精品解析：河北省石家庄市赵县2025--2026学年第二学期期中学业质量检测 七年级数学

2025—2026学年度第二学期期中学业质量检测 七年级数学（ZX） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，在同一平面内，，垂足都为点O，则与重合的理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 点到直线的垂线段叫作点到直线的距离 C. 同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A. B. C. D. 6. 点在轴的上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 7. 若，为实数，且满足，则的算术平方根为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8. 如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角三角形ABC中，，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，直线，线段AB交，于D，B两点，过点A作交直线于点C，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的规律运动，则第2025次运动到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，，，则____________． 14. 若点到x轴的距离是2024，则______． 15. 已知，，均为正整数． （1）若，则___________； （2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________． 16. 如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD、支撑EF构成，在作业过程中，救授台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整．如图2，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时展角∠ABC＝___°． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）求符合条件中的x的值：． 18. 背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，． 问题：请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？ 解决：请把下列解题过程补充完整． 解：∵，（已知）， ∴ ，（两直线平行， ）， ∵，，（已知）， ∴．（等量代换）， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ ．（ ，两直线平行）． 19. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点，且轴时，求点的坐标； （3）若点到坐标轴的距离相等，求点的坐标． 20. 阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 21. 解决问题 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____． 【知识迁移】 （2）设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____． 【拓展延伸】 （3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 22. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，， （1）在平面直角坐标系中画出三角形，它的面积为______； （2）将三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，．已知点的坐标是， ①点的坐标是______，点的坐标是______； ②画出三角形，写出一种将三角形平移到三角形的方法：______． 23. 在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点P的“乙变换”：将点 P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． （1）若对点进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 ，若对点 B进行1次“乙变换”后得到点，则点 B 的坐标为 ； （2）若对点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D落在y轴上，求m的值及点 D的坐标； （3）若对点进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点 Q， 恰好落在x轴上，直接写出点 Q 的坐标． 24. 【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 （1）木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； （2）如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； （3）现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业质量检测 七年级数学（ZX） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上． 2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效． 4．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，在同一平面内，，垂足都为点O，则与重合的理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线的性质，由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：在同一平面内，，垂足都为点O，则与重合的理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案． 【详解】解：A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 3. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 点到直线的垂线段叫作点到直线的距离 C. 同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，点到直线的距离，垂直的性质，平行线的性质等知识，根据相关知识逐一判断即可，理解这些概念和定理是解题的关键． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项不符合题意； B、点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故选项不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故选项不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】∵x2＋2＞0， ∴点P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 5. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、， ，故不符合题意； B、当时，无法判断，故符合题意； C、，，故不符合题意； D、，，故不符合题意； 故选：B． 6. 点在轴的上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，以及点的坐标的确定，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在轴上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴点的横坐标为3或，纵坐标为5， ∴点的坐标为：或． 故选：D． 7. 若，为实数，且满足，则的算术平方根为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选C． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值． 8. 如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解题中的点A和点B的表示方式是解题的关键． 根据点A和点B的表示方法，得出和的度数，再根据平分角及点D的位置即可解决问题． 【详解】解：，， 平分， ， ， 又点D在从内向外的第5层圆上， 点D可表示为 故选：A． 9. 如图，在直角三角形ABC中，，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移的性质可得，即可判断①④的正确性，由，即可判断③的正确性，再根据平行线的性质即可判断②的正确性 ． 【详解】解：∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF， ∴，，故①正确 ∴， ∴，故②正确 ∵， ∴，故③正确 ∵△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF， ∴，故④正确 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等，合理的运用性质是解答此题的关键． 10. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 11. 如图，直线，线段AB交，于D，B两点，过点A作交直线于点C，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直定义、平行线的性质等知识点．利用三角形的外角性质可得的度数，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 12. 如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的规律运动，则第2025次运动到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，，因此第2025次运动到点． 【详解】解：根据题意可知，动点的运动规律是： 第1次从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， ， 由此可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环， ， 第2025次运动到点，即． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，，，则____________． 【答案】22.37 【解析】 【分析】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果向同方向移一位进行计算即可得答案． 【详解】∵11.2的小数点向右移动3位得11200，， ∴22.37， 故答案为：22.37 【点睛】本题考查立方根，关键是掌握小数点的移动规律．被开方数小数点移3位，开立方后的结果小数点向同方向移一位． 14. 若点到x轴的距离是2024，则______． 【答案】2025或 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值成为解题的关键． 根据到x轴的距离等于纵坐标的绝对值列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是2024， ∴，解得：或． 故答案为：2025或． 15. 已知，，均为正整数． （1）若，则___________； （2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由即可得到答案； （2）由，，可得，，进一步分析即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵a，b均为正整数． ∴满足条件的有个，满足条件的有个， ∴满足条件的a的个数比b的个数少（个）． 16. 如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD、支撑EF构成，在作业过程中，救授台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整．如图2，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时展角∠ABC＝___°． 【答案】 【解析】 【分析】延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，由题意，PQ∥AB∥GH， ∴∠QPF=∠EFH=69°，∠ABC+∠BPQ=180°， ∵BC⊥EF， ∴∠BPF=90°， ∴∠BPQ=90°－∠QPF=90°－69°=21°， ∴∠ABC=180°－∠BPQ=180°－21°=159°， 故答案为：159． 【点睛】本题考查平行线的性质、垂直定义，理解题意，添加辅助线，利用平行线的性质解决实际问题是解答的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）求符合条件中的x的值：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，实数的绝对值，还考查了利用开立方解方程，熟练掌握实数的混合运算法则和开立方解方程是解题的关键． （1）先求算术平方根，立方根和实数的绝对值，再进行加减即可； （2）先变形为，然后开立方，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）， 移项，得， 开立方，得， 解得：． 18. 背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，． 问题：请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？ 解决：请把下列解题过程补充完整． 解：∵，（已知）， ∴ ，（两直线平行， ）， ∵，，（已知）， ∴．（等量代换）， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ ．（ ，两直线平行）． 【答案】3；内错角相等；5；6；6；l，m；内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，联系上下文，补齐各步骤的结论和推理依据即可作答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∵，且， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：3；内错角相等；5；6；6；l，m；内错角相等． 19. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点，且轴时，求点的坐标； （3）若点到坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为 （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查点坐标，坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键． （1）根据题意得到，进而求解即可； （2）根据得到，进而求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离相等得到或，进而求解即可． 【小问1详解】 由题意，得， 解得， 则， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 ∵轴，， ∴点与点的纵坐标相等，即为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 ∵点到坐标轴的距离相等， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或． 20. 阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 【答案】（1）3， （2）6 （3）11 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分为，即； ∵， ∴的整数部分是4，即； ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴的算术平方根为 21. 解决问题 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____． 【知识迁移】 （2）设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____． 【拓展延伸】 （3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2， （2）1，13， （3）不可行，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可求解大正方形的面积，继而可求解边长； （2）根据直角三角形的长直角边减去短直角边即可求解小正方形的边长；根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可求解大正方形的面积，继而可求解边长； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：所得到的大正方形面积为， ∴边长为； 【小问2详解】 解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：； ∴边长为； 【小问3详解】 解：不可行，理由如下： 由题意可设裁出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 22. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，， （1）在平面直角坐标系中画出三角形，它的面积为______； （2）将三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，．已知点的坐标是， ①点的坐标是______，点的坐标是______； ②画出三角形，写出一种将三角形平移到三角形的方法：______． 【答案】（1）见详解，4.5 （2）①，②见详解，右移5个单位再上移3个单位得到 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，平移作图，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，，画出三角形，再运用割补法求面积，即可作答． （2）①根据，点的坐标是，得出平移的规律是右移5个单位再上移3个单位得到，据此得出点的坐标和点的坐标， ②由①得点的坐标,再画出三角形，即可作答． 【小问1详解】 解：三角形如图所示： 则三角形的面积为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵将三角形平移到三角形，且，点的坐标是， ∴平移的规律是右移5个单位再上移3个单位得到， ∴， 即点的坐标是， 则， 即点的坐标是； 故答案为：，； ②三角形如图所示： 则将三角形平移到三角形的方法：右移5个单位再上移3个单位得到． 故答案为：右移5个单位再上移3个单位得到． 23. 在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点P的“乙变换”：将点 P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． （1）若对点进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 ，若对点 B进行1次“乙变换”后得到点，则点 B 的坐标为 ； （2）若对点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D落在y轴上，求m的值及点 D的坐标； （3）若对点进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点 Q， 恰好落在x轴上，直接写出点 Q 的坐标． 【答案】（1）， （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，平移变换，理解点的“甲变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义是解题的关键． （1）利用 “甲变换”的定义，可求解空1；利用 “乙变换”的定义，可求解空2； （2）利用 “甲变换”和 “乙变换”的定义表示出变换后的坐标，然后列出方程可求解； （3）设点进行次“甲变换”，再进行次“乙变换”后，所得到的点恰好落在x轴上，可得，求出a的值即可求解． 【小问1详解】 点的坐标为， 点进行1次“甲变换”后得到的点的坐标，即， 点对点 B进行1次“乙变换”后得到点，， 点坐标为，即． 故答案为：，； 【小问2详解】 点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D坐标为，即， 点D落在y轴上，， ， ， ． 【小问3详解】 设点进行次“甲变换”，再进行次“乙变换”后，所得到的点恰好落在x轴上， ， ， ∴． 24. 【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 （1）木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； （2）如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； （3）现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 【答案】（1） （2） （3）在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 【解析】 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，一元一次方程的应用. （1）直接利用平行线的性质求解即可. （2）如图，过作，证明，再进一步求解即可. （3）如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为，情况①：由题意可得：，，可得，，情况②：如图，，，可得，，证明，再进一步可得答案. 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转，使得. 【小问2详解】 解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴. 【小问3详解】 解：情况①：如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 情况②：如图，，， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上：在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $