =2,S.DEF=4, :点F是线段BG的中点， S BDF =S DFG=2,S BEF=S EFG=2, :点E是线段CF的中点， S BCE =S BEF=2,S DCE =S DEF =4, :S BCD =S DEF+S DCE+S BDF+S BEF+S BCE =4+4+2+2+2=14, “点D是线段AC的中点， 1/32 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .S ABC =2S BCD =28. 2.如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折使B最终落在BC边上，若∠FEA”=108°，则∠A"B"B的 度数为() B E D B B分 A.43 B.42° C.41 D.40° 【答案】B 【详解】解：如下图所示， 由折叠可知∠B'FE=∠B"FE, :四边形ABCD是长方形， .AD BC, ∴.∠DEF=∠EFB", 设∠DEF=x°， 则LB'FE=LB"FE=LDEF=x°， 片∠FEA"=108°， ∠DEA"=108°+x°， :A"E‖B"N, ∠ANB"=72°-x°， 由折叠可知∠B'NE=∠ANB"=72°-x°， 又：∠B'WE=∠DEF+∠NFE=2x°， .72°-x°=2x°， 解得：x=24°， .∠B'FE=∠B"FE=∠DEF=24°， .∠FEA"=108o,A"EI‖B"N, ∠FMB"=∠FEA"=108°， ∠BB"N=∠EFB"+∠B"MF=108°+24°=132°， 2/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠A"B"N=90°， ∠A"B"B=132°-90°=42°. B 7..---" 、E N D Br F 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC边上，E是AC的中点，BC=3BD,BE与AD相交于点 F,S△MBE=6,则△AEF的面积为() B D A.4 B.2 C.3 D.6 【答案】C 【详解】解：如图，连接CF, D :E是AC的中点，S△4BE=6, S。ABc=2S。MBE=12,S。AEr=SErC :BC=3BD,即BD=1BC 3 :CD-28C. 3 Sm子m=8,25w=-5a 设SFBD=x,则SAFCD=2x,SABr=S.EFc=y 3/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S.BEC S.BFD +S.DFC +S.EFC=6 SADC S.AEF +S.EFC +S.FCD=8 [x+2x+y=6 y+y+2x=8 x=1 解得：y=3 :△AEF的面积为3 故选：C 4.如图，在锐角ABC中，∠BAC=45°，BC=5,P为BC上一动点，将△ABP,△ACP分别沿AB,AC 向外翻折，得到△ABD,△ACE,连接DE,当ADE面积的最小值为8时，则ABC的面积为() A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【分析】 【详解】解：：△ABP,△ACP分别沿AB,AC向外翻折至△ABD,△ACE, △ABP≌△ABD,△ACP≌△ACE, AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP,∠CAP=∠CAE, :∠BAC=45°， .∠DAE=∠DAP+∠PAE=2(∠BAP+∠PAC=2∠BAC=90°， 0E面积=40xE= 2 AP 当AP取最小值时，ADE的面积最小， 在ADE中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小， ,d一上月、/阳伴日中F 解得：AP=4, S=。AP×BC=2×4x5=1 2 故选：D 5.如图，在长方形ABCD中，AB=6,BC=12.点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点 4/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向点C匀速运动，点R从点C出发，以每 秒a个单位长度的速度沿CD向点D匀速运动，连接PQ、RQ,三点同时开始运动，当某一点运动到终点时， 其它点也停止运动.若在某一时刻，△PBQ与QCR全等，则a的值为() A 0 R B→Q C A.1 B.3 C.1或3 D.3或6 【答案】A 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得AP=2t,BQ=3t,CR=at, :AB=6,BC=12, .BP=6-21,CQ=12-3t, :四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=90°， 如果△PBQ与QCR全等，那么可分两种情况： ①当BP=CQ,BQ=CR时，△PBQ≌△QCR(SAS), ∴.6-2t=12-3t,3t=at, ∴t=6,a=3, 此时BP=6-2t=6-12=-6,不符合； ②当BP=CR,BQ=CQ时，△BPQ≌aCRQ(SAS), .6-2t=at,3t=12-3t, 解得t=2,a=1, 综上所述：当a的值为1时，能使△PBQ与QCR全等. 故选：A. 6.已知AB⊥AC,∠B=60°，以C为圆心，以CP为半径画弧，交AC于点Q,以A为圆心，以CP为半 径画弧，交AC于点M,以M为圆心，以PQ为半径画弧，交前弧于点N,连接AN并延长至点E,若CF平 分∠ACD,∠CAF=2∠EAF,则∠AFC的度数为() 5/32 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E M D A.85° B.90° C.95° D.60° 【答案】A 【详解】解：：AB⊥AC, .∠CAB=90°， 由作图知：∠CAE=∠ACB, AE‖BC, ∠B+∠BAE=180°，即∠B+∠BAC+∠CAE=180°， 又∠B=60°， .∠CAE=30°=∠ACB, :∠CAF=2LEAF, .∠EAF=10°， :∠ACB=30°， ∠ACD=180°-∠ACB=150°， :CF平分∠ACD, ∠FCD=2∠ACD=750 过F作FGIBC,则FGII AE I BC, A N E G P C D ∠AFG=∠FAE=10°，∠CFG=∠FCD=75o, .∠AFC=∠AFG+LCFG=85° 二、填空题 7.我们称各边长为整数的三角形为整边三角形.若整边三角形ABC三边长为a,b,c且满足a<b<c, 6/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当c=9时，这样的整边ABC有个；若c=2n+1(n为正整数)时，这样的整边ABC有个 (用含的代数式表示). 【答案】 12 n(n-1) 【详解】解：当c=9时，则a<b<9, 根据三角形三边关系a+b>c,可得a+b>9, ①当a=1时，代入a+b>9得b>8, 又：b<9, 8<b<9, ∴.此时b无整数解； ②当a=2时，代入a+b>9,即b>7, 7<b<9, .b=8, 此时三边为2,8,9，共1种情况： ③当a=3时，代入a+b>9,即b>6, .6<b<9, b=7或b=8, 此时三边为3,7,9或3,8,9，共2种情况： ④当a=4时，代入a+b>9,即b>5, ∴.5<b<9, b=6或b=7或b=8, 此时三边为：4,6,9或4,7,9或4,8,9，共3种情况： ⑤当a=5时，代入a+b>9,即b>4, 4<b<9, :a<b<9,即5<b<9, b=6或b=7或b=8, 此时三边为：5,6,9或5,7,9或5,8,9，共3种情况： ⑥当a=6时，代入a+b>9,即b>3, .3<b<9, .a<b<9,即6<b<9, 7/32 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b=7或b=8, 此时三边为6,7,9或6,8,9，共2种情况； ⑦当a=7时，代入a+b>9,即b>2, 2<b<9, :a<b<9,即7<b<9, .b=8, 此时三边为7,8,9，共1种情况； ⑧当a=8时，代入a+b>9,即b>1, 1<b<9, :a<b<9,即8<b<9, 此时b无整数解： 综上可得当c=9时，满足条件的整边ABC的个数为：1+2+3+3+2+1=12（个）； 若c=2n+1(n为正整数)时， 同上理可得：满足条件的整边ABC的个数为： 1+2+3+…+n-1+n-+…+3+2+1=2×n-=nn-1(个). 2 8.如图，长方形纸片ABCD,点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG,将LBEG对折，点 B落在直线EG上的点B处，得折痕EM:将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A处，得折痕EN. ∠FEG=30°，则∠MEN=· D 【答案】105°或75 【分析】 【详解】解：：将LBEG对折，将∠AEF对折， EN平分∠AEF,EM平分∠BEG, :∠NEF=∠AEF,∠MEG=∠BEG, 2 当点G在点F的右侧，如图， 8/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G C F M ∠NEF+∠MEG E ∠AEF+∠BEG 2 2 2AEF+∠BEG -2A8-∠G, 又：∠AEB=180°，∠FEG=30°， .∠NEF+∠MEG -0-09 =75°， :ZMEN ZNEF +ZFEG +ZMEG =75°+30° =105°； 当点G在点F的左侧，如图， D M :∠NEF+∠MEG B E B ∠AEF+1∠BEG AEFZG) 2∠AEB+∠FEG 又：∠AEB=180°，∠FEG=30°， .∠NEF+∠MEG 180°+30) 2 =105°， LMEN=∠NEF+LMEG-∠FEG 9/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =105°-30° =75°， 综上，∠MEN的度数为105°或75°， 故答案为：105°或75°. 9.如图，在ABC中，BD⊥AC于点D,DE=2AD=2CE,A⊥BE于点F,BD=ZAF,则线段BE与 6 AC的比值为· 【跨*】日 【详解】解：：DE=2AD=2CE, :设AD=CE=a,则DE=2a, BD=7AF. 6 .BD 7 AF 6' :令BD=7b,AF=6b, :BD⊥AC于点D,AF⊥BE于点F, ∴.S.AE=)AEBD=BEAF 1 2 2 :AE BD BE AF, :AE AD DE a+2a=3a,AC=AD+DE EC=a+2a+a=4a :3a×7b=BE×6b,即BE=70, 2 1 7 AC 4a 8 7 故答案为：8 10.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC=126°，支撑臂BD为 ∠ABC的平分线，物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时 ∠CBD=2∠ABD,∠BDC增大8°，则∠DCE增加 10/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 支撑臂 D 3机械臂 操作台 ●●●● 【答案】29° 【详解】解：起吊物体前，设∠BDC=x, :∠ABC=126°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， ∴.∠CBD=∠ABD= ∠ABC=63°， 2 ∠DCE=∠CBD+∠BDC=63°+x, 物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD=2LABD, ∠ABC=126°， .∠ABD=42°，∠CBD=84°， :∠BDC增大8°， .∠BDC=x+8°， ∠DCE=∠CBD+∠BDC=84°+x+8°=92°+x, 故∠DCE增加92°+x-(63°+x)=29°. 11.如图所示，ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠C=36°，点D是BC边上的中点，E是射线CA的动 点，将△CDE沿DE翻折，得到aDEF(点F不与点B重合)，连接BF,当BDF是直角三角形时， LCED= E F A 【答案】99°或9° 【详解】解：∠ABC=90°，∠C=36°， .∠BAC=90°-36°=54°， 当BDF是直角三角形时，分两种情况： 11/32 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当点E在线段AC上，且∠BDF=90°时，如图： E D G A B 则∠ABC+∠BDF=180°， AB∥DF, LDGE=∠BAC=54°， “折叠， .∠DFE=∠C=36°，∠CED=∠FED, ∴.∠FEG=DGE-∠DFE=I8°， :∠CED+∠DEG=∠CED+∠DEF-∠GEF=2∠CED-∠GEF=180°， .∠CED=99°； ②当点E在线段CA的延长线上，且∠BDF=90°时，如图：则LCBA=∠BDF,作EH∥AB, C D A B --------------H .DF∥AB∥EH, .∠AEH=∠CAB=54°，∠FEH=∠DFE, “折叠， :.∠DFE=∠C=36°，∠CED=∠DEF, ∠CEF=LAEH-∠FEH=I8°， :∠CED=∠DEF=∠CEF=9°： 2 综上：∠CED=99°或9°. 12/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就.如图是古人利用光的反射定律改变 光路的方法.在综合实践课上，小明固定镜面BC,将镜面BA绕点B逆时针转动30°<∠ABC<180),在 光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去.己知 ∠PDC=28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC=度 A p光源 D w7777镜面 镜面 备用图 【答案】46或136 【详解】解：由题意可知，∠MDN=∠PDC=28°， 当∠ABC为锐角时，∠MNB=60°，如图， 吵A 一P光源 777777777777777777777777 B 镜面 ∴.∠NMD=∠MNB-∠MDN=60°-28°=32°， ∠BMW=∠AMD=180°-∠WMD 2 74°， ∠ABC=180°-∠BMN-∠MNB=180°-74°-60°=46°； 当∠ABC为钝角时，直线MN交直线BC于H,∠MHE=60°，如图， M 0 D EH B C 镜面 备用图 .∠HMD=∠MHE-∠MDH=60°-28°=32°， .∠BMD=∠AMN,∠AMN=∠HMB 13/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BMD 2∠HMD=16, .∠ABC=180°-∠BMD-∠MDN=180°-16°-28°=136°. 13.如图，己知AB∥CD,若FO平分∠GFC.线段GE的延长线平分∠OEA,当∠EOF+∠EGF=100°时， 写出L0EA与∠OFC的数量关系· A B G F D 【答案】∠0EA+2∠0FC=160° 【详解】解：延长HG交直线CD于点D,AB与FO交于点P. H B D :HE平分LOEA,FO平分LGFC, .ZCFG 220FC,Z0EA=2ZHEA. :AB∥CD, ∠D=∠HEA, 在△DFG中，∠EGF=∠D+LDFG, 又∠DFG=180°-∠CFG, ：∠EGF=∠HEA+180°-∠CFG=∠0EA+180°-2∠OFC①. :∠0FC=∠0PA=∠E0F+∠0EA, ·.LE0F=LOFC-LOEA② ①+②得： ∠0EA+180°-2L0FC+(∠OFC-∠OE.A)=100°， 整理得：∠0EA+2L0FC=160°. 14.如图，CA⊥AB,垂足为A,AB=12厘米，AC=6厘米，射线BM⊥AB,垂足为B,一动点P从点A 14/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出发以3厘米/秒的速度沿射线AN运动，同时动点D从点B出发沿射线BM运动.设点D运动的速度为v 厘米/秒，当v= 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与ABC全等. M D ◇ BN 【答案】3或2或6 【详解】解：设点P运动的时间为t(t>0)秒，则AP=31厘米，PB=12-3厘米，BD=v1厘米， :AC⊥AB,BM⊥AB, ∠A=∠ABD=90°， 当点P在线段AB上时， AB>PB ∴.此时只有△ABC≌△BDP这种情况， BD=AB=12厘米，BP=AC=6厘米， [12-3t=6 (W=12, ,t=2 解得v=6 当点P在AB的延长线上时，∠PBD=∠A=90°， ∴.只存在△ABC≌△BDP和△ABC≌△BPD两种情况， 当△ABC≌△BDP时，则BD=AB=12厘米，AC=PB=6厘米， 3t-12=6 vt=12 ,t=6 解得 1v=2 当△ABC≌△BPD时，则BD=AC=6厘米，AB=BP=12厘米， 3t-12=12 vt=6 t=8 解得{3 V=- 4 15/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，v的值为2或2或6. 4 故答案为： 3或2或6 4 15.如图，在ABC中，CD为AB边上的中线，把△BCD沿CD翻折到B'CD,CB与AB交于点E.若 △ECD与△CAE的面积相等，∠A=76°.则∠BDC= B E 【答案】128°/128度 【详解】解：：CD为AB边上的中线， :.S BCD =S ACD “翻折， △BCD≌△B'CD,∠BDC=∠B'DC S.BCD =S.BCD, S.RCD=SMACD SBcD-SECD=SAcp-SEcD,即S.RED=S。ACE, :△ECD与aCAE的面积相等， AE DE,S.WED=S.DCE .B'E =CE, 又∠B'ED=∠CEA, :△B'ED≌△CEA(SAS, .∠B'DE=∠A=76°， 又∠BDC=∠B'DC,∠BDC+∠CDA=180°，∠CDA=∠B'DC-∠B'DE, ∠BDC+∠BDC-76°=180°， .∠BDC=128°. 16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，在边AC的上方取一点D,使∠DCA=∠ACB=37°，连接AD,在线 段BC上取一点E,连接AE,∠EAD=53°，若EC=2,DC=4,DE=3,则BE的长为· 16/32 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】2.5 【详解】解：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F. G A D ∠ACB=∠ACF=37°，∠B=90°， E .AB=AF,∠BCF=74°， ∴△ABC≌aAFC(HL), :BC=CF, 延长CF至点G,使FG=BE,连接AG, :∠B=∠AFG,AB=AF, △ABE≌△AFG(SAS), .∴.∠BAE=∠FAG,AE=AG, :∠EAD=53°，∠B=∠AFD=90°， ·在四边形ABCF中，∠BAF=360°-∠B-∠AFC-∠BCF=106°， :.∠BAE+∠DAF=∠FAG+∠DAF=∠GAD=53°=∠EAD, ∴△EAD≌△GAD(SAS), :DE=DG=3, 设BE=FG=x,则BC=2+x, :CF=BC=2+x, DF=2+x-4=x-2, 17/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.DG=DF+FG=x-2+x=2x-2, .2x-2=3, x=2.5, BE=2.5. I7.如图，在ABC和BDE中，AB=AC,EB=ED,点F是CD的中点，连接AF、EF,且满足 AF⊥EF，若LEBD=a,则LABC=·(用含O的代数式表示) 【答案】90°-a 【详解】解：如图，延长AF至点P,，使AF=FP,连接EA、EP,DP, B C:在△AFC和△PFD中， DF=FC ∠AFC=∠PFD, AF=FP ·△AFC≌aPFD(SAS), ·∠FAC=∠FPD,AC=DP, AB=AC, :AB=AC=DP, :AF⊥EF, .∠AFC+∠EFD=90°， ·∠DFP+∠EFD=90°， AF FP, 18/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·EA=EP, :在△EBA和△EDP中， 「EB=ED AB=DP. EA=EP △EBA≌aEDP(SSS), .∠PED=∠AEB,∠EPD=∠EAB, ·∠PED+∠DEA=∠AEB+∠DEA,即∠PEA=∠DEB, :∠EBD=a,EB=ED, ·∠BED=∠AEP=180°-2a, &∠EAP=∠EPA=180°-180°-2a=a, 2 :∠EPA=∠EPD+∠FPD=∠EAB+∠FAC, ·∠BAC=∠EAB+∠EAP+∠FAC=∠EAP+∠EPA=2a, :∠ABC=1809-20=90-a. 2 18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=22,AC=28,点P以每秒1个单位的速度按B-A-C的路径运动， 点Q以每秒2个单位的速度按C-A-B的路径运动，在运动过程中过点P作PF11于点F,点Q作QG⊥1于 点G,两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动.设运动t秒时△PFA≌△AGQ,则t的值是 【答*】6或9 【详解】解：当P在AB上，Q在AC上时，如图1， 19/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G-1 PB=t,Co=2t,AP=22-1,AO=28-2t, 图1 .AP=AB-PB=22-1,AO=AC-CO=28-2t, :△PFA≌△AGQ, .AP=AO, .22-1=28-21, t=6, 即P点运动6秒； 当P在AC上，Q在AB上时，如图2， 】 .AQ=2t-28,AP=t-22, 图2 :△PFA≌△AGQ, .A0=AP, .21-28=t-22, “t=6,不符合题意，舍去； 当P、Q在AB上重合时，如图3， FG)A -1 P(O) B 则AP=22-1,AQ=2t-28 图3 .AP=A0, 即22-t=21-28 解得：1=50 20/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 t= 50 综上可知：t=6或3. 三、解答题 19.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,J顶点C在直线MN上，点P以3cm/s的速度 沿A→C→B向终点B运动，同时点Q以5cm/s的速度从点B开始，在线段BC上往返运动（即 B→C→B→C→…运动)，当点P到达终点B时，P,Q同时停止运动.过P,Q分别作直线MN的垂线 段，垂足分别为D,E.设运动时间为t(s,当△PCD与△QCE全等时，求运动时间t. MD E 【答案】1或乙或5 4 【详解】解：由题意得∠ACB=∠CEQ=∠PDC=90°， ∴∠DPC=90°-∠PCD=∠QCE, 当点P在AC上，点Q第一次从B→C上时， PCD与△QCE全等， .PC=CO, .6-31=8-51, .t=1; 当点P在AC上，点Q从C→B上时， PCD与△QCE全等， ..PC=CO, 6-31=51-8, 7 1=43 当点P在CB上，点Q从C→B上时， PCD与△QCE全等， ∴.PC=C0, 21/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .31-6=5t-8, .1=1(舍)； 当点P在CB上，点Q第二次从B→C上时， PCD与△QCE全等， ..PC=CO, 31-6=8-51-16), 15 ∴.t= 综上所述：1的值为1或子或 4 4 2O.己知AB∥CD,点F是AB上一点，点E、N是CD上两点，连接CF、NF,过点E作EH∥NF交CF 于点H,∠EHF=∠BFH. F -B B H D W 图1 图2 (1)如图1，求证：CF平分∠AFN; (②)如图2，NK平分∠FND,过点F作FK⊥NK于点K,∠HEK+LBFK=130°，求∠EN的度数. 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】 【详解】(1)证明：：ABI CD, ∴.∠C=∠AFC、∠C+∠BFH=180°， .EH NF, .∠CHE=∠HFN, :∠CHE+∠FHE=180°， ∠EHF=∠BFH, ∠C=∠CHE=LAFC, 22/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠AFC=∠HFN, :CF平分∠AFN; (2)解：延长NK交AB于点G,过点E作EM∥CF交AB于点M, M B G :NK平分∠FND, D E 图2 ∠FNK=∠DNK, :AB‖CD, .∠AFN=∠FND=2LFNK 由(1)知，∠AFC=∠CFN, .∠CFN=∠FNK, :FK⊥NK, ∠FKN=90°， .∠NFK=180°-∠FKN-∠FNK=180°-90°-∠FNK=90°-∠FNK, ∠CFK=∠CFN+∠NFK=∠FNK+90°-∠FNK=90°， :∠CFK+∠FKN=180°， .CFl NK CF‖EM, .CF‖EM‖NK, .∠CHE=∠HEM、∠KEM=∠EKN, .EHNF, ∠CHE=∠CFN, :∠HEK+∠BFK=130°， :∠HEM+∠KEM+∠NFK=130°， ∠CFN+∠EKN+∠NFK=I30°， .∠EKN=130°-∠CFN+∠NFK）=130°-∠CFK=130°-90°=40°. 23/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【点晴】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握相关性质定理是解题的 关键。 21.在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行玩转三角尺”的探究活动.把一副三角尺按照如 图方式摆放 B D 图1 图2 图3 (1)如图1，两个三角尺的直角边OA、0D摆放在同一直线上，把△0AB以0为中心顺时针旋转，至少旋 转 度，才能使OB落在OC上； (2)如图2，若把图1所示的△0AB以0为中心顺时针旋转得到△0A'B',当∠C0A'= 2 ∠DOB'时，∠AOA'为 多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上， 如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，当旋转 度时，AB所在直线与CD所在直线垂直？ 【答案】(1)75 (2)105 (3)15°或1959 【分析】 【详解】(1)解：由题意知，至少旋转∠BOC的大小， :∠B0A=45°，∠C0D=60°， .∠B0C=180°-45°-60°=75°： (2)解：由旋转的性质得∠AOA'=∠BOB′， 设∠AOA'=∠B0B'=a, 则∠C0A'=180°-60°-a=120°-a, ∠D0B'=180°-45°-a=135°-a, :∠C0A=∠D0B', 120°-a=2(135°-a), ∴.0=105°， 24/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A0A'=a=105°； (3)解：当△A'OB'在点O的上方时，如图，延长A'B交CD于点E, B B E A'B'⊥CD, A! D .∠CEF=90°， ∴.∠CFE=90°-∠C=60°， ∴.∠BOB'=∠CFE-∠A'B'O=I5°： 当△A'OB在点O的下方时，如图，延长BA,CD,相交于点E, C .A'B'⊥CD, A D A' ! B ∠DEA'=90°， :∠CD0=60°，∠0A'B'=45°， .∠ED0=120°，∠OA'E=135°， .∠D0A'=360°-90°-120°-135°=15°， ∠B0B′=∠C0D+∠D0A'+∠A'0B'=195°； 综上所述：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直. 22.在ABC中，AB=AC,D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作ADE,使AE=AD, ∠DAE=∠BAC,连接CE. 25/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C D B 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上移动时，猜想BC、DC、CE之间的数量关系，并说明理由： (2)过点A作AF⊥BC于F,AF=8,BC=I8,设点E到直线BC的距离为，以A,C,D,E为顶点的四 边形面积为S. ①如图2，当点D在线段BC延长线上时，且CD=5,请求出S的值（用含有h的代数式表示这个值）： ②当点D在直线BC上运动的过程中，且CD=2BD,直接写出S的值（若S的值为定值，直接写出这个值， 否则用含有h的代数式表示这个值). 【答案】(I)CE=BC-DC,理由见详解 (2①92+h;②72或144+18h 【分析】 【详解】(1)解：BC-DC=CE, 理由：：∠DAE=∠BAC, .∠BAD+∠DAC=∠DAC+LCAE, ∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， BA=AC ∠BAD=∠CAE, DA=AE △BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE, BD=BC-CD, .CE=BC-DC. (2)解：①：∠DAE=∠BAC, :∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠BAD=∠CAE, 26/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△BAD和△CAE中， BA=CA ∠BAD=∠CAE, DA=AE △BAD≌aCAE(SAS, S.ABD =S.CAE .AF=8,BC=18,CD=5,AF L BD, .BD=BC+CD=23, 1 SAABD=SAc4E=7Af·BD=x8×23=92 2 :点E到直线BC的距离为h, 1 5 SACDE=5CD.h=号×5xh=3h, 2 5 S=SAACE+SACDE=92+h; ②：点D在直线BC上运动的过程中，且CD=2BD, 此时分情况讨论： (i)如图，当点D在线段BC上时： B D F 同(1)证得：△BAD≌aCAE(SAS, BD=CE,S△BAD=S△cAE, .BC=BD+CD=BD +2BD=3BD=18, BD=6,则CD=BC-BD=18-6=12, .5mm-5.cmBD-4Fx24. 1 1 :S△ADc=5CD.AF=5x12×8=48, .S=SAADC+SACAE =48+24=72; (i)如图，当点D在直线BC上，且点D在点B左侧时： 27/32 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E :BC=18,AF=8, .BD =CD-BC=2BD-18, BD=18,则CD=BD+BC=36, .SAADC=CD:AF= 2×36×8=144, :点E到直线BC的距离为h, 2.5aoCD6x 2 .S=SAADC +SADCE=144+18h, 综上所述，S的值为72或144+18h. 23.如图，在ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一条直线上，AC与DE相交于点M·下面给出四个 关系：①AB=DE;②AC=DF;③LABC=LDEF;④BE=CF. A D B E C ()任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明. (②)在(1)条件下，当△EMC的面积是△DEF面积的一半时，若BC=2,求BE的长度. 【答案】(I)①③④=②（答案不唯一），证明过程见解析 (2)2-V2 【分析】 【详解】(1)解：①③④=②.（答案不唯一） 已知：在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一直线上，BE=CF,∠ABC=∠DEF,AB=DE. 求证：AC=DF. 证明过程如下： 28/32 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=BE+EC,EF=CF+EC,BE=CF,EC=EC .BC=EF :BC=EF,∠ABC=∠DEF,AB=DE, .aABC≌△DEF(SAS, .AC=DF; (2)解：由(I1)知△ABC≌aDEF, .LACB=∠DFE, .AC II DF, .△EMC∽△EDF, EC)2 S EMC, EF :△EMC的面积是△DEF面积的一半， EC S.EMC=1 EF S.EDF 2 _ 2 ,即EF=V2EC. EF 由(1)可知BC=EF, 又：BC=2, ∴EF=V2EC=2· .EC=√2. BE=BC-EC=2-√2. 24.如图1，己知LEAF=45°，射线AE上有一定点C,射线AF上有一动点B,作四边形ABCD,使得 CD=CB,且∠DCB=135°. D E E C D C H G B F BF 图1 图2 (I)如图1，当∠CBA为锐角时， 29/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若LCBA=a,求LDCA的度数（用含a的式子表示）； ②过点D作DG⊥AC于点G,若DG=4,AB=6时，求ABC的面积； (②)如图2，当CD∥AB时，连接BD交AC于点H,请探究线段CD,CH,AB之间的数量关系，并说明理 由. 【答案】(1)①0；②12 (②)AB=CH+CD,理由见解析 【分析】 【详解】(1)解：①：在ABC中，∠EAF=45°，∠CBA=a, ·∠ACB=180°-∠EAF-∠CBA=180°-45°-a=135°-a. ∠DCB=135°， :∠DCA=∠DCB-∠ACB=135°-(135°-a)=. 答：∠DCA的度数为a ②如图，过点C作CM⊥AB于点M, D E :DG⊥AC, G ·∠DGC=LCMB=90°. :由①得∠DCA=a,且∠CBA=a, .∠DCA=∠CBA. 在△DCG和△CBM中， ∠DGC=∠CMB ∠DCA=∠CBA, CD=CB ∴.△DCG≌△CBM(AAS), :.CM =DG=4, .S.C=4B.CM=-x6x4=12 2 答：ABC的面积为12 (2)解：AB=CH+CD,理由如下： 30/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点H作HN⊥AB于点N,过点N作NP⊥AH于点P, E D H :在△BCD中，∠DCB=135°，CD=CB, P 、 BE 1 ·∠CBD=∠CDB 2xd80°-∠DCB)=2x180-1359)=22.5°. :CD∥AB, ∠ABH=∠CDB=22.5°，∠DCA=LEAF=45°， ·∠ACB=∠DCB-∠DCA=135°-45°=90°，∠ABH=∠CBD=22.5°. :HN⊥AB, :∠HNA=∠HNB=90°， :∠ACB=∠HNB=90°. 在BCH和△BNH中， 「∠ABH=∠CBD ∠ACB=∠HNB, BHBH .△BCH≌△BNH(AAS), :BC=BN,CH=HN. CD =CB, :CD=BN. :在△AHN中，∠HNA=90°，∠EAF=45°， :∠AHN=45°， ·∠PAN=∠AHN=45°. :NP⊥AH, :∠APN=∠HPN=90°. 在△APN和△HPN中， I∠PAN=∠AHN ∠APN=∠HPN, PN=PN 31/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△APN≌△HPN(AAS), .AN HN .AN =CH, ∴.AB=AN+BN=CH+CD. 32/32 第17章 三角形章节压轴训练 一、单选题 1．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 2．如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（        ） A．4 B．2 C．3 D．6 4．如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 6．已知，，以C为圆心，以为半径画弧，交于点Q，以A为圆心，以为半径画弧，交于点M，以M为圆心，以为半径画弧，交前弧于点N，连接并延长至点E，若平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 8．如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、，将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则_____． 9．如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为_____． 10．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 11．如图所示，是直角三角形，，，点是边上的中点，是射线的动点，将沿翻折，得到（点不与点重合），连接，当是直角三角形时，________． 12．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 13．如图，已知，若平分．线段的延长线平分，当时，写出与的数量关系_____． 14．如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 15．如图，在中，为边上的中线，把沿翻折到，与交于点E．若与的面积相等，．则________ 16．如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 17．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 18．如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 三、解答题 19．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 20．已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 21．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以为中心顺时针旋转，至少旋转___________度，才能使落在上； (2)如图2，若把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以为中心顺时针旋转一周，当旋转___________度时，所在直线与所在直线垂直？ 22．在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上移动时，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； (2)过点A作于F，，．设点E到直线的距离为h，以A，C，D，E为顶点的四边形面积为S． ①如图2，当点D在线段延长线上时，且，请求出S的值（用含有h的代数式表示这个值）； ②当点D在直线上运动的过程中，且，直接写出S的值（若S的值为定值，直接写出这个值，否则用含有h的代数式表示这个值）． 23．如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④． (1)任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明． (2)在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度． 24．如图1，已知，射线上有一定点，射线上有一动点，作四边形，使得，且． (1)如图1，当为锐角时， ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②过点作于点，若，时，求的面积； (2)如图2，当时，连接交于点，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $