精品解析：辽宁省辽阳市灯塔市2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024-2025学年灯塔市八年级（下）期中质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（ ） A. 正东或正西 B. 正南 C. 正北 D. 正南或正北 8. 如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 13. 已知中，，则点的坐标为______． 14. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆______． 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接，若，则线段的长为 _______ ． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，求代数式的值． 18 如图，正方形和正方形有一个公共顶点A，连接．求证：． 19. 如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 20. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度． 21. 如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 22. 教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 23. 四边形正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）如图1，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年灯塔市八年级（下）期中质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有答案都答在答题卡上，答题要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 下列式子一定是二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的性质，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．根据算术平方根与立方根、实数的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵，， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，求出DE的长是解答的关键． 7. 一辆汽车从点出发沿正东方向行驶到达点，然后转向行驶到达点，最后从点沿方向直接回到出发点．如果汽车从出发到返回共行驶了，那么的方向是（ ） A. 正东或正西 B. 正南 C. 正北 D. 正南或正北 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据题意，得到，根据汽车从出发到返回共行驶了，得到，勾股定理逆定理，求出为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得：， ∵汽车从出发到返回共行驶了， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵汽车从点出发沿正东方向行驶到达点， ∴的方向是正南或正北方向； 故选D． 8. 如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键在于能够灵活运用这些知识点进行推理和计算．首先确定四边形的形状，然后利用菱形的性质求出的长度，最后得出的长度． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， ， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形，， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 10. 如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短等；连接，由可判定，由全等三角形的性质得，作点关于的对称点，连接， 当、、三点共线时，取最小值，此时，由勾股定理即可求解；掌握“将军饮马”典型题型的解法，找到取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 作点关于的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值， 此时， ， 的最小值为； 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是． 【详解】解：分两种情况： ①当6和8为直角边时，第三边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，第三边长为． 故答案为：10或． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 13. 已知中，，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形性质，掌握平行四边形的性质是关键． 根据题意，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴点， 故答案为： ． 14. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，，，可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接，若，则线段的长为 _______ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理等知识点，掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质是解答本题的关键．先根据菱形的性质得到，，然后根据中位线的性质可得即可解答． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵E为边的中点， ． 故答案为：4． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出文字） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式． 把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ． 18. 如图，正方形和正方形有一个公共顶点A，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和正方形的性质的应用，解此题关键是求出，题目比较好，难度也适中．根据正方形性质得出，，，推出，证出即可． 【详解】证明：四边形和四边形是正方形， ， ， 即， ， ． 19. 如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 20. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索的长度为尺 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用、矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴尺， 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：． ∴秋千绳索的长度为尺． 21. 如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据证，即可得出结论； （2）利用（）中全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到，从而得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的中点，是边上的中线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 由（）知，， ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 22. 教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 （1）化简：______； （2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案； （2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案； （3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：． 故答案为： 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ． 23. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）如图1，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，进而得到，则点F与C重合，根据（1）中正方形的性质可求解； （3）分①当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：如图2， 在中．， ∵， ∴， ∴点F与C重合， ∵四边形是正方形， ∴； 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$