精品解析：重庆市璧山区2026年度九年级指标到校数学试题

学科网函组卷网 重庆璧山初2026届25一26学年度初三（下）指标到校 数学试题 (全卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线y=ar2+bx+ca≠0)的顶点坐标为 b 4ac-b2 2a’4a 对称轴为r=- 2a 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号 为A,B,C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应 的方框涂黑. 1.5的倒数是() A.5 B.-5 c 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”，进行求解即 可 1 【详解】解：由倒数的定义得，5的倒数是 故选：C 2.下列图案中，是中心对称图形的是( 【答案】D 【解析】 【详解】解：A.不是中心对称图形； B.不是中心对称图形： 第1页/共33页 可学科网可组卷网 C.不是中心对称图形； D.是中心对称图形. 3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是() A.了解全班学生的视力情况 B.了解某批次汽车的防撞能力 C.了解某市6月的空气质量情况 D.了解某批次火锅底料的质量 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断对应调查方式即可，普查适用于范围小，易操作， 无破坏性的调查。 【详解】解：A选项中，调查全班学生的视力，范围小，易操作，无破坏性，适合普查，符合题意： B选项中，测试汽车防撞能力具有破坏性，不适合普查； C选项中，调查某市空气质量范围大，不适合普查； D选项中，检测火锅底料质量具有破坏性且范围较大，不适合普查， 4.如图，点A,B,C在⊙O上，若∠BAC=40°，则∠BOC的度数为() C A.50° B.80° C.100° D.140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求解即可. 【详解】解：，∠BAC=40°， ∴.∠BOC=2∠BAC=80°. 5.按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有11个圆点… 按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是() ① ② A.35 B.29 C.23 D.20 第2页/共33页 可学科网 组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】找到图中圆点的个数变化规律：后一个图中圆点个数比前一个图形的圆点多3，进而可求解， 【详解】解：第①个图中有5=3×1+2个圆点， 第②个图中有8=3×2+2个圆点， 第③个图中有11=3×3+2个圆点， …1 .第⑦个图中有3×7+2=23个圆点， 故选项C符合题意. 18 6.反比例函数y=- 的图象一定经过的点是() A.(3,6 B.（-3,6 C.（-2,-9 D.-9,-2 【答案】B 【解析】 【分析】对于反比例函数y-,图象上任意点的横纵坐标乘积等于K,只需计算各迷项点的横纵坐标乘积， 判断是否等于本题的k即可。 【详解】解：：反比例函数解析式为y=-18 函数图象上的点x,y)满足y=-18, 验证选项： 选项A:3×6=18≠-18，不满足条件； 选项B:-3)×6=-18,满足条件； 选项C:-2)×-9)=18≠-18，不满足条件： 选项D:-9)×-2)=18≠-18，不满足条件. 7.下列四个数中，最小的是() A.6.13×10 B.6.23×106 C.6.13×10 D.6.23×107 【答案】A 【解析】 【分析】先比较10的指数大小，指数更小的数更小，指数相同时再比较乘号前的系数大小，即可得到结果. 第3页/共33页 学科网组卷网 【详解】解：：6<7， 6.13×106和6.23×106都小于6.13×107和6.23×107， 又6.13<6.23， 6.13×106<6.23×106, :四个数中最小的是6.13×106，即选项A符合题意。 8.某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该 公司文创产品收入的月平均增长率为() A.8.8% B.20% C.25% D.44% 【答案】B 【解析】 【分析】设月平均增长率为x,根据增长规律列出方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。 【详解】解：设该公司文创产品收入的月平均增长率为x :1月收入为20万元，经过两个月增长后，3月收入为28.8万元 ·.列方程得20(1+x)2=28.8 两边同除以20，得(1+x)2=1.44 :增长率为正数， 1+x>0 开方得1+x=1.2 解得x=0.2=20% 因此选B符合题意. 9.如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE,将ADE沿直线AE翻折至正方形ABCD所 在平面内，得△AEF.连接BF并延长交AE的延长线于点G.若AB=3DE=6,则线段BG的长度为 () D G 第4页/共33页 耐学科网 命组卷网 A.120 B.12V5 C.18v10 D1&V5 5 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】作AM⊥BG于M点，EN⊥BG于N点，利用勾股定理求得AE=2W10,证明出△AMG和 △ENG均为等腰直角三角形，设GN=EN=x,则EG=√2x,然后利用相似三角形的判定与性质求解 即可. 【详解】解：如图所示，作AM⊥BG于M点，EN⊥BG于N点， G A F B C ,四边形ABCD为正方形， .AD=AB=6,DE=2,∠BAD=90°， ·AE=V22+62=20, 由翻折的性质可知，AD=AF=6,EF=DE=2,∠DAE=∠EAF, .AB=AF=6, :AM⊥BF, ∴.BF=2BM=2FM,∠BAM=∠FAM, :∠GAM=∠GAF+∠MAF=∠BAD=45°， 2 ,∠AMG=90°， ∴.∠G=∠GAM=45°， ∴.△AMG是等腰直角三角形， ∴.AM=GM, .EN⊥BG, .∴.∠ENG=90°， ∴.∠G=∠GEN=45°， ∴.△ENG是等腰直角三角形， 第5页/共33页 耐学科网 可组卷网 .GN=EN, 设GN=EN=x,则EG=√2x, ,∠AFE=∠D=90°， ∴.∠AFM+∠EFN=90°， :∠MAF+∠AFM=90°， .∠MAF=∠NFE, ∴.△MAF∽ANFE, FN-EN EF 1 AM MF AF3' ∴.AM=3FN,MF=3x=BM, ,AM=GM,即：3FN=3x+FN+x, 解得：FN=2x, ∴.AM=6x=GM, ,△AMG是等腰直角三角形， ∴.AG=V2AM,即2V10+V2x=√2×6x, 25 解得x= 5 BG=9r=18V5 10.已知整式M:anx"+an-x-+…+a,x+a,其中n,an,,a为自然数，an为正整数，当x=1时， 整式的值为4，当x=-1时，整式的值为2.下列说法： ①满足条件的所有整式M中，单项式有且仅有2个： ②当n=2时，满足条件的所有整式M的和为6x2+3x+3; ③满足条件的所有二次二项式（各项系数均为非零）中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共 有2个 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 第6页/共33页 西学科网组卷网 【分析】根据x=1和x=一1时整式M的值，先求出奇次项系数和与偶次项系数和，再结合整式概念分类 讨论，逐个判断三个说法即可 【详解】解：首先，当x=1时，M(1=an+an-1+.+a=4, 设奇次项系数和为S奇，偶次项系数和为S偶， 可得S奇+S偶=4①， 当x=-1时，M(-1)=-S奇+S层=2②， 联立①②解得S奇=1，S偶=3. 判断①：若M是单项式，则只有1个非零项，因此S奇=0或S偶=0，与S奇=1，S偶=3矛盾，满足条 件的单项式个数为0，故①错误； 判断②：当n=2时，奇次项只有ax,故S奇=a=1,偶次项满足a+a2=3,其中42为正整数，a为 自然数，可得所有可能的组合为a2,a)=(1,2),2,1),3,0), 对应的整式为x2+x+2,2x2+x+1,3x2+x, 求和得：(1+2+3x2+(1+1+1x+(2+1+0)=6x2+3x+3,故②正确： 判断③：二次二项式有2个非零项，最高次数为2，分情况讨论： 若两个项为a,x2和ax,则a=0,得a1=1,a2=3, w=4=+ 当x= 石时，M取最小值- 12 故整式M=3x2+x不是恒非负： 若两个项为a2x2和a,则4=0，得S奇=41=0≠1，不满足条件，舍去， 因此满足条件的恒非负整式共有0个，故③错误； 综上，正确的说法个数为1. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上. 11.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1,2,3,4,5，将它们混在一起，随机抽取一张，则抽到 第7页/共33页 耐学科网 命组卷网 写有数字3的卡片的概率为 【答案】 1 【解析】 【详解】解：5张分别写着1,2,3,4,5的看上去无差别的卡片中，随机抽取一张，则抽到写有数字3的 卡片的概率为亏 12.如图，直线a∥b,a,b被直线C所截，若∠1=50°，则∠2的度数为· 【答案】130°#130度 【解析】 【分析】利用平行线的性质和邻补角性质求解即可. 【详解】解：如图， .a∥b,∠1=50°， .∠3=∠1=50°， .∠2=180°-∠3=180°-50°=130° 13.若n为正整数，且满足n<√37<n+1,则n= 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算√37的范围即可. 【详解】解：计算62=36,72=49. .36<37<49, 6<37<7, 第8页/共33页 耐学科网 丽组卷网 .n=6. 故答案为6. 14.若实数x,y同时满足x+1+y=-2,x+y=5,则xy的值为· 【答案】-4 【解析】 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可. 【详解】解：x+1+y=-2, ∴.x+1=-2-y 而x+1≥0， .-2-y20, y≤-2， .y=-y, 又x+y=5, .x-y=5, .y=x-5, x+1+y=-2, .x+1川+(x-5)=-2, .x+1=3-x, ①当x+1≥0（即x≥-1时）方程变形为x+1=3-x, 解得：x=1, 此时y=x-5=1-5=-4: ②当x+1<0(即x<-1)时， 方程可变形为：-x-1=3-x, 解得-1=3， 此方程无解： 第9页/共33页 可学科网可组卷网 .xy=1×(-4)=-4. 15.如图，⊙O是等腰ABC的外接圆，AB=AC,以BC为边作平行四边形ABCD,AE⊥BC,垂足 为E,点F在线段AC上（不含端点），FG⊥AE,垂足为G,P是ABC内一点，连接FP,满足 FG+FP=}BC,∠CFP=∠ACB.连接DP,交OO于点Q,交AC于点M.若AB=5,BC=6,且 DP⊥AC.则DP的长度为 D B 【答案】 20 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AE=VAC-CE=4,解直角三角形求出AM=18,DM=24, ,再解直 5 5 角三角形得出FP=PM,FM=3PM,从而得出AF=18_3PM,FG=3-PM,根据 4 54 4 as4G=ow<408-有C-3 4 3 AF18 PM5,求出PM=2 ,最后得出答案即可 20 5 【详解】解：AB=AC=5,BC=6,AE⊥BC, ∴BE=CE=，BC=3,∠AEC=∠AEB=90°， 2 ∴AE=VAC2-CE2=4, CE3'sin∠ACB=AE、4 tan∠ACB=AE。4 AC=5’cos∠ACB=CE-3 AC5 ,四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC=6,AD∥BC, ∴.∠CAD=∠ACB, ,DP⊥AC, .∴.∠AMD=∠FMP=90°， 318 .在Rt△ADM中，AM=AD×cos∠CAD=6×cos∠ACB=6× 55 第10页/共33页 学科网组卷网 424 DM=AD×sin∠CAD=6×sin∠ACB=6x-= 55 ,∠CFP=∠ACB, tan∠CFP=tan∠ACB=年，sin∠CFP=sin∠ACB= 3 5 sin /CFPPM FM=PM 在RtAPFM中，FP=PM PM 5 PM 3 tan∠CFp=4=PM 4 5 FG+FP=IBC-3.AM=1 51 .4F-AM-FM-15-PM FG-3-FP-3-5PM 541 4 ,FG⊥AE, ∴.∠AGF=90°， .∠AGF=∠AEC, .FG∥BC, ∴.∠AFG=∠ACB, 3 .cOS∠AFG=cos∠ACB= 5 G 3-PM 4 3 PM 5' ”AF-183 54 21 解得：PM= 20 24,21117 ∴.DP=DM+PM= 5+20=20 16.我们规定：一个四位数M=abcd,若满足a+c=b+d=11,则称这个四位数为“老己数”.例如： 四位数6259，因为6+5=2+9=11，所以6259是“老己数”.按照这个规定，最小的“老己数”是 ;一个“老己数”M=abcd,将其前两位数字与后两位数字交换位置，得到一个新数M'=cdab,记 FM)=M-M'M)=M,若3F（M+G与G均是黎数，则满足条件的L 7 13 的值是 【答案】 ①.2299②.3784 【解析】 【分析】求出2≤a≤10,2≤b≤10，再写出正整数a,b的最小值，进而可得c,d的值，由此即可得最小 第11页/共33页 学科网丽组卷网 的“老己数”；先根据c=11-a,d=11-b求出M,M'(用含a,b的式子表示)，再求出 3FM)+GM与2GM)-5F(M ,结合它们均是整数求解即可. 13 【详解】解：：一个四位数M=abcd是“老己数”， .a+c=b+d=11,a,b,c,d均为正整数，且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,0≤d≤9， .c=11-a,d=11-b, .0≤11-a≤9,0≤11-b≤9， 解得2≤a≤11,2≤b≤11， ∴.2≤a≤9,2≤b≤9， .要使这个“老己数”M最小，则a=2,b=2,此时c=d=11-2=9, .最小的“老己数”是2299. 由题意得：a+c=b+d=11,1≤a≤9,0≤b≤9,1≤c≤9,0≤d≤9 则c=11-a,d=11-b, .1≤11-a≤9,0≤11-b≤9， 解得2≤a≤10,2≤b≤11， ∴.2≤a≤9,2≤b≤9， ∴.M=abcd =1000a+100b+10c+d =1000a+100b+1011-a+11-b =990a+99b+121, 同理可得：M'=cdab=12100-990a-99b, .G) 11 ∴.FM= 90a+99b+121-1210-990a-96=20a+2b-121, 99 G(M)=990a+996+121=90a+96+11, 11 .3F(M)+G(M)_3(20a+2b-121+90a+9b+11 7 第12页/共33页 可学科网可组卷网 =150a+15b-352 -721a+2b-50+30+b-2 7 =21a+2b-50+3a+b-2 7 2G(M-5F(M2(90a+9b+11)-5(20a+2b-121）80a+8b+627 13 13 13 ~3FM)+G(M是整数， 7 .3a+b-2能被7整除， 又：2≤a≤9,2≤b≤9， .6≤3a≤27,0≤b-2≤7， .6≤3a+b-2≤34， .3a+b-2的值可以为7,14,21,28， a=2a=3.a=4a=5.a=6a=7a=7a=8a=9 6=36=7或6=46=8政6=56=2或6=96=6或6=3 或 合，MGM1.2wM不.装 7 13 13 .M40M-9 ②当 2G(M-5FM=71,符合题意， > 13 则c=11-3=8,d=11-7=4, .M=3784; ③当 a=4 时， b=41 3FM+GM-4.2GM-5FM_979,不是整数，舍去： 13 13 83M:q0-4 ④当 2G(M）-5FM_1091 ,不是整数，舍去； 7 3 13 ⑤当 g,3为w6M-9. 2GM-5F(M1147 不是整数，舍去： 13 13 .M6w-104. 2GM-5FM120 ⑥当 个 13 13 ,不是整数，舍去 第13页/共33页 可学科网命组卷网 a=7 ⑦当 b9时， 3F(M+GM=19, 2G(M-5F(M_125 ,不是整数，舍去： 7 13 13 ⑧当 a=8 3F(M)+G(M) 时， =134, 2GM-5FM01315 ,不是整数，舍去； b=6 7 13 13 [a=9 ⑨当 2GM-5FM1371 。时， 3F(M+GM=149, 1b=31 不是整数，舍去； 13 13 综上，满足条件的M的值是3784 三、解答题：（本大题共9个小题，17一18每小题8分，19一25每小题10分，共86分）解 答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答 过程书写在答题中对应的位置上 2x-4<3x-1① 17.求不等式组： 2x+2≥3x-1@ 的所有整数解. 3 22 【答案】-2，-1,0,1,2 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，得到它们的公共部分即为该不等式组的解集，进而可得所有整数解， 【详解】解：解不等式①，得x>-3, 解不等式②，得x≤2， ∴.该不等式组的解集为-3<x≤2， 故该不等式组的整数解为-2，-1,0,1,2 18.学习了角平分线和尺规作图后，小璧进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同 伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： A M B 第一步：构造角平分线.小璧在∠AOB的边OA上任取一点E,并作了OE的垂直平分线（如图），垂足 为M·请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE,作OF的垂直平分线与小璧所作的垂直平分线交 于点P,垂足为N,作射线OP,OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹） 第14页/共33页 西学科网丽组卷网 第二步：利用三角形全等证明她的猜想 证明：MP,NP分别是OE,OF的垂直平分线， :L0MP=L0NP=90,0M=0E,0N=0F. ① ..OM =ON. 在RtAOMP和Rt△ONP中， ② OM=ON .RtOMP≌RtAONP(HL). ∴.③ .OP平分∠AOB 【答案】图见解析；①0E=0F;②OP=OP;③∠MOP=∠NOP 【解析】 【分析】根据垂线的作法作OF的垂直平分线，根据直角三角形全等的判定方法，全等三角形的性质，结 合已知过程证明即可. 【详解】解：作图如下： E F B 证明：：MP,NP分别是OE,OF的垂直平分线， ∴∠0MP=∠0NP=90,0M=,0E,0N=0F. .①0E=0F, ..OM=ON. 在RtAOMP和Rt△ONP中， 第15页/共33页 命学科网丽组卷网 ②OP=OP OM =ON ∴.RtAOMP≌RtAONP(HL. ∴.③∠MOP=∠NOP, .OP平分∠AOB 19.某校组织了人工智能知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为 整数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100： B.80≤x<90.C.70≤x<80;D.60≤x<70).下面给出了部分信息：七年级20名学生的成绩是：62,63 ,76,77,79,81,82,82,83,86,86,88,89,93,93,93,93,96,98,100. 八年级20名学生的成绩在B组中的数据是：80,85,85,85,86. 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 86 0 八年级 85 b 98 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 C D 20% m% B 1 40% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a=,b=一，m=_； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生人工智能知识竞赛成绩较好？请说明理由（写 出一条理由即可)： (3)己知该校七年级有400人，八年级有600人参加了本次比赛，请估计两个年级参加该活动的成绩不低 于90分的共有多少人？ 【答案】(1)93,85,15 (2)七年级的成绩更好，理由见解析 第16页/共33页 而学科网组卷网 (3)估计两个年级参加该活动的成绩不低于90分的共有380人. 【解析】 【分析】(1)根据众数、中位数的定义即可得出α，b的值，再求出八年级20名学生竞赛成绩，B组所占百 分比为25%，用1减去A,B,C三组的百分比即可得到m的值； (2)利用中位数作判断即可（答案不唯一)； (3)总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可. 【小问1详解】 解：七年级成绩的众数a=93; 八年级20名学生竞赛成绩，A组占40%，则A组人数为20×40%=8（人）；B组数据是80,85,85,85 ,86共5人. 将八年级成绩从大到小排列，A、B两组共8+5=13（人），且8<10， 由中位数是第10和11个数据的平均数，这两个数据在B组， B组数据从大到小排序后为86,85,85,85,80，第10个是85，第11个是85， 则6=85+85=85， 2 八年级20名学生竞赛成绩，B组占 5x100%=25%, 2 则m%=1-40%-25%-20%=15%,即m=15; 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数比八年级高，故七年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：400×7+600×40%=380（人， 20 答：估计两个年级参加该活动的成绩不低于90分的共有380人。 20易tsm:12-小-a2x-4中-写-r 11 【答案】 2x+15 【解析】 第17页/共33页 可学科网丽组卷网 【详解】解：原式=2x2+x-2x-1-2x2+3x+ 4x(x+1）.x-2x-1 (2x+1)2x(2x+1 =2x-1+ 4xx+12x+1)x (2x+1)2-(x+1 =2x-1- 4x2 2x+1 =（2x-10(2x+1）-4x2 2x+1 1 2x+1 -1=3-1=2, 1 原式=一 2×2+1 1 5 21.列方程解下列问题： 某农机租赁公司有甲、乙两种耕地机，甲耕地机比乙耕地机每小时少耕地0.3公顷，甲耕地机4小时的耕地 面积比乙耕地机2小时的耕地面积多0.4公顷， (1)求甲、乙耕地机每小时的耕地面积各是多少？ (2)现甲、乙耕地机需分别独立完成8公顷的耕地任务.为了按时完成任务，两耕地机每小时的耕地面积 都有所增加.乙耕地机每小时增加的耕地面积是甲耕地机每小时增加的耕地面积的1.6倍，两耕地机完成耕 地任务一共用了20小时.求甲耕地机每小时增加的耕地面积是多少？ 【答案】(1) 甲耕地机每小时耕地0.5公顷，乙耕地机每小时耕地0.8公顷 (2) 甲耕地机每小时增加的耕地面积是0.15公顷 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程， 进行解答，即可. (1)设甲每小时耕地面积x公顷，则乙耕地机每小时耕地(x+0.3)公顷，列出方程，即可； 第18页/共33页 可学科网可组卷网 (2)甲耕地机每小时增加的耕地面积是α公顷，则乙耕地机每小时增加的耕地面积是1.6α公顷，提速后 甲每小时耕地(0.5+a)公顷，乙每小时耕地(0.8+1.6)公顷，列出分式方程，解方程并检验即可. 【小问1详解】 解：设甲每小时耕地面积x公顷， 乙耕地机每小时耕地(x+0.3)公顷， 由题意列方程得：4x=2(x+0.3)+0.4, 解得：x=0.5, ∴乙耕地机每小时耕地0.5+0.3=0.8公顷， 答：甲每小时耕地面积0.5公顷，乙耕地机每小时耕地0.8公顷. 【小问2详解】 解：设甲耕地机每小时增加的耕地面积是a公顷， ∴.乙耕地机每小时增加的耕地面积是1.6a公顷， ∴.提速后甲每小时耕地(0.5+a)公顷，乙每小时耕地(0.8+1.6a)公顷， 8 8 列方程为： =20, 0.5+a0.8+1.6a 8 8 整理得。 =20, .5+a1.6(0.5+a) 解得a=0.15, 经检验，a=0.15是原方程的解，且符合题意 答：甲耕地机每小时增加的耕地面积是0.15公顷. 22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=4,AD=3,BC=6,动点P从B出发 沿B→C运动，运动速度为每秒1个单位长度；动点Q从C出发沿C→B运动，运动速度为每秒2个单位 长度；当点Q到达点B时，P,Q两点时同时停止运动，设运动时间为x秒，点P与点Q的距离为y,设四 边形ABCD的面积为S,△ABP的面积为S,△DC0的面积为S,片=2S,-S 第19页/共33页 学科网组卷网 6 5 D 4 3 2 B P 0 01234567x (1)请直接写出y,y,分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y,y2的图象，并分别写出函数y,y2的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出y>y,时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）. 6-3x(0≤x≤2) 【答案】(1)片= 3x-612<xs:%-0<xs (2)函数图像见解析；当0≤x≤2时，y随x增大而减小，当2<x≤3时，y随x增大而增大；当 0<x≤3时，y,随x增大而减小（答案不唯一，合理即可） (3)2.4<x≤3 【解析】 【分析】(1)先分相遇前、相遇后两种情况用线段差求PQ距离得y,再分别计算梯形和两个三角形面积 代入公式得y2,同时确定自变量取值范围即可； (2)先描出两个函数的关键点，再依次连接画出折线和曲线，最后从函数增减性写出一条函数性质即可； (3)先求两个函数交点横坐标，结合函数图象即可得到>y2时x的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意得：BP=x,CQ=2x,BC=6,因此BQ=BC-CQ=6-2x, 点P与点Q的距离需分两种情况讨论： ①当P在Q左侧（未相遇）：BP≤BQ,即x≤6-2x, 解得x≤2， 此时PQ=BQ-BP=6-2x-x=6-3x, 第20页/共33页 学科网丽组卷网 O ②当P在Q右侧（相遇后）：BP>BQ,即x>6-2x, 解得x>2, 此时PQ=BP-BQ=x-6-2x)=3x-6 Q到达B点的时间为6÷2=3秒，故自变量x的取值范围是0≤x≤3， 综上： 6-3x(0≤x≤2 y,= 3x-6(2<x≤3) S=S直角梯形ABCD (AD+BC)×AB_3+6)×4=18, 2 2 1 1 S=S.4mP=xBPxAB=xxx4=2x, 2 如图，过D作DE⊥BC于点E, D B P O(E) 又，AD‖BC,∠B=90°， .DE=AB=4, 1 COx DE-2xx4-4x. .y2= S 18。=3(0<x≤3)： 2S2-S,2×4x-2xx 【小问2详解】 6-3x(0≤x≤2) 解：画= 图象： 3x-62<x≤3 列表： X 0 3 6 0 3 描点，连线，如图： 第21页/共33页 学科网丽组卷网 S 3 2 …2 01234567x 3 画y2=二(0<x≤3)图象： 列表： X 1 2 ) y2 3 1.5 描点，连线，如上图， 由图可知，当0≤x≤2时，y随x增大而减小，当2<x≤3时，y随x增大而增大：当0<x≤3时，y2 随x增大而减小： 【小问3详解】 解：先求两个函数交点横坐标， 当0≤x≤2时，月=6-3x,为=3。 :6-3x=3,解得x=1, 当2<x≤3时，片=3x-6,2=3 3x-6=3, 解得x=1-√2（不符合题意，舍去），x2=1+√2≈2.4， 由图像可知，在右侧交点（即x≈2.4）右侧，y图象位于y2图象上方， .y>y2时x的取值范围为2.4<x≤3. 【点晴】本题解题关键是抓住动点相遇的临界时刻，分两段推导两点间距离的表达式，再结合几何面积公 式得到反比例函数，最终通过数形结合，利用函数图像交点直观确定不等式的解集，充分体现了几何问题 代数化、代数问题图形化的转化思想. 第22页/共33页 西学科网丽组卷网 23.某景区建有观光索道，如图，AC是其中一段索道，支架AB垂直于水平地面BH,AB=24m,为了实 时监控索道运行状况，在斜坡BC上安装了一个监控探头D,已知斜坡BC的坡比i=1:√3，从A测得点 C的俯角为30，点C正下方的地面基准点为E,即CE⊥BH于点E,从A测得点D的俯角为45°，（参 考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) 30 A 支女45 女30° i1：v3 D B H B H (1)求BD的长度；（结果保留小数点后一位） (2)检修员甲乘坐索道缆车从A沿AC向C匀速巡检，速度为3m/s;同时检修员乙从B处沿斜坡BC步行， 速度为2/s,两人准备协同操作悬挂安全警示牌.他们随身携带高精度激光测距仪，可实时监测彼此的直 线距离.根据作业规范，当测距仪显示两人之间的直线距离恰好为12m时，视为进入“关键作业区”，此 时甲、乙需协同操作悬挂警示牌，求此时检修员乙走过的路程？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)17.5 (2)10.3 【解析】 【分析】(1)由斜坡BC的坡比i=1:√3，得到∠CBE=30°，则∠DBF=60°，过D作DF⊥AB于F ,即可得到DF=AF=V3BF,再根据AB=AF+BF=24m,解得BF=12√3-12，最后根据 BD=2BF求解即可； (2)先证明ABC是等边三角形，得到AB=BC=AC=24,∠ACB=60°，设进入“关键作业区”时， 甲在M处，乙在N处，则MN=12,过N作NG⊥AC于G,由速度关系设BN=2x,则AM=3x, 即可求出NG=12√3-√3x,MG=12-2x,接着根据Rt△MNG中，MG2+NG2=MN2列方程求解 即可. 【小问1详解】 解：由题意得∠CEB=∠ABE=90°，∠DAB=45°，∠CAB=60°， ,斜坡BC的坡比i=1:√3， 第23页/共33页 可学科网 丽组卷网 ∴.tan∠CBE= CE 1 3 BE 33 =tan30°， ∠CBE=30°， .∠DBF=60°， 过D作DF⊥AB于F, 30° A 45° B E :tan∠DBF=tan600=DF :DF=3BF, BD=DF2+BF2=2BF, :tan∠DAF=tan45o=DF AF :DF=AF=3BF, AB AF BF 24m, .3BF+BF=24, 解得BF= 24=125-12, V3+1 BD=2BF=24V3-24≈24×1.73-24≈17.5； 【小问2详解】 解：：∠DBF=∠CAB=60°， “ABC是等边三角形， :AB=BC=AC=24,∠ACB=60°， 设进入“关键作业区”时，甲在M处，乙在N处，则MN=12,过N作NG⊥AC于G 第24页/共33页 可学科网丽组卷网 =1w3 N B E H ,·检修员甲乘坐索道缆车从A沿AC向C匀速巡检，速度为3/s;同时检修员乙从B处沿斜坡BC步行， 速度为2m/s, 4M3 BN 2' 设BN=2x,则AM=3x, .CN=BC-BN =24-2x, '∠ACB=60°，∠CNG=30°， CG-CN-12-x NG-VCN-CG-CG-12-x :MG=AC-AM-CG=24-3x-(12-x=12-2x, :RtAMNG中，MG2+NG2=MN2, (12-22+123-3x=122, 36 解得x=7x=12, :CM=24-3x>0, x<8, 36 ..x=- 7 72 .检修员乙走过的路程BN=2x= ≈10.3. > 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C,抛物线的对称轴是直线x= ),且tan∠ABC= 第25页/共33页 学科网丽组卷网 。E B外无 B X= (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,PE交射线CB于点Q,点 D为抛物线对称轴上的动点，连接PA,PD,AD.当PQ+√2BQ取得最大值时，求此时点P的坐标及 △PAD周长的最小值； (3)在(2)中PQ+√2BQ取得最大值的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移2√2个 单位长度得到抛物线y,点M为点P的对应点，点N是抛物线y上的一动点.若∠NAB=∠PMC,请 直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程， 【答案】(1)y=-x2+3x+4 (2)P(1,6),△PAD周长的最小值为210+3√5 (3)（3,4)或1，-2)或(7，-8) 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的对称轴可求得b=3,根据正切定义可得OB=OC=c,则B(C,0),代入 y=-x2+3x+c求得c值即可解答； (2)先求得直线BC的表达式为y=-x+4,设Pm,-m2+3m+4,则Q(m,-m+4),0<m<4,利 用坐标与图形性质可得PQ+√2BQ=-m-1)+9,利用二次函数的性质可得当m=1时，PQ+√2BQ 取得最大值，此时P1,6;如图，作点P关于对称轴对称的点P,连接AP交对称轴于点D,则点P的 坐标为2,6，PD+AD=PD+AD=AP',此时PD+AD最小，最小值为AP的长，利用两点坐标距 离公式求得AP'=35即可得到△PAD周长的最小值； (3)先求得平移后的抛物线的表达式为y=-x2+7x-8,M(3,4,设Nt,-t+7t-8,分当点N在 第26页/共33页 可学科网可组卷网 x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况，结合坐标与图形性质和正切定义求解即可. 【小问1详解】 y=-x+hx+c,对称轴为直线r三-)，C0,C,0 由题煮，对轴x三二22，an∠ABCC1, OB ..b=3,OB=OC=c, ∴.B(C,0),代入y=-x2+3x+c中，得0=-c2+3c+c, 解得c=4, .抛物线的表达式为y=-x2+3x+4 【小问2详解】 解：由(1)知B(4,0),C(0,4), 设直线BC的表达式为y=kx+n, 4k+n=0 k=-1 则 n=4 ，解得 n=41 ∴.直线BC的表达式为y=-x+4, 设Pm,-m2+3m+4,则Q(m,-m+4,0<m<4, ∴.PQ=-m2+3m+4-（-m+4)=-m2+4m, V2B0=V2×V4-m)2+(-m+4)2=V2×24-m=2(4-m)=8-2m, .PQ+√2BQ=-m2+4m+8-2m=-m2+2m+8=-m-1+9, .-1<0,0<m<4, .当m=1时，PQ+√2BQ取得最大值，此时P(1,6): 靶物线的对称轴为宜袋x-子84,0,4-10， AP=V1+12+62=20, 如图，作点P关于对称轴对称的点P,连接AP交对称轴于点D, 第27页/共33页 可学科网可组卷网 YA B外末 则点P的坐标为2,6)，PD+AD=P'D+AD=AP',此时PD+AD最小，最小值为AP的长， Ap'=2+1)2+62=V45=3V5, △PAD周长为AP+PD+AD, .△PAD周长的最小值为2V10+3√5； 【小问3详解】 解：，tan∠ABC=l, .∠ABC=45°， ∴.将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移22个单位长度得到抛物线y,相当于将抛物线 y=-x2+bx+c先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y, .y'=-x-2+3x-2+4-2=-x2+7x-8,M3,4, 设Nt,-t2+7t-8, 当点N在x轴上方时， .C0,4),M3,4, ∴.CM∥x轴， ,∠NAB=∠PMC, tan∠NAB=tan∠PMC,则-+7i-8_6-4 t+13-1 整理，得t2-6t+9=0, 解得=t2=3,此时点N坐标为3,4)； 第28页/共33页 可学科网可组卷网 当点N在x轴下方时，同理CM∥x轴，tan∠NAB=tan∠PMC -+71-8）6-4 t+1 3-1 整理，得2-8t+7=0, 解得t=1,t,2=7,此时点N坐标为1，-2)或(7，-8)， 综上，满足条件的点N的坐标为3,4或1，-2)或(7，-8). 25.在ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D为平面内不与点C重合的任意一点，以CD为直角边， 按C,D,E顺时针方向作等腰直角△CDE,满足DC=DE,∠CDE=90,连接AE. B (1)如图1，若点D在线段AC上，AB=3√2，CD=2,求线段AE的长； (2)如图2，取AE的中点F,连接BF,DF.猜想BF与DF有什么关系？并证明你的猜想； (3)在(2)的条件下，若AB=4,点D在平面内始终保持CD=2,连接AD,过点D作DM⊥BC, 垂足为M,当AD+2DF取得最小值时，请直接写出此 2 BM的值， AD 【答案】(1)25 (2)BF=DF,BF⊥DF 3 3 【解析】 【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质和线段的和差求得AD和DE的长度，再利用勾股定理求解即可. (2)通过倍长DF,使得DF=FG,证得aAFG≌△EFD,可得对应角相等和对应边相等，利用对应角相 等推导出AG、DE、CD之间的位置关系，进而倒角，再证明△ABG≌aCBD,利用全等的性质可得 △GBD是等腰直角三角形，最后利用三线合一的性质可得BF与DF的大小关系和位置关系， (3)先判断出点D的轨迹是以C为图心，2为半径的圆上，过点F作FH1BD,将AD+5DF转化 第29页/共33页 可学科网 组卷网 为AD+BD,通过在BC上截取一点P,使得CP=1,枸造ACPDACDB,再次将AD+BD转化 2 为AD+DP,当AD+DP取得最小值时，即是当A、D、P三点共线时，固定点D的位置；然后通过 △ABP∽△DMP得到△DMP三边的比例关系，利用比例设PM=3x,DM=4x,则DP=5x,通过 RtACDM三边关系建立方程，求得x的值，代入AD=5-5x,BM=3-3x,最终求得比值. 【小问1详解】 解：.AB=BC,∠ABC=90°， 且AB=3V2, 4C=V32°+32=6， 又：CD=2,DC=DE, .AD=6-2=4,DE=2, 在Rt△ADE中，∠ADE=90°， .AE=V42+22=25. 【小问2详解】 ⊙ H 延长DF至点G,使得DF=FG,连接BG,BD,AG,延长CD,与AG反向延长线交于点H, :F为AE中点 :AF EF, 在△AFG和△EFD中， AF=EF ∠AFG=∠EFD DF=FG .△AFG≌△EFD(SAS), 第30页/共33页 学科网组卷网 .∴.AG=DE=CD,∠AGF=∠EDF, .AGDE, DE⊥CD, .∴.AG⊥CD, ∠H=90°， 在四边形AHCB中，∠H=∠ABC=90°， ∴.∠HAB+∠DCB=180°， 又.∠HAB+∠GAB=180°， ∴.∠DCB=∠GAB, 在△ABG和△CBD中， AG=CD ∠GAB=∠DCB AB=BC ∴△ABG≌△CBD SAS), .BG=BD,∠GBA=∠DBC, ∴.∠GBA+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°， ∴.△GBD是等腰直角三角形， 且DF=FG :BF=DF,BF⊥DF. 【小问3详解】 B A 过点F作FH⊥BD,在BC上截取一点P,使得CP=1,连接DP. 由(2)可得，BF=DF,BF⊥DF, 第31页/共33页 可学科网 可组卷网 .BH-DH.DH-DF. 2 4D+DF-AD+DH-4D+BD. CD=2,CP=1,BC=4, CP CD 1 CD BC2' △CPD∽△CDB, DP CP 1 BD CD 2' :DP=IBD, 2 4D+DF-4D+8D-4D+DP. :当4、D、P三点共线附，AD+5DF取得最小值， .∠DMC=∠ABC=90°， ∴.DM‖AB, ∴.△ABP∽△DMP, 且AB=4,BP=4-1=3, :PM=BP3 “DMAB4'AD=5 设PM=3x,DM=4x,则DP=5x ∴.在Rt△CDM中，CM=1+3x,DM=4x,CD=2, (1+3x2+(4x)2=22, 解得x=-3±2V27 (舍负) 25 AD=5-5x 28-2,BM=3-3x-84-62 25 第32页/共33页 耐学科网 丽组卷网 84-6V21 BM 25 3 AD28-2V2ī-5· U 【点晴】本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性 质、平行线的性质、三点共线以及四边形内角和，也涉及到一元二次方程的求解，是几何综合题，本题构 造三角形相似和全等是解题的关键. 第33页/共33页 重庆璧山初2026届25－26学年度初三（下）指标到校 数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为，的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 5的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全班学生的视力情况 B. 了解某批次汽车的防撞能力 C. 了解某市6月的空气质量情况 D. 了解某批次火锅底料的质量 4. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有11个圆点……按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（ ） A. 35 B. 29 C. 23 D. 20 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司文创产品的月收入逐月攀升，今年1月收入20万元，经过两个月后，3月收入达到28.8万元，该公司文创产品收入的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为边上一点，连接．将沿直线翻折至正方形所在平面内，得．连接并延长交的延长线于点．若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，当时，整式的值为4，当时，整式的值为2．下列说法： ①满足条件的所有整式中，单项式有且仅有2个： ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次二项式（各项系数均为非零）中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，将它们混在一起，随机抽取一张，则抽到写有数字3的卡片的概率为_____． 12. 如图，直线，，被直线所截，若，则的度数为_____． 13. 若为正整数，且满足，则__________． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 15. 如图，是等腰的外接圆，，以为边作平行四边形，垂足为，点在线段上（不含端点），，垂足为，是内一点，连接，满足．连接，交于点，交于点．若，且．则的长度为_____． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“老己数”．例如：四位数6259，因为，所以6259是“老己数”．按照这个规定，最小的“老己数”是_____；一个“老己数”，将其前两位数字与后两位数字交换位置，得到一个新数，记．若与均是整数，则满足条件的的值是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，17－18每小题8分，19－25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了角平分线和尺规作图后，小璧进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线．小璧在的边上任取一点，并作了的垂直平分线（如图），垂足为．请你利用尺规作图，在边上截取，作的垂直平分线与小璧所作的垂直平分线交于点，垂足为，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：分别是的垂直平分线， ． ①_____ ． 在Rt和中， ． ③___________ 平分． 19. 某校组织了人工智能知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：；．）．下面给出了部分信息：七年级20名学生的成绩是：62，63，76，77，79，81，82，82，83，86，86，88，89，93，93，93，93，96，98，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，85，85，85，86． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 86 八年级 85 98 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生人工智能知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七年级有400人，八年级有600人参加了本次比赛，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 某农机租赁公司有甲、乙两种耕地机，甲耕地机比乙耕地机每小时少耕地公顷．甲耕地机小时的耕地面积比乙耕地机小时的耕地面积多公顷． （1）求甲、乙耕地机每小时的耕地面积各是多少？ （2）现甲、乙耕地机需分别独立完成公顷的耕地任务．为了按时完成任务，两耕地机每小时的耕地面积都有所增加．乙耕地机每小时增加的耕地面积是甲耕地机每小时增加的耕地面积的倍，两耕地机完成耕地任务一共用了小时．求甲耕地机每小时增加的耕地面积是多少？ 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从出发沿运动，运动速度为每秒个单位长度；动点从出发沿运动，运动速度为每秒个单位长度；当点到达点时，，两点时同时停止运动，设运动时间为秒，点与点的距离为，设四边形的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 某景区建有观光索道，如图，是其中一段索道，支架垂直于水平地面，为了实时监控索道运行状况，在斜坡上安装了一个监控探头，已知斜坡的坡比，从测得点的俯角为，点正下方的地面基准点为，即于点，从测得点的俯角为．（参考数据：） （1）求的长度；（结果保留小数点后一位） （2）检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为，两人准备协同操作悬挂安全警示牌．他们随身携带高精度激光测距仪，可实时监测彼此的直线距离．根据作业规范，当测距仪显示两人之间的直线距离恰好为时，视为进入“关键作业区”，此时甲、乙需协同操作悬挂警示牌，求此时检修员乙走过的路程？（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交射线于点，点为抛物线对称轴上的动点，连接．当取得最大值时，求此时点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点为平面内不与点重合的任意一点，以为直角边，按，，顺时针方向作等腰直角，满足，，连接． （1）如图1，若点在线段上，，，求线段的长； （2）如图2，取的中点，连接，．猜想与有什么关系？并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，若，点在平面内始终保持，连接，过点作，垂足为，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $