精品解析：江苏省扬州市江都区2024-2025学年下学期九年级第一次模拟数学试卷

九年级数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，解题的关键是熟记相关法则并灵活运用． 分别根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不合题意； B．，故本选项不合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不合题意； 故选：C． 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解． 【详解】解：该立体图形的左视图是 ， 故选：D． 4. “任意画出一个多边形，外角和是”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键：在一定条件下一定会发生的事件是必然事件． 利用多边形外角和定理结合必然事件的定义进行求解即可． 【详解】解：“任意画出一个多边形，外角和是”这是一定会发生的，是必然事件， 故选B． 5. 如图，在中，，直线a经过点A和边的中点D，直线b经过点C，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，等边对等角及平行线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由等边对等角确定，得出，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．连接，，作，的垂直平分线的交于点，则点． 【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线的交于点，则点， 故选：B． 7. 若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解：∵点，， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意； ， 由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故选：D． 8. 如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，求出，根据相似三角形的判定和性质证明，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 截至3月30日，电影《哪吒2》全球总票房已经突破150亿元，江都万达某天《哪吒2》的票房累计约12000元，数字12000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解；． 故答案为：． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案． 【详解】解：． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】解：由题意可知：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 14. 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为_____． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵9＜11＜12.25， ∴3＜＜3.5， ∴在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是3． 故答案是3． 15. 若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为_____．（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算．根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为2，母线长为6， ∴圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 16. 用直尺测胶带纸的外圆半径，如图所示，已知直尺宽，直尺两边与胶带外圆交于A、B、C、D四点，，则胶带外圆半径为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．假设圆心为O，连接，过点O作，设，得出，再由垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：假设圆心为O，连接，过点O作，如图所示： 设，由题意，点F、O、G共线， ∵直尺宽， ∴， ∵过点O作， ∴， ∴即， 解得：， ∴， 故答案为：． 17. 图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后最大如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是_____（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，于点，于点，交于点，得到四边形是矩形，求出，，得到打开后电饭煲的最大高度是，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点，于点，于点，交于点， ，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 打开后电饭煲的最大高度是， 故答案为：． 18. 如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是_____（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可知， ∵该二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． ∵， ∴，故②正确； 当时，y取得最小值， ∴，即，故③正确； 当时，， ∴顶点坐标为， 根据题意得， 即将位于x轴下方的图像向上翻折， ∴翻折后的顶点坐标为， ∵若关于x的方程恰有三个解， ∴即函数与恰有三个解， 即恰好经过向上翻折后的图像的顶点， ∴， ∵， 代入得到，则， 故④正确； 综上可知正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的化简，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，代入特殊角锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可求解； （2）先计算括号内的，然后计算除法，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示为： 21. 学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 8.76 中位数 9 a 众数 b 10 方差 1.06 1.38 （1）根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）8，9 （2）八年级 （3）两个年级成绩为优秀的学生共有1152人． 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级C中，可以确定的值；先求得八年级等级C的人数，根据最多的数据是众数，可以确定的值；再补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用分别用八、九年级的人数乘以各自的优秀率，然后相加即可得到答案． 【小问1详解】 解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 九年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级C中， 故九年级中位数， 由题可知：八年级等级C人数为：（人）， 等级B的人数最多， 八年级众数， 补全条形统计图如下： 故答案为：8，9； 【小问2详解】 解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差， 八年级成绩更好，更稳定； 故答案为：八年级； 【小问3详解】 解：（人）． ∴两个年级成绩为优秀的学生共有1152人． 22. 临近中考，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼，D．积极心理暗示． （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是_____． （2）随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先利用树状图得出所有等可能结果，从中找到他们选择同种减压方式的结果数，再利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有4种等可能结果，他选择“享受美食”的只有1种结果， ∴他选择“享受美食”的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中他们选择同种减压方式的结果数为4， ∴他们选择同种减压方式的概率为． 23. 超市采购A、B两种电水壶进行销售，已知B的单价比A的单价贵20元，花费1200购进A种电水壶购与花费1500元购进B种电水壶的数量相同，A、B两种电水壶的单价各是多少元？ 【答案】种电水壶的单价为80元，种电水壶的单价为100元． 【解析】 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设种电水壶的单价为元，则种电水壶的单价为元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设种电水壶的单价为元，则种电水壶的单价为元， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：种电水壶的单价为80元，种电水壶的单价为100元． 24. 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的中线性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，再由直角三角形斜边中线的性质得出，结合菱形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质得出，再由平行四边形的性质确定，结合勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形面积为：． 25. 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E． （1）证明：； （2）当时， ①证明：为的切线； ②若，，则_____． 【答案】（1） 证明：如图所示： ∵沿翻折，得， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴； （2） ①证明：∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴，又为的半径， ∴为的切线； ② 【解析】 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，翻折的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据翻折的性质得出 ，再由等角对等边确定，利用等量代换及平行线的判定即可证明； （2）①根据题意得出 ，再由折叠的性质确定 ，利用等量代换及切线的判定即可证明；②根据题意设，则，然后利用勾股定理得出方程确定 ，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴ ， ∵， ∴设，则， ∴ ， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 故答案为：． 26. 在数学课上，李老师给出了一道作图题： “如图1，点P为内一点，求作一条过点P的直线 ，分别交射线、射线于点E、F，且．”这道题中要作的直线 需同时满足以下三个条件：① 过点P；②E、F分别在射线上，③．经过尝试，同学们都觉得有些困难．于是，李老师提示同学们采用“弱化条件”的策略去思考问题．即先作出满足部分条件的直线（此时点、已满足分别在射线上和这两个的条件，如图2所示），再通过观察发现要作的 与已作的互相平行． （1）根据李老师的提示，在图1中用尺规完成李老师给出的问题；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图3，为的高线，用尺规作一个圆，使该圆经过点P，并且与边和都相切．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）提醒：在答题卡上作图痕迹需要加粗． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查作图，角平分线、垂线的作法，圆的性质，平行线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点，熟练掌握基本作图方法是解题关键． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，，然后以点C为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点，连接，，然后以点P为顶点，为角的一边作，确定，然后延长交于点F即可； （2）先作的角平分线 ，在 上任意取一点D，作于点F，以点D为圆心，为半径作圆D，圆D交于点G，连接，以点P为顶点，为边作交 于点M，以点M为圆心，为半径的圆即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 根据题意，先作的角平分线 ，在 上任意取一点D，作于点F，以点D为圆心，为半径作圆D，圆D交于点G，连接，以点P为顶点，为边作交 于点M，以点M为圆心，为半径的圆即为所求． 27. 已知函数（为常数），当时，取最小值． （1）当时，求的值； （2）若且在函数的图像上，求点坐标； （3）若点和都在该函数图像上，求证：． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标求解，二次函数的最值，二元一次方程组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将 ，代入函数表达式得到，求出； （2）由题得到，得出，由在函数的图像上得到，求出，，，得到点坐标为或； （3）由题得到，即，继而得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：将 ，代入函数表达式得， ， ∴当时函数有最小值， ∴； 【小问2详解】 解：， 由题意得， ∴， ①， ∵在函数上， ∴②， ①代入②得， 解得，， ∴点坐标为或； 【小问3详解】 证明：∵、关于对称轴对称， ∴， 即， 将、两点的坐标代入函数表达式可得 ， ∴，， ∴． 28. 如图，矩形 中，，E是边上一点，且，点P为边上一动点，连接，过E作的垂线交折线段于点Q．连接． （1）如图1，当点Q与点D重合时，求的长； （2）如图2，当点Q在 上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； （3）点M是的中点． ①如图3，当Q在线段上时，的最小值为______． ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______． 【答案】（1）； （2）不变，； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）过点Q作于点H，同（1）可证，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解； （3）①连接，过M作于 ，于F，交于G，证明，得出，可证明，利用平行线分线段成比例可求出，根据勾股定理可得出，则，故当最小时，最小，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则转化为求的最小值，当与重合时，取最小值为3，即可求解； ②由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交 于N，可得四边形是矩形，则，同理①可证，根据三角形中位线定理可求出，证明，可求出，同理证明四边形是矩形，得出，然后根据线段的和差求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形 ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点Q作于点H， ∴， ∵四边形 为矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， 同（1）得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①连接，过M作于 ，于F，交于G， 则四边形是矩形， ∴， ∵矩形 ， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴当最小时，最小， ∵，M是中点， ∴， ∵当与重合时，取最小值为3， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； ②解：由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交 于N， 则四边形是矩形， ∴， 同理可证， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 同理四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点M的运动路程长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，点的轨迹的探究等知识，明确题意，添加合适辅助线，探究处点M的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. “任意画出一个多边形，外角和是”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 5. 如图，在中，，直线a经过点A和边的中点D，直线b经过点C，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由 绕点P旋转得到，则P的坐标为（    ） A. B. C. D. 7. 若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 截至3月30日，电影《哪吒2》全球总票房已经突破150亿元，江都万达某天《哪吒2》的票房累计约12000元，数字12000用科学记数法表示为_____． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 11. 分解因式：_______． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：_____． 13. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 14. 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为_____． 15. 若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为_____．（结果保留）． 16. 用直尺测胶带纸的外圆半径，如图所示，已知直尺宽，直尺两边与胶带外圆交于A、B、C、D四点，，则胶带外圆半径为_____ ． 17. 图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后最大如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是_____（结果保留根号）． 18. 如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是_____（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 20. 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 8.76 中位数 9 a 众数 b 10 方差 1.06 1.38 （1）根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 22. 临近中考，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼，D．积极心理暗示． （1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是_____． （2）随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率． 23. 超市采购A、B两种电水壶进行销售，已知B的单价比A的单价贵20元，花费1200购进A种电水壶购与花费1500元购进B种电水壶的数量相同，A、B两种电水壶的单价各是多少元？ 24. 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 25. 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E． （1）证明：； （2）当时， ①证明：为的切线； ②若，，则_____． 26. 在数学课上，李老师给出了一道作图题： “如图1，点P为内一点，求作一条过点P的直线，分别交射线、射线于点E、F，且．”这道题中要作的直线需同时满足以下三个条件：①过点P；②E、F分别在射线上，③．经过尝试，同学们都觉得有些困难．于是，李老师提示同学们采用“弱化条件”的策略去思考问题．即先作出满足部分条件的直线（此时点、已满足分别在射线上和这两个的条件，如图2所示），再通过观察发现要作的与已作的互相平行． （1）根据李老师的提示，在图1中用尺规完成李老师给出的问题；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图3，为的高线，用尺规作一个圆，使该圆经过点P，并且与边和都相切．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）提醒：在答题卡上作图痕迹需要加粗． 27. 已知函数（为常数），当时，取最小值． （1）当时，求的值； （2）若且在函数的图像上，求点坐标； （3）若点和都在该函数图像上，求证：． 28. 如图，矩形 中，，E是边 上一点，且，点P为边上一动点，连接，过E作的垂线交折线段于点Q．连接． （1）如图1，当点Q与点D重合时，求的长； （2）如图2，当点Q在 上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； （3）点M是的中点． ①如图3，当Q在线段上时，的最小值为______． ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $