四川南充高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

南充高中高2025级高一下学期期中考试 数学试题 (命、审题人：陈勇唐树民郭又珲陈昀李思健) (时间：120分钟总分：150分) 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦 干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.下列各角中，与15°角终边相同的是() B. 13m 25π 35m A. C. D. 12 12 12 12 2.已知向量a=(1,2),b=(3,m,若a/b,则m=（） 3 A. B.0 C.4 D.6 sin 元+asin(r-o） 3.化简表达式 结果为（) 公 cos a cos(π+ 2 A.-1 B.1 C.-tana D.tan a 4.已知，b,c均为单位向量.若a=b+c,则3与c的夹角大小为() 下 B. C. 2π 5π D. 3 6 5.将函数f(x)=sin π 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的}倍，再向右平移元个单位， 6 12 得到的图象与下列哪一个函数图像相同() A.y=sin 2.x- 4 B.y=sin 2x- 3 71 C.y=sin π 5π D.y=sin 24 6.在口ABCD中，E是线段AC上的靠近C的三等分点，则BE=（) A. -14B+2AD 3 B.B24 3 3 c.- D. AD 3 3 高2025级数学试题第1页，共4页 7.设a=}s5°- 1 sin5°，b= -c0s48° 2tan13° ，C 则有() 2 2 2 1-tan213° A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 8.己知A,B分别是x,y轴正半轴上的两个动点，且AB=1,如图，以AB为边构造正方形ABCD,分 别过点C,D向x轴作垂线，垂足依次为E,F,当点A由(I,0)向左运动到原点的过程中，四边形CEFD 周长取得最大值时，点A的坐标为( A B .0 2 √10 3V10 C. D 10 10,0 OA E F 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知4，b,c均为非零向量.则下列结论一定正确的是() A.若a=b,则a= B.若a=6,则同- C.若ac=bc,则a=b D.若a=6,则(a.b)c=a(ic) 10.已知函数f(x)=tan(x+p) 。>0习的部分图象如图所示点40-同)，（名0在fy 的图象上.下列说法正确的是() A.∫(x)的最小正周期是 2 5π B.∫(x)的一个对称中心是 20 C.f(x)在区间 62 单调递增 D.f(田)的图象可以由g(y)=tan2x的图象向左平移无个单位长度得到 3 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为平面内一点，下列说法正确的有() A.若O为△ABC的垂心，AB·AC=2,则AO·AB=2 B.若0为△ABC的重心，AB=2,AC=3,则AOBC=-5 3 C.若0为△4BC的外心，AB=2,4C=3,则40.BC= 6 D.若O为△ABC的内心，AB=AC=2,BC=3,AO=mAB+nBC(,n∈R),则+n= > 高2025级数学试题第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知sin a+ -3,<a< 6=5'39 6 ,则cosa= 13. 已知向量a=(x,1),b=(1,-2),若a+b,a-b在a上的投影向量相等，则x= 14. 已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2+c2=4ab,则 f(C)=cos4C-sin4C+2V3 sinCcosC的值域为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边过点P(3,4 (l)求sino,tan的值： 3π sin(2π+o)+sin 2 -0 (2)求 的值， c0s(3π-)+c0s 2 +a 16.已知向量a,方满足a-(V5,1,固=1，且a与i的夹角为 (1)求ab: (2)若2ā+b与ā-2乃的夹角为锐角，求实数2的取值范围. 17.己知函数f(x)=2 sinxcosx+2√3cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间及对称轴： (2)当[景引时，求面数)的值该 高2025级数学试题第3页，共4页 18.记直线1与△ABC的边AB,AC交于P,Q两点，且AP=xAB,(x>0),AQ=yAC,(y>0) )若原-C,=y有 BQ与AF交于点M, (i)请用向量AB,AC表示AF: (i)若AM=24证，求2的值： (2)若直线PQ恒过△ABC的重心G,试求x+4y的最小值. A M Q B 第(1)问 第(2)问 19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德.费马(1601一1665)于1643年提出的平面几何极值问题： “已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.费马问题中的所求点称 为费马点.己知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点.当△ABC的三个内角均小于120°时， 则使得∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°的点M即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120° 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：在△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c. (1)若△ABC是边长为6的正三角形，求该三角形的费马点M到各顶点的距离之和； (2)若asin A+bsinC=bsinB+csinC,a=3v3,且M是△ABC的费马点 (i)若MA·MB+MB.MC+MC.MA+9=0,求bc; (i)在(i)的条件下，设f()=16-n:4+(MA+MB+MC,若当teL,2]时，不等式f()≥0 恒成立，求实数n的取值范围. 高2025级数学试题第4页，共4页南充高中高2025级高一下学期期中考试 数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 题号 4 5 6 8 9 10 11 答案 B B D AB ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 3-4V5 13.2 14.（-1,1) 10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解(1)由题意角a的终边过点P(3,4),则x=3,y=4,r=V32+42=5 …2分 根据任意角三角函数的定义可得sin&='_4 …4分 r5 tana==4 …6分 (2)由诱导公式得 3π sin(2π+a)+sin -) 2 sina-cosa ……10分 cos(3x-a)+cos(+a) -cosa-sina 2 tana-1 1 …13分 -1-tan a 7 16.解)由题意得同=5)+1=2 …2分 故a6=a5cos=2x1x1 …5分 (2)因为2a+b与a-b的夹角为锐角，所以(2a+b)(a-b)>0, …7分 即2a2-2ā.b+a.b-b2=2×4-21+1-1=9-31>0,解得元<3.…10分 二，得到=- 又若2a+万与ā-乃共线，则21 此时2+万=2（ā+】），两向量夹角为0，不满足题意 13分 综上，入的取值范围是 …15分 高2025级数学试题参考答案第1页，共4页 17.解D/闭=2r+50+os2)-2n2+写}5，-3分 因为正弦通数y=m的减区间为2+2交+2a]keZ, 令=2+则+2m≤2x+≤经+2，ke乙 31 解得+≤x≤+km(k∈Z). 12 所以)的单调区间为+吾+]e …6分 正弦函数y=sinu的对称轴为u=C+km(keZ), 令2+香子+，解符x音+停ke2 十 所以X的对称轴为x兀+(kZ.9分 122 所以如（}m2x+引}s子即-9m2+引}s1 …12分 所以/()=2sin2x+写+5e[0,2+5] 即函数f(x)的值域为0,2+V5: …15分 18.解(1)(i)因为BF=4FC,所以BF=4BC 则Af=AB+BF=B+4BC-AB+4(AC-AB=AB+4AC5分 ()因为BF=4c.x=y=写所以PO/Bc,A0-兮4C, 由()知AF=B+4AC 5 5 所以AM=AF=AB+4AC=24B+122A0 …8分 5 5 5 因为B,M,Q三点共线，所以 ，122=1 …10分 55 5 所以九= …11分 13 高2025级数学试题参考答案第2页，共4页 (2)因直线PQ恒过△ABC的重心G,连接AG并延长交BC于点D,则D为BC的中点 所以G-号0-号+40-（+0 …12分 因为AP=xAB,(x>0),A0=yAC0>0),所以4AG=AP+,140 3x 3y 因为P,G,0三点共线，所以+=1(x>0,y>0) …14分 3x 3y 所以x+4y=(x+4)x1=(K+4)x5(2+ 3x y 1s+4±2五（5+2 4y×x)=3 x y 3 Vx y 当且仅当 x V ,即时，等号成立………一 故x+4y的最小值为3 ........... …17分 19.解：(1)因为△ABC是边长为6的正三角形，所以三个内角均小于120°， 故费马点M在三角形内且与正三角形的中心重合， 所以∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°，且MB=MC=MA…Y ……2分 如图：过M作MD⊥BC于D,则BD=3,∠MBD=30°， 故MB= BD =25 c0s30° D 所以该三角形的费马点M到各顶点的距离之和为MA+MB+MC=6√3.…5分 (2)因为asin A+-bsinC=bsin B+csinC,由正弦定理a b =2R得 sinA sinB sinC a2+bc=b2+c2,b2+c2-a2=bc 由余弦定理得c0s4=+c心d-c=),因为4e(0,,所以4= ……7分 2bc 2bc 2 3 所以△ABC的三个内角都小于120° (i)由费马点定义知费马点M在三角形内，且∠AMB=∠BMC=∠CMA=120 设MA=x,MB=y,MC=z,x>0,y>0,z>0,所以 高2025级数学试题参考答案第3页，共4页 i+sc+-+9=（e(》e（》+9=0 即y+yz+xz=18 …9分 由Sae+Sac+5a=5e得：5+5z5+5-×c6n7 2+222+2222 5y 整理得y+z+xz=bc,故bc=18 ..... …11分 (ii)由(i)知xy+z+xz=18① 在△ABC中，由余弦定理，b2+C2-2bCc0s60°=27，即b2+c2=45②…12分 c2=x2+y2-2xycos1200 分别在△AMB,△BMC,△CMA中，由余弦定理， a2=y2+z2-2yzc0s120°， b2=z2+x2-2zxc0s120° 将三个等式左右分别相加可得：b2+c2+27=2(x2+y2+z2)+y+yz+zx, 将①，②代入整理得，x2+y2+z2=27, …14分 于是(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(y+yz+zx)=63, M+MB+MC=(x+y+)2=63 ……15分 从而f)=16-:4+(MA+M+MC=16-n:4+63, 依题意，当t∈[1,2]时，不等式16-n:4+63≥0恒成立， 即n≤4+ 在2业恒碳立， …16分 因4+24 63 4 =-6万，当且仅当4=3W7∈[4,16)时等号成立， 故有n≤67，即实数n的取值范围为(-∞，6万] …17分 高2025级数学试题参考答案第4页，共4页 部分题目解析 8. 设∠0AB=00<0< 因为正方形ABCD的边长AB=1 所以OA=cos0=DF=EF,OB=sin0,CE=sin0+cosO 四边形CEFD周长为L=CE+EF+DF+CD=sin0+3cos0+1=V10sin(0+)+1 其中cos中= V10 31o 10 A 当sin(0+)=1时周长最大.此时0+中=2kπ+ (keZ) 则OA=cos0=cos =sind= 3V10 10 A E F 310 故点A的坐标为 10 11.对于A选项，因为AC=A0+OC,AB.AC=2,又因为0为△ABC的垂心， 所以AB.0C=0,所以AB·AC=AB.(A0+0C)=AB·A0+AB.0C=AB.A0=2, 故A正确； 对于B选项，因为0为△4BC的重心，4A0=名x(aB+AC=(aB+AC),可得 3 A0.8c=5(aB+A0(4c-A)=4C-B）=（-2)）= 所以B不正确： 对于C选项，因为O为△ABC的外心，设AB的中点为M,则OM垂直平分AB, 所以A0.B=540cos∠01B=,同理40.AC=4d 所以40.Bc=Ao(4c-48)=4o.4c-4AoB=4d”-hB）=32-2) 所以C正确： 对于D选项，如图所示，O为△ABC的内心，连接AO,BO,CO,延长AO交BC于D, 因为AB=AC,则点D为BC的中点，且AD⊥BC, 因为B=4C=2,BC=3,可得AD=AB-BD=万 2 由三角形内心知识，可得2×(4B+4C+BC-OD=2BCAD, 高2025级数学试题参考答案第5页，共4页 即e+200-号e月o0-普0-29。 所u0-号0-号6+号4c-号46+引a6+8C)-号6+号8c. 4 4 因为AO=mAB+nBC,所以m+n三7+与=7，所以D正确； 故选ACD a2+b2>c2 14.因为△ABC为锐角三角形，所以了c2+b2>a2 a2+c2>b2 [a2+b2>4ab-a2-b2 又+6+e2=4b,政4-d-+b>d,化简可0台行UL2) a2+4ab-a2-b2>b2 由余统定理有osC-+-心_d+6-(4ab-a-b）_b+8-2 2ab 2ab a b 则esC=+g-2-1+2在 上单调递减，在(1,2)上单调递增， a b 、或t=2时，cosC= 又cosC=t+-2≥2-2=0，当且仅当t=1时取等号 所以eosc0》因为ce(0小，所以<C< (C)CC+iCoCinC2sinC 白2c+8(7g海sm2c+}2》 所以9)-2sn2+e(-1） 即f(C)=cos4C-sin4C+2W3 sinCcosC的值域为(-l,1) 高2025级数学试题参考答案第6页，共4页