2026年 山东省聊城市阳谷县第三实验中学九年级5月份学业水平检测 数学试卷

**基本信息** 涵盖代数、几何、统计与概率，以榫卯文化、轮船航行等真实情境为载体，通过分层设计考查空间观念、推理能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数、科学记数法、三视图等|第3题榫卯构件主视图，融合传统文化考查空间观念| |填空题|5/15|因式分解、平方根、旋转规律等|第15题坐标系旋转规律，体现抽象能力与创新意识| |解答题|8/75|圆的切线证明、二次函数、几何探究等|21题圆与几何综合，23题二次函数与线段交点，考查推理能力与模型观念|

2026年山东省聊城市阳谷县第三实验中学九年级5月份学业水平检测 数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）下列各数中，比小的数是 A. B. C. D. 2.（3分）据统计，年末安徽省常住人口为万人，其中万用科学记数法表示为 A. B. C. D. 3.（3分）榫卯是指在木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，各构件之间通过榫卯连接在一起，构成富有弹性而结实的建筑框架．图所示就是一组榫卯构件，若将②号构件按图所示方式摆放，则该构件的主视图是 A. B. C. D. 4.（3分）实数，，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 A. B. C. D. 5.（3分）小华将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为 A. B. C. D. 6.（3分）用、、三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是 A. B. C. D. 7.（3分）如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则的大小为     A. B. C. D. 8.（3分）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ； ； ③方程有两个相等的实数根； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤当时，有其中正确个数是 A. B. C. D. 9.（3分）如图，在中，，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心大于的长为半径画弧两弧交于点，若则的度数是 A. B. C. D. 10.（3分）如图，菱形的边长为，边上的高，垂直于的直线从点出发，  以的速度向右移动到点停止若直线的移动时间为，直线扫过菱形  的面积为，则下列能反映关于函数关系的大致图象是 A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11.（3分）分解因式：__________ 12.（3分）如果，则的平方根是______． 13.（3分）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 14.（3分）如图，将矩形纸片折叠，使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为 ______ . 15.（3分）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标为__________．    三 、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.（8分）计算： 先化简，再求值：，其中． 17.（6分）如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使等于的一半保留作图痕迹，不要求写作法 18.（8分）如图，一次函数和反比例函数分别交于点，．  求反比例函数和一次函数的函数表达式；  连接、，求的面积；  根据图象直接写出不等式的解集． 19.（10分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛在它的北偏东方向，此时轮船与小岛相距，继续航行到达点处，测得小岛在它的西北方向，求此时轮船与小岛的距离和轮船航行的距离结果保留小数点后一位  参考数据：，，，取 20.（9分）某校以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目每位同学仅选一项，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图：  学生选择最喜爱的体育项目统计表 运动项目 频数人数 频率 篮球 羽毛球 乒乓球 跳绳 其它项目 请根据以上图表信息解答下列问题：  统计表中的______，______；  在扇形统计图中，“篮球”所在扇形的圆心角为______度；  该学校共有名学生，据此估计有多少名学生最喜爱乒乓球？  将名最喜爱篮球的学生和名最喜爱羽毛球的学生编为一组，从中随机抽取两人，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的两人都选择了最喜爱篮球的概率． 21.（12分）如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．  求证：是的切线；  若，，求的半径． 22.（12分）如图，已知：在中，点为的中点，且  求的度数；  点为上一点，连接并延长至，连接，过作于，当在线段上时，若，探究与之间的数量关系，并加以证明；  如图，在的条件下，在上取点，连接，使得，将线段沿着折叠并延长交于点，当：：，时，求的长.  23.（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，点  求二次函数的表达式和顶点坐标.  点在该二次函数图象上，当时，求的值.  已知，，若将该二次函数的图象向上平移个单位后与线段有交点，请结合图象，直接写出的取值范围. 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1.【答案】C; 2.【答案】C; 3.【答案】B; 4.【答案】B; 5.【答案】D; 6.【答案】A; 7.【答案】C; 8.【答案】C; 9.【答案】B; 10.【答案】C; 11.【答案】 12.【答案】±1; 13.【答案】．; 14.【答案】4+2; 15.【答案】; 16.【答案】解：原式． 原式    ．  当时，原式．; 17.【答案】解：如图所示，①分别以、为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点、；  ②连接，交于点；  所作点即为所求；    由作图可知，是线段的垂直平分线，    18.【答案】解：点与点在反比例函数图象上，  ，即反比例函数的解析式为．  当时，，即，  点与点在一次函数图象上，  ，  解得：，  一次函数解析式为；  对于，当时，，  ，  ；  由图象可得，当或时，．; 19.【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：  则∠CDA=∠CDB=90°，  由题意得：∠CAD=37°，∠CBD=45°，AC=25nmile，  在Rt△ADC中，sin∠CAD=，cos∠CAD=，  ∴CD=sin37°×AC≈0.60×25=15（nmile），AD=cos37°×AC≈0.8×25=20（nmile），  ∵∠CBD=45°，  ∴△BDC是等腰直角三角形，  ∴CD=BD，BC=CD≈1.414×15≈21.2（nmile），  ∴AB=AD+BD=AD+CD≈20+15=35（nmile），  答：此时轮船与小岛的距离BC约为21.2nmile，轮船航行的距离AB约为35nmile．; 20.【答案】解：人，  人，  ，  故答案为：，；    在扇形统计图中，“篮球”所在的扇形的圆心角的度数为：；  故答案为：；    根据题意得：  人，  答：估计有名学生最喜爱乒乓球；    名爱篮球的学生用和表示，名喜爱羽毛球的学生用、表示，根据题意画树状图如下：    由图可知总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人都选择篮球的结果有种，所以抽取的两人都选择了最喜爱篮球的概率是  21.【答案】解：（1）如图，连接OD、CD，    ∵AC为⊙O的直径，  ∴△BCD是直角三角形，  ∵E为BC的中点，  ∴BE=CE=DE，  ∴∠CDE=∠DCE，  ∵OD=OC，  ∴∠ODC=∠OCD，  ∵∠ACB=90°，  ∴∠OCD+∠DCE=90°，  ∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，  ∴DE是⊙O的切线；    （2）设⊙O的半径为r，  ∵∠ODF=90°，  ∴OD2+DF2=OF2，即+42=（r+2）2，  解得：r=3，  ∴⊙O的半径为3．; 22.【答案】（1）∵AD⊥BC，D为BC中点，  ∴AB=AC，  ∴∠C=∠B，  ∵∠BAC=2∠B，∠B+∠BAC+∠C=180°，  ∴∠B+2∠B+∠B=180°，  ∴∠B=45°；  （2）∠F=2∠FDC，  理由如下：  在DH上取一点N使HN=HF，    ∵CH⊥DF，HN=HF，  ∴CN=CF，  ∴∠F=∠CNF，  ∵DH=CF+HF，DH=DN+HN，  ∴CF=DN，  ∵CN=CF，CF=DN，  ∴CN=DN，  ∴∠FDC=∠NCD，  ∵∠CNF=∠FDC+∠NCD，  ∴∠F=2∠FDC；  （3）连接PB，  ∵BD=CD，AD⊥BC，  ∴PB=PC，  ∴∠2=∠BPD，  ∴∠BPD=∠F，  设PC与DF交于K，过点C作CM⊥EG于M，    由（2）知∠F=2∠FDC，设∠FDC=α，则∠F=2α，  ∵∠BPD=∠F，  ∴∠BPD=2α，  ∵AD⊥BC，D为BC中点，  ∴BP=CP，∠PCD=∠PBD，  ∵∠BPD=2α，  ∴∠PCD=∠PBD=90°-2α，  ∴∠PKD=∠PCD+∠FDC=90°-α，  ∵AD⊥BC，  ∴∠ADF=90°-∠FDC=90°-α，  ∴∠PKD=∠ADF，  ∴PK=PD，  由EF沿着EC折叠可知∠FEC=∠GEC，  ∴CM=CH，  由（1）知∠ABC=45°，AD⊥BC，  ∴∠BAD=45°，  ∵∠BAC=2∠ABC，  ∴∠DAC=45°，  ∴∠AED=45°+α，  ∴∠FEC=∠CEG=∠AED=45°+α，  ∴∠HEG=90°+2α，  ∵∠DEG=90°-2α，  ∴∠EGC=90°-α，  ∵∠EKC=∠PKD=90°-α，  ∴∠EGC=∠EKC，  又∵∠GMC=∠KHC=90°，  ∴△GMC≌△KHC（AAS），  ∴GC=CK，  由BP：PD=12：5，设BP=12x，PD=5x  ∴GC=CK=CP-PK=BP-PK=12x-5x=7x  ∵GC-PD=3  ∵7x-5x=3  ∴x=1.5  ∴GC=7x=10.5．; 23. 【答案】 ; 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $