精品解析：重庆市铜梁区2025-2026学年下学期九年级指标数学试题

铜梁区26届九下指标 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，在试题卷或草稿纸上直接作答无效； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 下列交通标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察是否有一条直线，使图形沿直线对折后两边能完全重合． 【详解】解：选项：没有对称轴，不是轴对称图形； 选项：没有对称轴，不是轴对称图形； 选项：沿竖直对称轴对折后两边完全重合，是轴对称图形； 选项：没有对称轴，不是轴对称图形； 3. 如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出未知系数，进而得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴代入解析式得， ∴反比例函数的解析式为． 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知两个三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比即可求解． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴，  ∴， 即． 5. 如图，在中，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出 的度数，再利用圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，，  ∴，  ∵与分别是所对的圆周角和圆心角，  ∴． 6. 如图，图①有2个小☆，图②有5个小☆，图③有10个小☆，图④有17个小☆，…，按照这样的规律，则图⑦中☆的个数是（ ） A. 47 B. 50 C. 58 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】观察与比较每个图案，得出第个图案的五角星个数是个，将代入上式，即可解决． 【详解】解：∵第①个图有（个）五角星， 第②个图有（个）五角星， 第③个图有（个）五角星， 第④个图有（个）五角星， …． ∴以此类推，第个图案的五角星个数是个． ∴当时，第⑦个图案的五角星个数是（个）． 7. 估计（+）的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 【详解】解：（）＝4+， ∵2＜＜3， ∴6＜＜7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题的关键． 8. 匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设外框的宽度为 ，根据题意可知，加上外框后，整个矩形的长变为 ，宽变为，利用矩形面积公式（长×宽=总面积）即可列出方程． 【详解】解：∵ 匾额原长为 ，宽为 ，且在四周加宽度为的外框， ∴制成后的总长度为，总宽度为 ， ∵制成后的总面积为， ∴根据矩形面积公式可列方程：． 9. 如图，在边长为的正方形中，是边上一点，是延长线上一点，，连接交于点，过点作于点，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形性质和平行线性质证明，求出的长，进而求出的长，再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】四边形是正方形，边长为， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ，即， ， ， 在中，， ， ， 又（对顶角相等）， ， ， ， ． 10. 已知整式，其中，，…，均为不超过3的自然数，且，n为大于或等于2的整数．若，则下列说法中： ①满足条件的所有整式M中，不存在单项式； ②当时，若，则； ③当时，则满足条件的整式M共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】先根据递推公式推出系数的周期为3，再分别判断三个说法的正误，即可得到结论． 【详解】解：∵ 对任意 ，有 ， ∴ …… 系数序列周期为， 判断①：若 是单项式，则存在唯一使得 ，其余为， ∵ ， ∴ 当时，， 又∵ 不存在满足条件的单项式，①正确． 判断②：当 时， ∴，， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ，②正确． 判断③：当 时，，由 得 ，且 ， 都是不超过 的自然数， 枚举所有可能： 时，，共4种组合； 时，，共3种组合； 时， ，共2种组合； 总共有 种，即满足条件的整式 共 个，③正确． 综上，①②③都正确，正确个数为 ，故选D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 某光伏发电站年设计发电量为230000千瓦时，将数据230000用科学记数法可表示为____ 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为：，其中，为整数． 【详解】，小数点向左移动了位，因此，可得：． 12. 学校某班组织趣味活动，共设计了三个不同的项目，小明与小红分别从这三个项日中随机选一个参加，他们选中同一个项目的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出所有等可能的结果，再找出两人选中同一个项目的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：设三个不同项目分别记为，，， 列出所有等可能的结果如下： 由上表可知，共有种等可能的结果，其中小明与小红选中同一个项目的结果有种， 根据概率公式可得：． 13. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=_________ 【答案】36° 【解析】 【详解】∵l∥CD，正五边形ABCDE， ∴∠1=∠2， ∠BAE=540°÷5=108°， ∴∠1=∠2=180°﹣∠BAE， 即2∠1=180°﹣108°， ∴∠1=36°． 故答案为36°． 14. 若实数，同时满足，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数，绝对值，二元一次方程组的知识，解题的关键是先确定，的取值范围，两式子作差可得：，最后分类讨论，，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 由可得，， 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意； ∴． 15. 如图，在平行四边形中，顶点A，B，D在上，与相切于点B，与相交于点E，连接，与对角线相交于点F．若，．则的半径为_____，的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，利用切线的性质和平行四边形的性质证明，根据垂径定理求出，在中利用勾股定理求出，设半径为，在中利用勾股定理列方程求解；证明，结合公共角证明，利用相似三角形的性质求出，进而求出． 【详解】解：连接并延长交于点，连接 与相切于点 四边形是平行四边形 ，即 四边形是平行四边形 在中，， 设的半径为，则， 在中， 解得 的半径为 连接 与相切于点 ，即 又 四边形是平行四边形 ． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为零，其中满足（，且为整数），则称这个四位自然数为“和方数”．例如四位数1267，因为各个数位上的数字互不相等且均不为零，，故1267是“和方数”．按照这个规定，最大的“和方数”为____；对于“和方数”，若为整数，且，则满足条件的所有M的最大值与最小值的差为____． 【答案】 ①. 9871 ②. 6993 【解析】 【分析】先说明只能取16或，再根据“和方数”的定义，要使“和方数”最大，则a取9，b取8，c取7，再通过枚举求得符合题意的c的值即可解答；先说明，再分和两种情况，分情况讨论a，b，c，d的取值，逐一代入验证确定最大值和最小值，最后作差即可解答． 【详解】解：∵数字和的最小值为 ，最大值为， ∴只能取16或． 要使四位数最大，千位、百位应尽可能大，优先取 9、8、7，剩余两位数字和为，即最大的 “和方数” 为 9871． ∵， ∴， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为零， ∴， ∴， （1）当时，数字和为，则， ∴，且a、b、d互不相等、不为 0，也不等于 5． 又∵为整数， ∴当时，是整数符合题意； 经验证：时都不是整数，不符合题意； 当时，是整数符合题意； ①当时：，且b、d不为 0、1、5，互不相等． 可能的组合： 当时，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，重复，不合题意； ②当时，，且b、d不为 0、5、8，互不相等． 可能的组合： 当时，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 在情况（1）中，最小的数是1258，最大数； 情况（2）：当时，数字和为，则， ∴，且a、b、d互不相等、不为 0，也不等于6． 又∵为整数， 经验证：，时都不是整数，不符合题意； 综上，最小的数是1258，最大数，差值为． 三、解答题（本大题9个小题，17题、18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形一（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】4和5 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为4和5． 18. 小梁学习平行四边形后，进行了拓展性探究．他发现对于一般的平行四边形，一组对角的平分线与边相交，能形成新的平行四边形．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，小梁在平行四边形上已作出的平分线交于点E，请你利用尺规作图，作的平分线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在平行四边形中，平分，平分 求证：四边形为平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ，①______________， 平分，平分， ，②______________， ． ， ③______________， ． ∴④______________， 又， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④ 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的判定即可解答． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， 平分，平分， ，， ． ， ， ． ∴， 又， ∴四边形为平行四边形． 19. 为了宣传“国家安全、人人有责”，学校组织了国家安全知识竞赛活动，并从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（成绩用x表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级20名学生的测评成绩：70，74，76，79，81，82，87，87，87，90，90，94，95，96，97，98，98，99，100，100． 九年级20名学生测评成绩在C组的是：83，84，86，87，89，89． 年级 平均数 中位数 众数 方差 八 89 90 b 83 九 89 a 92 81.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，_____，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若成绩不低于90分为优秀，该校八年级有500名学生、九年级有600名学生，请估计该校八、九年级学生成绩达到优秀的人数共有多少？ 【答案】（1）88，87，40 （2）九年级学生的知识测评成绩更好，两个年级的平均数相同，九年级的众数高于八年级，方差小于八年级 （3）515人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、众数、方差的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：根据扇形图可知，九年级测评成绩在A、B的人数为（人）， 又20名学生测评成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 根据数据，八年级20名学生的测评成绩中，87出现次数最多， 所以众数， 九年级20名学生测评成绩在D组的人数是， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：九年级学生的知识测评成绩更好， 因为两个年级的平均数相同，九年级的众数高于八年级，方差小于八年级， 故九年级的学生测评成绩更好． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识测评成绩达到优秀的共有515人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对第二个括号里的式子通分合并，再进行分式乘法运算，然后合并同类项化简，再计算的大小，把的值代入化简的结果即可得到答案． 【详解】解： 原式           ． 21. 列方程（组）解决下列问题： 自2025年“渝超”在重庆举办以来，广大民众对足球的关注度越来越高，同时足球用品销售日渐火爆．某商场购进并销售A，B两款足球，已知该商场在10月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3800元；11月份购进30个A款足球和60个B款足球，一共花费8400元．已知两次购进的足球价格一致． （1）求A，B两款足球的进价分别为多少元？ （2）12月份，该商场决定再购进一批A，B款足球，由于前两个月销量良好，两款足球进价均上涨了相同的金额，用2700元购进A款足球的数量是用4950元购进B款足球数量的，求两款足球进价的上涨金额． 【答案】（1）A款足球的进价为80元，B款足球的进价为100元． （2）两款足球进价的上涨金额为10元． 【解析】 【分析】（1）设A，B两款足球的进价为未知数，根据两次进货的总花费列出二元一次方程组，求解得到两款足球的进价； （2）设上涨金额为未知数，根据购进两种足球的数量关系列出分式方程，检验后得到上涨金额 【小问1详解】 解：设A款足球的进价为x元，B款足球的进价为y元. 根据题意得 解得 答：A款足球的进价为80元，B款足球的进价为100元； 【小问2详解】 解：设两款足球进价的上涨金额为m元. 涨价后A款足球进价为元，B款足球进价为元. 根据题意得 ： ， 整理得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际题意， 答：两款足球进价的上涨金额为10元． 22. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，P为线段上一点（点P不与点A，C重合），连接，点P，Q关于点O成中心对称．设，点P，Q之间的距离为，与之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的值（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）图见解析，当时，随的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况求出的函数关系式，根据同高三角形的面积比等于底边比求出的函数关系式即可； （2）描点法画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）直接根据图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的对角线，相交于点O，， ∴， ∵点P，Q关于点O成中心对称， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 由题意，； 【小问2详解】 解：，， 画图如下： 由图可知：当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图可知，当时，或． 23. 如图，这是某小区的平面图，点O是小童家的位置，点C是小区快递驿站．从家出发去取快递，有两条路线，路线一：从点O出发，沿正东方向走到点D，然后沿南偏西方向走200米到达点C：路线二：从点O出发，沿正南方向走到点A后，又向正东方向走到点B，再沿北偏东方向走200米到达点C（参考数据：，，．） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小童和妈妈分别沿路线一、路线二匀速步行到点C取快递，速度分别为米/秒和1米/秒．若米，请通过计算说明他们谁先到达快递驿站？ 【答案】（1）米 （2）小童的妈妈先到达快递驿站 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，解可求出的长；过点B作于点F，过点C作于点G，则四边形和四边形都是矩形，可得米；再解求出的长即可得到答案； （2）解直角三角形求出的长，求出两条路线的总长度，进而求出两条路线花费的时间，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于点E， ∴， 由题意得米，， 在中，米； 如图所示，过点B作于点F，过点C作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴米； 在中，米， ∴米， 答：的长度约为293米； 【小问2详解】 解： 在中，米， 在中，米， 由矩形的性质可得米，米 ∴路线一的总长度为米， ∴路线一花费的时间为秒 ∵路线二的长度为米， ∴路线二花费的时间为秒， ∵， ∴小童的妈妈先到达快递驿站． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点Q，，，F是直线上方抛物线上一动点，连接交于点G，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； （3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点C，点C的对应点是H，新抛物线上有一点M，连接，当满足时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为， 的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先推导出，，解得，，即可解答； （2）先求出，，得到是等腰直角三角形，，推导出直线的解析式为，设点的坐标为，得到，则当时，取得最大值，得到点的坐标为，作点E关于直线的对称点，连接，推导出当、、三点共线，且点在线段上时，取得最大值，则的最大值为，即可解答； （3）先推导出新抛物线的解析式为，，证明出，求出直线的解析式为，，分类讨论：① 当点在直线的下方时，② 当点在直线的上方时， 逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点， ，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， ， 令，得， 解得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为，将、代入得： 解得 直线的解析式为， 设点的坐标为， ，点在直线上， 点的坐标为， ， 当时，取得最大值，此时： 点的坐标为， 作点E关于直线的对称点，连接，如图， ∵，，，点E关于直线的对称点， ∴点在x轴上，且，， ∴，， 由，得 当、、三点共线，且点在线段上时，取得最大值，如图 即的最大值为的长度， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：如图 在直线上，点向左移动1个单位长度，横坐标减少1，纵坐标就增加1． ∴抛物线沿直线向左平移时： 向左平移t个单位，对应的横坐标减t，纵坐标加t， 抛物线沿直线向左平移个单位，得到新抛物线的解析式为， 把代入解析式，得 解得（原抛物线，舍去），， ∴新抛物线的解析式为， ，即， ，轴，， ，， ， ， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 解得 直线的解析式为， 联立，解得， ， ， ， ① 当点在直线的下方时，如图 延长交直线于点，设， ， ， 即， 解得， ∵ ， 即 解得或， 当时，， ， 此时，不符合题意， ∴不符合题意，舍去； 当时，， ， 此时，符合题意； 同理可求出直线的解析式为， 联立，得 解得（舍去），， 将代入，得 ， ∴， ② 当点在直线的上方时，如图 延长，交于点， ， 即， 解得， 即， 同理可求出直线的解析式为， 联立，得 解得（舍去），， 当时， ， 综上所述，或． 25. 如图，在中，，是斜边上的中线，，垂足为点F，E是延长线上一点，． （1）如图，若，求的大小（用含的代数式表示）； （2）如图，若M是的中点，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图，若，P是直线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转到，当线段取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1），见详解 （2），见详解 （3），见详解 【解析】 【分析】（1）先利用斜边中线的性质表示，然后在中利用“等边对等角”即可求解； （2）首先通过测量可以猜想出，利用“截长补短”，同时结合中点，构造全等三角形即可； （3）通过取特殊点猜想点Q的运动轨迹，进而确定出取得最小值时的位置以及对应的线段、角度等，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：，证明： 如图1，延长到，使． 是中点， ． 在和中， ， ，． 是中点， ． 由(1)可知垂直平分， ， ， ． 由三角形内角和定理可知 ， ， ． 由邻补角的性质，得 ． 在和中， ， ． ， ； 【小问3详解】 解：，思路提示： 如图2，在直线上再取一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于M，N，则易知，为等腰直角三角形． ∴，， ∴，即， ∴，∴． 在和中，， ∴， 因此点在与直线的夹角为的直线l上运动． 如图3，点P、点F重合时对应的点Q的位置，为直线l与直线的交点N，易知此时 直线l恰好经过点B． 如图4，由垂线段最短可知，当时，取得最小值． 过点Q作于点L，由条件易知，，均为等腰直角三角形．由 易知 和 均为等边三角形． 设 ，则易得 ，． 在 和 中 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形、（等腰）直角三角形、全等、相似等知识．解题的关键是掌握解决动态问题的一般方法；熟悉常见的最值模型，如瓜豆问题等；能够根据已知条件构造恰当的辅助线，如证明线段和差倍积时辅助线的作法等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜梁区26届九下指标 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，在试题卷或草稿纸上直接作答无效； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 下列交通标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，图①有2个小☆，图②有5个小☆，图③有10个小☆，图④有17个小☆，…，按照这样的规律，则图⑦中☆的个数是（ ） A. 47 B. 50 C. 58 D. 65 7. 估计（+）的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为的正方形中，是边上一点，是延长线上一点，，连接交于点，过点作于点，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 已知整式，其中，，…，均为不超过3的自然数，且，n为大于或等于2的整数．若，则下列说法中： ①满足条件的所有整式M中，不存在单项式； ②当时，若，则； ③当时，则满足条件的整式M共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 某光伏发电站年设计发电量为230000千瓦时，将数据230000用科学记数法可表示为____ 12. 学校某班组织趣味活动，共设计了三个不同的项目，小明与小红分别从这三个项日中随机选一个参加，他们选中同一个项目的概率是_____． 13. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=_________ 14. 若实数，同时满足，，则的值为____． 15. 如图，在平行四边形中，顶点A，B，D在上，与相切于点B，与相交于点E，连接，与对角线相交于点F．若，．则的半径为_____，的长为_____． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为零，其中满足（，且为整数），则称这个四位自然数为“和方数”．例如四位数1267，因为各个数位上的数字互不相等且均不为零，，故1267是“和方数”．按照这个规定，最大的“和方数”为____；对于“和方数”，若为整数，且，则满足条件的所有M的最大值与最小值的差为____． 三、解答题（本大题9个小题，17题、18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形一（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 小梁学习平行四边形后，进行了拓展性探究．他发现对于一般的平行四边形，一组对角的平分线与边相交，能形成新的平行四边形．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，小梁在平行四边形上已作出的平分线交于点E，请你利用尺规作图，作的平分线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在平行四边形中，平分，平分 求证：四边形为平行四边形． 证明： ∵四边形是平行四边形， ，①______________， 平分，平分， ，②______________， ． ， ③______________， ． ∴④______________， 又， ∴四边形为平行四边形． 19. 为了宣传“国家安全、人人有责”，学校组织了国家安全知识竞赛活动，并从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（成绩用x表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级20名学生的测评成绩：70，74，76，79，81，82，87，87，87，90，90，94，95，96，97，98，98，99，100，100． 九年级20名学生测评成绩在C组的是：83，84，86，87，89，89． 年级 平均数 中位数 众数 方差 八 89 90 b 83 九 89 a 92 81.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，_____，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若成绩不低于90分为优秀，该校八年级有500名学生、九年级有600名学生，请估计该校八、九年级学生成绩达到优秀的人数共有多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程（组）解决下列问题： 自2025年“渝超”在重庆举办以来，广大民众对足球的关注度越来越高，同时足球用品销售日渐火爆．某商场购进并销售A，B两款足球，已知该商场在10月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3800元；11月份购进30个A款足球和60个B款足球，一共花费8400元．已知两次购进的足球价格一致． （1）求A，B两款足球的进价分别为多少元？ （2）12月份，该商场决定再购进一批A，B款足球，由于前两个月销量良好，两款足球进价均上涨了相同的金额，用2700元购进A款足球的数量是用4950元购进B款足球数量的，求两款足球进价的上涨金额． 22. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，P为线段上一点（点P不与点A，C重合），连接，点P，Q关于点O成中心对称．设，点P，Q之间的距离为，与之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的值（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，这是某小区的平面图，点O是小童家的位置，点C是小区快递驿站．从家出发去取快递，有两条路线，路线一：从点O出发，沿正东方向走到点D，然后沿南偏西方向走200米到达点C：路线二：从点O出发，沿正南方向走到点A后，又向正东方向走到点B，再沿北偏东方向走200米到达点C（参考数据：，，．） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小童和妈妈分别沿路线一、路线二匀速步行到点C取快递，速度分别为米/秒和1米/秒．若米，请通过计算说明他们谁先到达快递驿站？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点Q，，，F是直线上方抛物线上一动点，连接交于点G，当取得最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； （3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点C，点C的对应点是H，新抛物线上有一点M，连接，当满足时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25. 如图，在中，，是斜边上的中线，，垂足为点F，E是延长线上一点，． （1）如图，若，求的大小（用含的代数式表示）； （2）如图，若M是的中点，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图，若，P是直线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转到，当线段取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $