精品解析：重庆市璧山区2026年度九年级指标到校数学试题

重庆璧山初2026届25－26学年度初三（下）指标到校 数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为，的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全班学生的视力情况 B. 了解某批次汽车的防撞能力 C. 了解某市6月的空气质量情况 D. 了解某批次火锅底料的质量 4. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有11个圆点……按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（ ） A. 35 B. 29 C. 23 D. 20 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为边上一点，连接．将沿直线翻折至正方形所在平面内，得．连接并延长交的延长线于点．若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，当时，整式的值为4，当时，整式的值为2．下列说法： ①满足条件的所有整式中，单项式有且仅有2个： ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次二项式（各项系数均为非零）中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，将它们混在一起，随机抽取一张，则抽到写有数字3的卡片的概率为_____． 12. 如图，直线，，被直线所截，若，则的度数为_____． 13. 若为正整数，且满足，则__________． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 15. 如图，是等腰的外接圆，，以为边作平行四边形，垂足为，点在线段上（不含端点），，垂足为，是内一点，连接，满足．连接，交于点，交于点．若，且．则的长度为_____． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“老己数”．例如：四位数6259，因为，所以6259是“老己数”．按照这个规定，最小的“老己数”是_____；一个“老己数”，将其前两位数字与后两位数字交换位置，得到一个新数，记．若与均是整数，则满足条件的的值是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，17－18每小题8分，19－25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了角平分线和尺规作图后，小璧进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线．小璧在的边上任取一点，并作了的垂直平分线（如图），垂足为．请你利用尺规作图，在边上截取，作的垂直平分线与小璧所作的垂直平分线交于点，垂足为，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：分别是的垂直平分线， ． ①_____ ． 在Rt和中， ． ③___________ 平分． 19. 某校组织了人工智能知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：；．）．下面给出了部分信息：七年级20名学生的成绩是：62，63，76，77，79，81，82，82，83，86，86，88，89，93，93，93，93，96，98，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，85，85，85，86． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 86 八年级 85 98 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生人工智能知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七年级有400人，八年级有600人参加了本次比赛，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 某农机租赁公司有甲、乙两种耕地机，甲耕地机比乙耕地机每小时少耕地公顷．甲耕地机小时的耕地面积比乙耕地机小时的耕地面积多公顷． （1）求甲、乙耕地机每小时的耕地面积各是多少？ （2）现甲、乙耕地机需分别独立完成公顷的耕地任务．为了按时完成任务，两耕地机每小时的耕地面积都有所增加．乙耕地机每小时增加的耕地面积是甲耕地机每小时增加的耕地面积的倍，两耕地机完成耕地任务一共用了小时．求甲耕地机每小时增加的耕地面积是多少？ 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从出发沿运动，运动速度为每秒个单位长度；动点从出发沿运动，运动速度为每秒个单位长度；当点到达点时，，两点时同时停止运动，设运动时间为秒，点与点的距离为，设四边形的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 某景区建有观光索道，如图，是其中一段索道，支架垂直于水平地面，为了实时监控索道运行状况，在斜坡上安装了一个监控探头，已知斜坡的坡比，从测得点的俯角为，点正下方的地面基准点为，即于点，从测得点的俯角为．（参考数据：） （1）求的长度；（结果保留小数点后一位） （2）检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为，两人准备协同操作悬挂安全警示牌．他们随身携带高精度激光测距仪，可实时监测彼此的直线距离．根据作业规范，当测距仪显示两人之间的直线距离恰好为时，视为进入“关键作业区”，此时甲、乙需协同操作悬挂警示牌，求此时检修员乙走过的路程？（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交射线于点，点为抛物线对称轴上的动点，连接．当取得最大值时，求此时点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点为平面内不与点重合的任意一点，以为直角边，按，，顺时针方向作等腰直角，满足，，连接． （1）如图1，若点在线段上，，，求线段的长； （2）如图2，取的中点，连接，．猜想与有什么关系？并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，若，点在平面内始终保持，连接，过点作，垂足为，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆璧山初2026届25－26学年度初三（下）指标到校 数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为，的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 5的倒数是( ) A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的意义可直接进行求解． 【详解】解：5的倒数是； 故选A． 【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形； B．不是中心对称图形； C．不是中心对称图形； D．是中心对称图形． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全班学生的视力情况 B. 了解某批次汽车的防撞能力 C. 了解某市6月的空气质量情况 D. 了解某批次火锅底料的质量 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断对应调查方式即可，普查适用于范围小，易操作，无破坏性的调查． 【详解】解：A选项中，调查全班学生的视力，范围小，易操作，无破坏性，适合普查，符合题意； B选项中，测试汽车防撞能力具有破坏性，不适合普查； C选项中，调查某市空气质量范围大，不适合普查； D选项中，检测火锅底料质量具有破坏性且范围较大，不适合普查． 4. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 5. 按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有11个圆点……按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（ ） A. 35 B. 29 C. 23 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】找到图中圆点的个数变化规律：后一个图中圆点个数比前一个图形的圆点多3，进而可求解． 【详解】解：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， ……， ∴第⑦个图中有个圆点， 故选项C符合题意． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于反比例函数，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，只需计算各选项点的横纵坐标乘积，判断是否等于本题的即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数图象上的点满足， 验证选项： 选项A：，不满足条件； 选项B：，满足条件； 选项C：，不满足条件； 选项D：，不满足条件． 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先比较的指数大小，指数更小的数更小，指数相同时再比较乘号前的系数大小，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴和都小于和， 又∵， ∴， ∴四个数中最小的是，即选项A符合题意． 8. 某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设月平均增长率为x，根据增长规律列出方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到答案． 【详解】解：设该公司文创产品收入的月平均增长率为 ∵1月收入为20万元，经过两个月增长后，3月收入为28.8万元 ∴列方程得 两边同除以20，得 ∵增长率为正数， ∴ 开方得 解得 因此选B符合题意． 9. 如图，在正方形中，为边上一点，连接．将沿直线翻折至正方形所在平面内，得．连接并延长交的延长线于点．若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于M点，于N点，利用勾股定理求得，证明出和均为等腰直角三角形，设，则，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作于M点，于N点， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，即：， 解得：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，即， 解得， ∴． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，当时，整式的值为4，当时，整式的值为2．下列说法： ①满足条件的所有整式中，单项式有且仅有2个： ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次二项式（各项系数均为非零）中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据和时整式的值，先求出奇次项系数和与偶次项系数和，再结合整式概念分类讨论，逐个判断三个说法即可． 【详解】解：首先，当时， ， 设奇次项系数和为，偶次项系数和为， 可得， 当时， ， 联立解得 ， ． 判断①：若是单项式，则只有1个非零项，因此 或 ，与 矛盾，满足条件的单项式个数为0，故①错误； 判断②：当时，奇次项只有，故 ，偶次项满足，其中为正整数，为自然数，可得所有可能的组合为 ， 对应的整式为，，， 求和得： ，故②正确； 判断③：二次二项式有2个非零项，最高次数为2，分情况讨论： 若两个项为和，则，得， 即， 当时，M取最小值 ， 故整式不是恒非负； 若两个项为和，则，得 ，不满足条件，舍去， 因此满足条件的恒非负整式共有0个，故③错误； 综上，正确的说法个数为1． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，将它们混在一起，随机抽取一张，则抽到写有数字3的卡片的概率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：5张分别写着1，2，3，4，5的看上去无差别的卡片中，随机抽取一张，则抽到写有数字3的卡片的概率为． 12. 如图，直线，，被直线所截，若，则的度数为_____． 【答案】##130度 【解析】 【分析】利用平行线的性质和邻补角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 13. 若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：计算 ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为6． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 而， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当（即时）方程变形为， 解得：， 此时； ②当（即）时， 方程可变形为：， 解得， 此方程无解； ∴． 15. 如图，是等腰的外接圆，，以为边作平行四边形，垂足为，点在线段上（不含端点），，垂足为，是内一点，连接，满足．连接，交于点，交于点．若，且．则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，解直角三角形求出，，再解直角三角形得出，，从而得出，，根据，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∵， ∴，， ∴在中，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“老己数”．例如：四位数6259，因为，所以6259是“老己数”．按照这个规定，最小的“老己数”是_____；一个“老己数”，将其前两位数字与后两位数字交换位置，得到一个新数，记．若与均是整数，则满足条件的的值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出，，再写出正整数的最小值，进而可得的值，由此即可得最小的“老己数”；先根据，求出（用含的式子表示），再求出与，结合它们均是整数求解即可． 【详解】解：∵一个四位数是“老己数”， ∴，均为正整数，且， ∴，， ∴，， 解得，， ∴，， ∴要使这个“老己数”最小，则，此时， ∴最小的“老己数”是． 由题意得：， 则，， ∴，， 解得，， ∴，， ∴ ， 同理可得：， ∵， ∴， ， ∴ ， ， ∵是整数， ∴能被7整除， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的值可以为，，，， ∴或或或或或或或或， ①当时，，，不是整数，舍去； ②当时，，，符合题意， 则， ∴； ③当时，，，不是整数，舍去； ④当时，，，不是整数，舍去； ⑤当时，，，不是整数，舍去； ⑥当时，，，不是整数，舍去； ⑦当时，，，不是整数，舍去； ⑧当时，，，不是整数，舍去； ⑨当时，，，不是整数，舍去； 综上，满足条件的的值是． 三、解答题：（本大题共9个小题，17－18每小题8分，19－25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，，0，1，2 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，得到它们的公共部分即为该不等式组的解集，进而可得所有整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， 故该不等式组的整数解为，，0，1，2 18. 学习了角平分线和尺规作图后，小璧进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线．小璧在的边上任取一点，并作了的垂直平分线（如图），垂足为．请你利用尺规作图，在边上截取，作的垂直平分线与小璧所作的垂直平分线交于点，垂足为，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：分别是的垂直平分线， ． ①_____ ． 在Rt和中， ． ③___________ 平分． 【答案】图见解析；①；；③ 【解析】 【分析】根据垂线的作法作的垂直平分线，根据直角三角形全等的判定方法，全等三角形的性质，结合已知过程证明即可． 【详解】解：作图如下： 证明：分别是的垂直平分线， ． ①， ． 在Rt和中， ． ③， 平分． 19. 某校组织了人工智能知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：；．）．下面给出了部分信息：七年级20名学生的成绩是：62，63，76，77，79，81，82，82，83，86，86，88，89，93，93，93，93，96，98，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，85，85，85，86． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 86 八年级 85 98 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生人工智能知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七年级有400人，八年级有600人参加了本次比赛，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）七年级的成绩更好，理由见解析 （3）估计两个年级参加该活动的成绩不低于90分的共有人． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可得出的值，再求出八年级20名学生竞赛成绩，组所占百分比为，用1减去三组的百分比即可得到的值； （2）利用中位数作判断即可（答案不唯一）； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：七年级成绩的众数； 八年级20名学生竞赛成绩，组占，则组人数为（人）；组数据是80，85，85，85，86共5人． 将八年级成绩从大到小排列，、两组共（人），且， 由中位数是第10和11个数据的平均数，这两个数据在组， 组数据从大到小排序后为，第10个是85，第11个是85， 则， 八年级20名学生竞赛成绩，组占， 则，即； 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数比八年级高，故七年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级参加该活动的成绩不低于90分的共有人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ， 原式 ． 21. 列方程解下列问题： 某农机租赁公司有甲、乙两种耕地机，甲耕地机比乙耕地机每小时少耕地公顷．甲耕地机小时的耕地面积比乙耕地机小时的耕地面积多公顷． （1）求甲、乙耕地机每小时的耕地面积各是多少？ （2）现甲、乙耕地机需分别独立完成公顷的耕地任务．为了按时完成任务，两耕地机每小时的耕地面积都有所增加．乙耕地机每小时增加的耕地面积是甲耕地机每小时增加的耕地面积的倍，两耕地机完成耕地任务一共用了小时．求甲耕地机每小时增加的耕地面积是多少？ 【答案】（1） 甲耕地机每小时耕地公顷，乙耕地机每小时耕地公顷 （2） 甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设甲每小时耕地面积公顷，则乙耕地机每小时耕地公顷，列出方程，即可； （2）甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷，则乙耕地机每小时增加的耕地面积是公顷， 提速后甲每小时耕地公顷，乙每小时耕地公顷，列出分式方程，解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设甲每小时耕地面积公顷， ∴乙耕地机每小时耕地公顷， 由题意列方程得： ， 解得：， ∴乙耕地机每小时耕地公顷， 答：甲每小时耕地面积公顷，乙耕地机每小时耕地公顷． 【小问2详解】 解：设甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷， ∴乙耕地机每小时增加的耕地面积是公顷， ∴提速后甲每小时耕地公顷，乙每小时耕地公顷， 列方程为：  ， 整理得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：甲耕地机每小时增加的耕地面积是公顷． 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从出发沿运动，运动速度为每秒个单位长度；动点从出发沿运动，运动速度为每秒个单位长度；当点到达点时，，两点时同时停止运动，设运动时间为秒，点与点的距离为，设四边形的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）函数图像见解析；当时，​随增大而减小，当时，​随增大而增大；当时，​​随增大而减小（答案不唯一，合理即可） （3） 【解析】 【分析】（1）先分相遇前、相遇后两种情况用线段差求距离得​，再分别计算梯形和两个三角形面积代入公式得，同时确定自变量取值范围即可； （2）先描出两个函数的关键点，再依次连接画出折线和曲线，最后从函数增减性写出一条函数性质即可； （3）先求两个函数交点横坐标，结合函数图象即可得到时的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：，，，因此， 点与点的距离需分两种情况讨论： ①当在左侧（未相遇）：，即， 解得， 此时， ②当在右侧（相遇后）：，即， 解得， 此时 到达点的时间为秒，故自变量的取值范围是， 综上： ； ， ， 如图，过作于点， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：画图象： 列表： 描点，连线，如图： 画图象： 列表： 描点，连线，如上图， 由图可知，当时，​随增大而减小，当时，​随增大而增大；当时，​​随增大而减小； 【小问3详解】 解：先求两个函数交点横坐标， 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， 由图像可知，在右侧交点（即）右侧，图象位于图象上方， ∴时的取值范围为． 【点睛】本题解题关键是抓住动点相遇的临界时刻，分两段推导两点间距离的表达式，再结合几何面积公式得到反比例函数，最终通过数形结合，利用函数图像交点直观确定不等式的解集，充分体现了几何问题代数化、代数问题图形化的转化思想． 23. 某景区建有观光索道，如图，是其中一段索道，支架垂直于水平地面，为了实时监控索道运行状况，在斜坡上安装了一个监控探头，已知斜坡的坡比，从测得点的俯角为，点正下方的地面基准点为，即于点，从测得点的俯角为．（参考数据：） （1）求的长度；（结果保留小数点后一位） （2）检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为，两人准备协同操作悬挂安全警示牌．他们随身携带高精度激光测距仪，可实时监测彼此的直线距离．根据作业规范，当测距仪显示两人之间的直线距离恰好为时，视为进入“关键作业区”，此时甲、乙需协同操作悬挂警示牌，求此时检修员乙走过的路程？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由斜坡的坡比，得到，则，过作于，即可得到，再根据，解得，最后根据求解即可； （2）先证明是等边三角形，得到，，设进入“关键作业区”时，甲在处，乙在处，则，过作于，由速度关系设，则，即可求出，，接着根据中，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵斜坡的坡比， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 设进入“关键作业区”时，甲在处，乙在处，则，过作于 ∵检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴检修员乙走过的路程． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交射线于点，点为抛物线对称轴上的动点，连接．当取得最大值时，求此时点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），周长的最小值为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可求得，根据正切定义可得，则，代入求得c值即可解答； （2）先求得直线的表达式为，设，则，，利用坐标与图形性质可得，利用二次函数的性质可得当时，取得最大值，此时；如图，作点P关于对称轴对称的点，连接交对称轴于点D，则点的坐标为，，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求得即可得到周长的最小值； （3）先求得平移后的抛物线的表达式为，，设，分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况，结合坐标与图形性质和正切定义求解即可． 【小问1详解】 解：对于，对称轴为直线，，， 由题意，对称轴，， ∴，， ∴，代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 【小问2详解】 解：由（1）知，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，此时； ∵抛物线的对称轴为直线，，∴， ∴， 如图，作点P关于对称轴对称的点，连接交对称轴于点D， 则点的坐标为，，此时最小，最小值为的长， ∵， ∵周长为， ∴周长的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，相当于将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线， ∴，， 设， 当点N在x轴上方时， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，则， 整理，得， 解得，此时点N坐标为； 当点N在x轴下方时，同理轴， ∴， 整理，得， 解得，，此时点N坐标为或， 综上，满足条件的点N的坐标为或或． 25. 在中，，，点为平面内不与点重合的任意一点，以为直角边，按，，顺时针方向作等腰直角，满足，，连接． （1）如图1，若点在线段上，，，求线段的长； （2）如图2，取的中点，连接，．猜想与有什么关系？并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，若，点在平面内始终保持，连接，过点作，垂足为，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和线段的和差求得和的长度，再利用勾股定理求解即可． （2）通过倍长，使得，证得，可得对应角相等和对应边相等，利用对应角相等推导出、、之间的位置关系，进而倒角，再证明，利用全等的性质可得是等腰直角三角形，最后利用三线合一的性质可得与的大小关系和位置关系． （3）先判断出点D的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆上，过点作，将转化为，通过在上截取一点P，使得，构造，再次将转化为，当取得最小值时，即是当A、D、P三点共线时，固定点D的位置；然后通过得到三边的比例关系，利用比例设，，则，通过三边关系建立方程，求得x的值，代入，，最终求得比值． 【小问1详解】 解：，， 且， ， 又，， ，， 在中，， ． 【小问2详解】 延长至点G，使得，连接，，，延长，与反向延长线交于点H， 为中点 ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 且 ，． 【小问3详解】 过点作，在上截取一点P，使得，连接． 由（2）可得，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 当A、D、P三点共线时，取得最小值， ， ， ， 且，， ， 设，，则 在中，，，， ， 解得（舍负）， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质、三点共线以及四边形内角和，也涉及到一元二次方程的求解，是几何综合题，本题构造三角形相似和全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $