精品解析：江苏扬州市江都区2025-2026学年九年级第二学期中考第一次模拟数学试卷

九年级数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③平分 D. ④ 7. 点，，在某个函数图象上，若，则满足条件的函数关系式可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 据统计2025年全国出生人口数约为7920000人，数据7920000用科学记数法表示为__________． 10. 分解因式____________ ． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 13. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 14. 圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则它的侧面展开图的扇形圆心角的度数为________． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______． 16. 如图，在中，点在上，点、在上．若，，，，，，则四边形与的面积比为________． 17. 如图，点、、、分别是菱形各边的中点，若四边形的周长为14，菱形的面积为24，则的长为________． 18. 如图，在中，，，点是的中点，将线段绕着点顺时针旋转到，点是上任意一点，连接并延长交于点．在此旋转过程中，点运动的路线长为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）计算： （2）化简：． 20. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； （3）若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 23. 为营造良好的体育运动氛围，某学校用600元购买了一批跳绳，又用1000元加购了第二批跳绳，且第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，则该学校两批共购买了多少根跳绳？ 24. 如图，在矩形中，为对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若为的中点，，求图中阴影部分的面积． 26. 春假期间，小明一家外出旅游．妈妈为小明准备了A、B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如表． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ （2）根据青少年健康饮食要求午餐的蛋白质摄入量不低于，若午餐选用这两种食品共6包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 27. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状杯体厚度不计，点是该抛物线的顶点，，，是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度液面到最低点的距离为． （1）以直线为轴，直线为轴，点为原点，建立平面直角坐标系，求出此直角坐标系下的杯体的函数关系式； （2）如图2所示，现将高脚杯绕点缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为． ①求此时点距离桌面的高度； ②直接写出此时酒杯内红酒的最大深度是________cm． 28. 如图1，在中，，（），点是边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在射线上作点关于点的对称点，连接、． （1）如图2，当点在线段上时，直接写出与的位置关系； （2）若点、、三点共线，在图3中利用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法），并证明； （3）若，，则当点在何处时，线段有最小值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列四种新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可知四个选项中只有A选项中的图形是中心对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项法则，根据初中整式运算的对应法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； 选项B：∵合并同类项时，系数相加减，字母和指数保持不变，∴，B计算错误； 选项C：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，C计算正确； 选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，D计算错误． 4. 若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用三角形三边之间的关系是解决本题的关键．根据三角形三边之间的关系可得，再逐一分析即可． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 故只有符合题意， 故选：C． 5. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，证明，利用直角三角形的两锐角互余求出，然后由同弧所对的圆周角相等即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理得应用． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：． 6. 如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③平分 D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意； C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意； D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意． 7. 点，，在某个函数图象上，若，则满足条件的函数关系式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别比较三个点的函数值大小，判断是否符合即可，用到一次函数、反比例函数、二次函数的增减性与对称性． 【详解】解：选项A、， ∵，随增大而增大，且 ， ∴，不符合要求，A错误． 选项B、， ∵，反比例函数图象分布在一、三象限，A、B横坐标为负，在第三象限，C横坐标为正，在第一象限， ∴，，，又第三象限内随增大而减小，由得， ∴，不符合要求，B错误． 选项C、 ， ∵二次函数，开口向下，对称轴为，开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 计算各点到对称轴的距离：，， ， ∵ ， ∴，符合要求，C正确． 选项D、， ∵二次函数，开口向上，对称轴为，开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大， 计算各点到对称轴的距离：， ， ， ∵ ， ∴，不符合要求，D错误． 8. 已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 据统计2025年全国出生人口数约为7920000人，数据7920000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 10. 分解因式____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法等，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：, ， ， 故答案为：． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 13. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根．根据题意列出关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， 解得． 14. 圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则它的侧面展开图的扇形圆心角的度数为________． 【答案】120 【解析】 【分析】设该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为，圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此根据弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为， 由题意得，， ∴， ∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为． 15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数图象位于一次函数图象下方，进而结合图象得出答案． 【详解】解：如图所示：一次函数与反比例函数的图象交于点． ∴关于x的不等式的解集是或； 故答案为：或． 16. 如图，在中，点在上，点、在上．若，，，，，，则四边形与的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明得出，根据等高模型可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴四边形与的面积比为 17. 如图，点、、、分别是菱形各边的中点，若四边形的周长为14，菱形的面积为24，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接交于点O，由菱形的性质得到，由三角形中位线定理得到，则可推出，即，根据菱形的面积公式可推出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴； ∵点、、、分别是菱形各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴，即 ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 18. 如图，在中，，，点是的中点，将线段绕着点顺时针旋转到，点是上任意一点，连接并延长交于点．在此旋转过程中，点运动的路线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是的中点，可得，由旋转得，当点运动到直线与相切于点时，则点的运动路径为线段，进而分别求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，点是的中点， ， 由旋转得， 如图，当点运动到直线与相切于点时，则点的运动路径为线段， 连接，则，且， ， ， ， ， ； 当点又继续运动到点时，点的运动路径为线段， ， ， 点运动的路线长为， 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】；正整数解是1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集是 正整数解是1，2． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； （3）若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200；见解析 （2）25；36 （3）700 【解析】 【分析】（1）用“偶尔”的人数除以其人数占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出其占比，用乘以“偶尔”的人数占比可求出对应的圆心角； （3）用2000乘以样本中“一直”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “偶尔”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有名． 22. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为． 23. 为营造良好的体育运动氛围，某学校用600元购买了一批跳绳，又用1000元加购了第二批跳绳，且第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，则该学校两批共购买了多少根跳绳？ 【答案】该学校两批共购买了150根 【解析】 【分析】设第一批购买跳绳根，则第二批购买跳绳根，根据第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元建立方程求解即可． 【详解】解：设第一批购买跳绳根，则第二批购买跳绳根， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ∴该学校两批共购买了150根跳绳． 答：该学校两批共购买了150根． 24. 如图，在矩形中，为对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】（1）由矩形对边平行得到，再由折叠的性质可知：，进一步可得，即可求证； （2）利用折叠的性质得出和，再根据勾股定理求出，并在中利用勾股定理建立方程求出，即可利用面积公式求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：在矩形中， ， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴． 25. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若为的中点，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠的性质得到，再证明，推出，即可证明，据此可证明结论； （2）可证明是等边三角形，得到，求出，进而可得，，根据可得答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ， ∵将沿所在的直线翻折，得到， ，， ， ， ， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 春假期间，小明一家外出旅游．妈妈为小明准备了A、B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如表． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ （2）根据青少年健康饮食要求午餐的蛋白质摄入量不低于，若午餐选用这两种食品共6包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品3包，B种食品2包 （2）选用A种食品4包，B种食品2包 【解析】 【分析】（1）设选用A种食品包，B种食品包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质建立方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，总热量为，列出w关于a的一次函数关系式，再根据午餐的蛋白质摄入量不低于列出不等式求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品包，B种食品包， 根据题意，得， 解得 答：选用A种食品3包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，总热量为． 由题意得，， 根据题意，得， ∴． ∵， ∴随的增大而减小． ∴当时，最小， 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 27. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状杯体厚度不计，点是该抛物线的顶点，，，是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度液面到最低点的距离为． （1）以直线为轴，直线为轴，点为原点，建立平面直角坐标系，求出此直角坐标系下的杯体的函数关系式； （2）如图2所示，现将高脚杯绕点缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为． ①求此时点距离桌面的高度； ②直接写出此时酒杯内红酒的最大深度是________cm． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】根据题意建立坐标系，得出，，，利用待定系数法即可求出杯体的函数关系式； ①延长交水平桌面于，过点作水平桌面于，交于，可得、、都是等腰直角三角形，得出，，根据点、坐标可求出，设，根据勾股定理得出，解方程可求出，进而求出的长即可； ②以倾斜后的点为原点，直线为轴，直线为轴，建立坐标系，延长交轴于，过点作轴于，在下方的抛物线上取点，作于，于，交于，得出、是等腰直角三角形，，可得取最大值时，取最大值，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，利用二次根式的性质求出的最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，建立坐标系如下：设交轴于， ∵当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度液面到最低点的距离为 ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 设杯体的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴杯体的函数关系式为． 【小问2详解】 解：①如图，延长交水平桌面于，过点作水平桌面于，交于， 由（1）中可得， ∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴、、都是等腰直角三角形， ∴，，， 设，则，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：，舍去， ∴． ②如图，以倾斜后的点为原点，直线为轴，直线为轴，建立坐标系，延长交轴于，过点作轴于，在下方的抛物线上取点，作于，于，交于， 同可得，抛物线解析式为， ∵水平桌面，，与水平桌面的倾斜角， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴取最大值时，取最大值， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴时，取最大值， ∴的最大值为． ∴酒杯内红酒的最大深度是． 28. 如图1，在中，，（），点是边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在射线上作点关于点的对称点，连接、． （1）如图2，当点在线段上时，直接写出与的位置关系； （2）若点、、三点共线，在图3中利用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法），并证明； （3）若，，则当点在何处时，线段有最小值，并说明理由． 【答案】（1） （2）作图见解析，证明见解析 （3）在的中点时，有最小值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及等边对等角可得，，根据三角形的外角的性质进而得出，得出，，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点，以为圆心， 为半径作弧交直线于点，在上截取，连接，证明，即可得证； （3）连接，过点，作于点，得出是等边三角形，，设，勾股定理表示出，根据二次函数的性质求得时，最小，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，作的垂直平分线交于点，以为圆心， 为半径作弧交直线于点，在上截取，连接， 证明：根据作图可得， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵点、、三点共线， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点，作于点， ∵，， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 设，则，，， ∴， ∴ ， ∴当时，有最小值，即在的中点时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $