精品解析：辽宁省辽阳市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中学情调研数学试卷

八年级下学期期中学情调研 数学试卷 全卷满分为120分，时间为120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、座位号等信息填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用黑色笔写在答题卡上对应题目的位置．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题目的位置上．写在本试卷上无效！ 3．考试结束后，将本试卷自己保留，以备老师讲解，只将答题卡交回即可． 4．测试范围：新北师大版2024八年级下册第1章至第4章． 5．测试时间：2026.5．12 8：00～10：00 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得，由勾股定理即可求出的长度，最后用面积法求得的长． 【详解】解：∵，，，平分交于点， ∴且点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 3. 若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先将因式分解为三个连续整数的乘积，利用连续整数的性质可得结论．掌握因式分解的方法及三个连续整数的积必能被6整除是偶数是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是整数， ∴，，为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数， ∴能被乘积一定能被整除， ∴整数的最大值为． 故选：D． 4. 如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理列方程求解是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度，在中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（）的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：B． 5. 已知关于x、y的方程组解都为正数，且满足，，，则z的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可得到a的范围；根据题意得出，即可得到，代入得到，根据a的取值可得结论． 【详解】解：解这个方程组的解为：， 由题意，得， 则原不等式组的解集为； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了含有字母系数的二元一次方程组和不等式组的应用，解答关键是用字母参数表示未知量，构造不等式组解答问题． 6. 如图所示，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，得出是等边三角形是解题关键． 利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：C． 7. 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：中，爱，我，一，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 一中游 C. 我爱一中 D. 美我一中 【答案】C 【解析】 【分析】先对给定多项式因式分解，再根据密码对应关系得到结果即可． 【详解】解： ， ∵，，，分别对应下列六个字：中，爱，我，一， ∴将因式分解，结果呈现的密码信息可能是我爱一中． 8. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 9. 如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， ∵是最小的数， ∴即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C． 10. 如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①若，则；②；③若，，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键． 利用等腰三角形的三线合一可判断①正确；根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知②正确；根据三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积公式可知③正确． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∴， 故①正确； ∵在中，, ∴, ∵和是和的平分线， ∴， ∵ ∴ ， 故②正确； 作于M，于N， ∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴ ． 故③正确． 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（共5个小题，每小题3分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式将每个因式分解，分解后式子可通过约分简化计算，最终得到结果． 【详解】解： 12. 正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，根据题意得和，利用平方差公式求解． 【详解】解：设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，则． 由面积差得． 根据平方差公式，． 代入，得． 所以． 故这两个正方形的边长之和为 故答案为：10． 13. 如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】利用解一元一次方程的步骤表示出，然后根据题意列出不等式，求出的取值，最后代数求值即可． 【详解】解： ∴， 解得， ∵m是一个正整数， ∴的值为1或2， 当时，； 当时，； 故答案为：或1． 14. 如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 15. 如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是______． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形、直角三角形．  将绕点C顺时针旋转得，根据旋转的性质可证为等边三角形、是直角三角形，即可求出的度数． 【详解】解：如图，将绕点C顺时针旋转得， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故答案为： 三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 17. 解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1解不等式即可 （2）先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集，然后即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 化系数为1，得； 【小问2详解】 ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出向左平移3个单位后的； （2）在图中画出绕原点O逆时针旋转后的； （3）写出、的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）、的坐标分别为、 【解析】 【分析】（1）根据平移变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （3）根据已作的图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：由作图可得，、的坐标分别为、． 19. 《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． （1）若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ （2）现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】（1）87本 （2）共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【小问1详解】 解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 【小问2详解】 解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 20. 中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． （1）如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． （2）若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 【答案】（1）， （2）结论：，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：①如图1中，连接． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：结论：． 理由：如图2中， ∵，， ∴． 21. 小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． （1）小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． （2）小张出发几小时与小李相遇？ （3）若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】（1） （2）小时 （3）时间范围是 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． 【小问2详解】 解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． 【小问3详解】 解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 22. 如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． （3）若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证出．设，则，由三角形外角的性质可得答案； （2）连接．证明是等边三角形，得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）过点A作于点M，证出，得出，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：由折叠得，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 23. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】（1），5； （2）． 【解析】 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【小问1详解】 解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； 【小问2详解】 解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 24. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小杜发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小杜的证明思路是：如图2，过点作，分别交于点，交于点，利用等面积法来证明． （1）尝试证明：请参照小杜的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若则的长为___________； （3）拓展升华：如图4，中，平分，的垂直平分线交的延长线于点，当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再结合面积比可得结论． （2）由折叠的性质可得出，，由（1）可知，，可得，结合与轴对称的性质可求出答案． （3）根据（1）可得，从而求得，再根据中垂线可得，结合即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，是的角平分线， ∴， ∵，而， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ，， 由（1）可知，， 又∵， ，， ， ， ； ． 【小问3详解】 解：为的角平分线， ，， ，，， ， ， 的中垂线交延长线于， ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质、轴对称的性质，多项式的乘法运算，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中学情调研 数学试卷 全卷满分为120分，时间为120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、座位号等信息填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用黑色笔写在答题卡上对应题目的位置．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题目的位置上．写在本试卷上无效！ 3．考试结束后，将本试卷自己保留，以备老师讲解，只将答题卡交回即可． 4．测试范围：新北师大版2024八年级下册第1章至第4章． 5．测试时间：2026.5．12 8：00～10：00 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 已知关于x、y的方程组解都为正数，且满足，，，则z的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 7. 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：中，爱，我，一，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 一中游 C. 我爱一中 D. 美我一中 8. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 9. 如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①若，则；②；③若，，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（共5个小题，每小题3分） 11. 计算：__________． 12. 正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 13. 如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 14. 如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 15. 如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是______． 三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 分解因式： （1） （2） （3） （4） 17. 解不等式（组）： （1）； （2）． 18. 如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出向左平移3个单位后的； （2）在图中画出绕原点O逆时针旋转后的； （3）写出、的坐标． 19. 《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． （1）若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ （2）现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 20. 中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． （1）如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． （2）若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 21. 小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． （1）小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． （2）小张出发几小时与小李相遇？ （3）若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 22. 如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． （3）若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 23. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 24. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小杜发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小杜的证明思路是：如图2，过点作，分别交于点，交于点，利用等面积法来证明． （1）尝试证明：请参照小杜的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若则的长为___________； （3）拓展升华：如图4，中，平分，的垂直平分线交的延长线于点，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $