江苏省南菁高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练5

**基本信息** 聚焦高二核心知识，融合“deepseek”应用、设备生产等真实情境，通过组合数计算（基础）、高阶导数不等式（能力）、传球概率递推（创新）的梯度设计，凸显数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|空间向量共面（第2题）、导数切线（第4题）|结合科技情境（第7题“deepseek”调查）| |多项选择|3/18|正态分布（第9题）、函数极值（第10题）|注重概念辨析与多维度思考| |填空|3/15|二项式定理（第12题）、古典概型（第13题）|考查运算准确性与空间想象（第14题四棱锥距离）| |解答题|4/60|线性回归（第15题）、立体几何（第16题）、导数应用（第18题）|综合考查建模与逻辑推理（如第17题设备生产概率分析）|

2025-2026学年第二学期高二数学周练5 2026.5.16 命题人：金汉萍 审题人：李永永 本试卷满分133分 考试时间90分钟 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分） 1．已知，则（    ） A．28 B．30 C．56 D．72 2．已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与曲线相切，则实数为（    ） A． B． C． D． 5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　） A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种 6．已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点．则（   ） A． B．2 C． D． 7．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（   ） A．决定系数越小，模型的拟合效果越差 B．经验回归方程相对于样本点的残差为0.5 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．若随机变量服从两点分布，且，令，则 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数无最小值 B．函数有2个极值点 C．函数有5个零点 D．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 11．甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，x2y5项的系数是___________. 13．将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 14．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______.    四、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共4小题，共60分） 15．已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 16．如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 18．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A B D C C AC BC 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. 【详解】因为， 所以由组合数性质得，， 所以. 故选：C. 2．D 【分析】由空间向量共面的推论，判断是否成立即可. 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 3．A 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 4．A 【分析】根据切点求解切线方程，即可对照列方程求解. 【详解】设切点为，则， 故切线方程为，即 ，由于是切线，所以， 故，化简得，解得， 所以， 故选：A 5．B 【详解】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B． 6．D 【分析】利用空间向量的基本运算可得，再由夹角以及模长运算即可得结果. 【详解】如下图所示：    根据题意可知令，且，； 可得 ； 所以 . 故选：D 7．C 【分析】根据条件概率求出单个学生了解deepseek的概率，进而确定服从二项分布，利用二项分布的性质，通过比较与1的大小关系来确定最值. 【详解】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 8．C 【分析】根据的定义求得，令，利用导数研究的单调性，作出函数的图象，根据直线过定点，通过数形结合的方法可求解. 【详解】， 所以有且仅有一个整数解， 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，单调递减. 当时，；当时，， ， 作出函数的图象，如图所示，直线过定点， 要使不等式恰有一个正整数解，则 解得. 故选：C. 9．ACD 【分析】利用决定系数的性质判断A，利用两点分布的方差公式判断B，利用正态分布的对称性判断C，将Y用3X-2替换求解D即可 【详解】由决定系数性质得，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A正确， 残差为，故B错误； 若随机变量服从正态分布，， 由正态分布性质得，故C正确， D正确 故选：ACD 10．BC 【分析】根据导函数分析出函数的单调性，进而得到函数的最值以及极值点，求出选项ABD.再利用换元法，结合的图象求解选项C. 【详解】由，可得，易知恒成立； 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 当时，，单调递增，则极大值，极小值. 当时，时，函数图象如下图所示： 选项A.的极小值，且时均大于，因此存在最小值，A错误. 选项B.有两个不同的变号零点和，对应两个极值点，B正确. 选项C.令，，解得或. 结合图象可知，当时，由可知该方程在和各有1个解，共2个解； 当时，由可知该方程在，，各有一个解，共3个解，共5个解. 选项D.的单调减区间是，若在上是减函数，则，D错误. 11．BD 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，通过分类讨论列出概率的递推式，借助于等比数列求出概率解析式，运用二项分布的方差公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）球在甲手里，则； 若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A错误； 对于B，因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立， 则，故其方差为，故B正确； 对于C，设第次抛硬币后，球在丙手中的概率为，由对称性知，故，故C错误； 对于D，第次抛硬币后，球在甲手中的概率为， 所以，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，即； 同理，可得，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，即； 所以，故D正确. 12．-12 【分析】的通项为，求出的系数即得解. 【详解】解：的通项为， 令此时， 令此时， 所以展开式中，x2y5项的系数是. 故答案为：-12 13． 【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得. 【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 14． 【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解. 【详解】解：    如上图，取的中点为.连接 、、. ∵，点是的中点，∴. 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴ 平面.又∵平面∴. 又∵底面是矩形，、是、中点，∴. ∴以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴 建立空间直角坐标系如图所示，由，，， 得，. ∴，，，则，， 设，则，， ， ∵， ∴向量的单位方向向量， 则， 因此点到直线的距离， 当时，取最小值， ∴线段上的动点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 【点睛】向量法求点到直线距离的步骤： 1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量. 2.在直线上任取一点（可选择特殊便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量点. 3.点到直线的距离. 15．(1) (2)元 【分析】（1）根据表中数据计算出，再结合参考数据利用公式即可计算出，进而得出线性回归方程； （2）将代入即可预测. 【详解】（1）由题意得，. 因为， . 所以，. 故经验回归方程为. （2）由已知2026年对应的年份编号为7，令，则. 故预测该产品2026年的市场销售单价为元. 16．(1)证明见详解； (2)； (3)存在，或. 【分析】（1）证明即可判定线面垂直； （2）建立空间直角坐标系研究面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面角即可. 【详解】（1）底面中，已知，，， 由余弦定理得， 所以， 又平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面； （2） 由（1）可知三直线两两垂直，可以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有 及， 取，取， 即， 设平面与平面的夹角为，则； （3）假设存在，不妨设，由（2）可知， 则， 设与平面所成角为， 则， 解之得或，即存在M符合题意，此时或. 17．(1)分布列见解析， (2)， (3)0.2056． 【分析】（1）由题意服从超几何分布，求出对应的概率即可得到分布列以及数学期望； （2）由二项分布的概率公式以及方差公式即可得解； （3）由正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】（1）由题知，的可能取值为0，1，2，． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望． （2）由题意可知，服从二项分布， 故， 技术攻坚成功的概率为 ， ． （3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以． 从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056． 18．(1)减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）得，的正负取决于的正负，设，结合即可求得单调区间； （2）法一：设虚设零点判断的单调性，得到的最小值，要使恒成立，只要恒成立，由此解出的取值范围； 法二：令，转化为关于的函数，在处取得最小值，由恒成立，由此解出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 设，则恒成立，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的减区间为，增区间为. （2）法一：设， ， 设，则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 所以 ， 所以，即， 设，，所以单调递增，且， 所以，解得， 综上，. 法二：恒成立 ， 令，易知，则，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以时，取得最小值，为 设，，所以单调递增，且， 所以，解得， 综上，. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 答案第12页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $