第17章三角形综合专练 2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

第17章三角形综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 2．分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：D． 3．如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 5．将一副三角板按如图放置，，，，则 ①；②；③如果，则有； ④如果，则有． 上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出得到，则，进而可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④错误， 综上所述，正确的有①②③，共3个． 6．现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中点的意义求得，再分“，”、“，”两种情况，分别求出妞妞的运动速度． 【详解】解：∵，E是边的中点， ∴， ∵，且与全等， ∴，或，， 当，时， ∵，， 设运动时间为t，， 解得：， ∴， 此时妞妞的运动速度为：， 当，时，， 解得：， 此时，妞妞的运动速度为：， 故选：C． 7．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，连接，设的面积为，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 【详解】解：如图，连接，设的面积为，点到的高为， ∵，， ∴，， ∵， ∴，则， ∵，设点D到的高为，点A到的高为， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ， 解得，， ∴的面积为2． 8．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 9．如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 10．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出． 【详解】∵的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； 取的延长线与点M，的延长线与点N，如图： 平分，平分， ， 故C正确，不符合题意； 由选项C知， ，无法得到， 故D项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．用长度为的细绳围成一个有一边长为的等腰三角形，三角形的三边长分别为______． 【答案】，，或，， 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可分两种情况进行求解． 【详解】解：当边长为6cm是该等腰三角形的底边长时，则该等腰三角形的腰长为， ∴该等腰三角形的三边长分别为； 当边长为6cm是该等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的底边长为， 综上所述：该三角形的三边长为，，或，，， 故答案为：，，或，，． 12．如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是________． A．①②    B．①③    C．①②③    D．②③④    【答案】 【分析】本题要判定，已知，公共角，具备了一组边，一组角对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定，而添加后则不能． 【详解】解：、已知，公共角，添加，根据，能判定，故①符合题意；已知，公共角，添加，根据能判定，故②符合题意；已知，公共角，添加，根据能判定，故③符合题意；已知，公共角，添加，不判定，故④不符合题意， 综上所述：正确的条件有：①②③． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 13．如图，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 14．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 15．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 16．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，延长至点，使，连接、，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 19．如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，分条件：已知①②，求证：③；条件：①③，求证：②两种情况，证明，即可得出结论． 【详解】解：已知：①②， 求证：③； 证明：在和中， ， ∴， ∴； 已知：①③， 求证：②； 证明：在和中， ， ∴， ∴． 20．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． (1)如图1，的边上有一点M，请证明：． (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． (3)【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点C作于点H．结合三角形的面积公式证明即可； （2）连接，由，得出的面积为4，再结合，计算即可得出结果； （3）连接，，，．先证明，，，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点C作于点H． ∵，， ∴； （2）解：连接． ∵的面积为1，， ∴的面积为4， ∵， ∴的面积； （3）解：连接，，，． ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴和等底等高， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 21．如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在的同侧．连接，，分别交、于点，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）由可推出，根据边角边的判定定理可证明； （2）由和可计算出，根据全等三角形的性质可得．根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 22．如图，在中，，是的平分线，交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，可求，利用三角形内角和定理可求，因为是的平分线，则可求，再求出后两角相减即可求解题目； （2）由已知可证，因为，则，又因为，则可证． 【详解】（1）解；∵，， ∴， ， 又∵平分， ， ， ， ， ∴ ； （2）证明；∵ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴， 在与中， ∴ 23．如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理分别得出，，进而可得，即可求解； ②根据①的方法，即可求解； （2）分三种情况讨论，①如图，当在的左侧时，设交于点，②如图，当在的右侧时，设交于点，③如图，当在的下方时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 又∵ ∵，， ∴ ②∵，， ∴ （2）解：①如图，当在的左侧时，设交于点 ∵， ∴ ②如图，当在的右侧时，设交于点 ∵ ∴ ③如图，当在的下方时， ∵，， ∴， 又∵ 综上所述，或或 24．【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】（1）延长到点，使得，连接．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算即可求解； （2）延长到点，使得．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：（1） 【提示】如图所示，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ． 在和中， ， ． ， ． （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图所示，延长到点，使得． ，， ． 在和中， ， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章三角形综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 4．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．将一副三角板按如图放置，，，，则 ①；②；③如果，则有； ④如果，则有． 上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点是边的中点，小狗汪汪从点出发沿以的速度向点跑，同时小狗妞妞从点出发沿向点跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 7．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 9．如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 10．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．用长度为的细绳围成一个有一边长为的等腰三角形，三角形的三边长分别为______． 12．如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是________． A．①②    B．①③    C．①②③    D．②③④    13．如图，，，，则_____． 14．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 15．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 16．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 18．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 19．如图，以下三个关系：①；②；③．请从这三个关系中，选取其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，写出由条件可以使结论成立的一种组合方式并进行证明． 已知： 求证： 20．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． (1)如图1，的边上有一点M，请证明：． (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． (3)【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 21．如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在的同侧．连接，，分别交、于点，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．如图，在中，，是的平分线，交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 23．如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 24．【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $