精品解析：四川华蓥中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

高2028届高一下入学考试试卷 一、单选题 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点，则（　　） A. 3 B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数（）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 若偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 汽车现在已经是我们出行不可分离工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 二、多选题 9. 以下四个命题中，是真命题是（ ） A. B. “”是“”必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 取得最小值时， D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 11. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 三、填空题 12. 函数的定义域为__________. 13 已知那么___________ 14. 已知，，则__________. 四、解答题 15. 已知， （1）求值； （2）求的值． 16. （1） 化简: （2） 求值: （3） 求值: 17. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求函数的解析式及其单调递减区间； （2）求在上的最大值与最小值． 18. 随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． （1）请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； （2）为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高一下入学考试试卷 一、单选题 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 详解】根据题意得， 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】易知. 故选：A 3. 已知幂函数的图象过点，则（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是幂函数用待定系数法求出解析式，再求解即可． 【详解】设所求幂函数为：， ∵幂函数的图象经过点， ,解得 所以， 故选：B. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理进行判断即可. 【详解】，因为均为增函数，所以为增函数， 又，，所以的零点所在区间为. 故选：C 5. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式以及三角函数的定义可得出所求代数式的值. 【详解】由诱导公式和三角函数的定义可知， 故选：A. 6. 函数（）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由函数的解析式，求解函数函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项；再由时，，排除C，即可得到答案． 详解：由函数，则满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项； 由当时，，排除C，故选A． 点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7. 若偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可. 【详解】由已知可得， 即是函数的一个周期， 所以. 故选：C 8. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 【答案】A 【解析】 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 二、多选题 9. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若命题：，，则的否定为：， D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可判断C，利用不等式的性质可判断D． 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题； 对于选项D：若，则，，故D选项为假命题. 故选：ABC 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 取得最小值时， D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；代入点，计算出值，可判断B；利用三角函数求出取得最小值时的，可判断C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D. 【详解】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得， 又由图象知，将点 代入中得：  ，即 ， 解得 ， 又因为 ，所以 ，故选项 B 错误； 因为函数 ， 令 ，即 ， 解得 ，故选项 C 正确； 将图象向左平移  个单位，得 ， ，图象不关于原点对称，故选项 D 错误. 故选：AC 11. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】因为正实数m、n， 所以， 当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确； 由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确； 因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误； ，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】令，解得，再根据解析式求解即可. 【详解】因为，故令，解得， 所以 故答案为： 14. 已知，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数式和对数式化简得到，结合换底公式和指数，对数运算法则得到答案. 【详解】因为，，所以， 故. 故答案为：3 四、解答题 15. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将所求式子分子分母同时除以化弦为切即可求解； （2）分子分母同时除以化弦为切即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. （1） 化简: （2） 求值: （3） 求值: 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. （3）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式 . 17. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求函数的解析式及其单调递减区间； （2）求在上的最大值与最小值． 【答案】（1），； （2）最大值与最小值分别为. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件，求出即得的解析式，再利用正弦函数单调性求出递减区间. （2）求出相位范围，再利用正弦函数的性质求出最值. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得，解得， 由，得，解得，所以函数的解析式为； 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 18. 随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． （1）请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； （2）为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 【答案】（1）， （2）投资13栋民宿时获得利润最大，最大利润为130万元 【解析】 【分析】（1）根据利润与成本关系是利用分段函数写出表达式即可； （2）利用二次函数性质以及基本不等式计算可得利润最大化时的民宿栋数. 【详解】（1）由题意可得， 当时， 当时， 所以； （2）当时， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为70， 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为130>70，所以当时，的最大值为130， 所以投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $