江苏省南菁高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练1

2025-2026学年第二学期高二数学周练1 2026.3.14 命题人：刘歆钰 审题人：蒋寿荣 本试卷满分133分 考试时间90分钟 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分） 1．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 3．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，为其前项和．若，则（    ） A．420 B．210 C．198 D．105 6．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知双曲线的离心率为过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和（    ） A． B． C． D． 8．定义在R上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分） 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则下列结论正确的有（   ） A．的单调递减区间为 B．是的极小值点 C．有3个零点 D．当时，方程恰有三个实数根 11．已知是定义域为的函数的导函数，且，则（   ） A． B． C．有两个零点 D． 三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分） 12．已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 13．若命题“函数无极值”为真命题，则实数的取值范围是_________． 14．已知函数若在上不单调，的取值范围是 . 四、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共4小题，共60分） 15．（本小题满分13分） 已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)过点作曲线的切线，求此切线方程. 16．（本小题满分15分） 如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（本小题满分15分） 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 18．（本小题满分17分） 已知函数． (1)若直线与曲线在处的切线平行，求的值． (2)求函数的极值； (3)设函数，若对，恒不小于，求的最大值． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A B A C C BC ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值. 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 故选：B． 2．B 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 3．D 【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：若是，是：时递减，对应（在x轴下方）；时递增，对应（在x轴上方），符合规律，A正确； 对于B：若是，是：较小时，递增；较大时，递减，符合曲线先增后减的趋势，B正确； 对于C：若是，曲线是：恒正且递增，对应始终递增，且斜率越来越大（越来越陡），完全符合曲线的趋势，C正确； 对于D：两个曲线中，全程在x轴上方，全程在轴下方，两个曲线的单调性都是先增、再减、再增：若是原函数，原函数先增→再减→再增，要求导函数先正→再负→再正，而全程为负，不符合； 若是原函数，原函数同样需要导函数先正→再负→再正，而全程为正，也不符合。 因此D不可能，D错误. 题目要求选不正确的，故答案为D. 4．A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可. 【详解】函数 ， 由，得函数的极大值点， 当时，，不存在整数使得，，，A是；BCD不是. 故选：A 5．B 【分析】根据等差数列的通项公式，求出首项和公差，按照等差数列前项和的公式，求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 整理得，解得. 所以. 6．A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7．C 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 该双曲线右焦点为，依题意，点为线段的中点， 取双曲线的一条渐近线， 所以. 8．C 【分析】根据题意构造函数，由推得在上单调递增，由条件推得为周期为的周期函数，根据得到，将待求不等式化成，再利用函数单调性即可求解. 【详解】令，可得，所以在上单调递增， 由可得，所以是以为一个周期的周期函数， 则，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 9．BC 【分析】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，因是常数，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：BC. 10．ACD 【分析】利用导数法求出单调性判断A；根据单调性得到极值点判断B；根据函数单调性结合零点存在定理得到有3个零点判断C；当时，结合图像得到方程恰有三个实数根判断D. 【详解】，， 对于选项A，的解为， 则的单调递减区间为，故选项A正确； 对于选项B，由得或， 的解为或， 则的单调递增区间为， 则是的极大值点，故选项B错误； 对于选项C，， 为的一个零点， 时是单调递增函数， 故在范围内，有且仅有一个零点； 的单调递减区间为， 是的极大值点， ， 是的极小值点， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 在范围内，是单调递增函数， ， ， 在范围内，有且仅有一个零点； 则有3个零点，故选项C正确； 对于选项D，的极小值为 ，极大值为，， 直线与的图像有且只有三个交点， 结合图像可知，当时，方程恰有三个实数根，故选项D正确.    故选：ACD. 11．BCD 【分析】对表达式求导令联立方程组可判断AB，根据的表达式可得C正确，利用导数的极限表达式可得D正确. 【详解】对求导可得， 令，可得，解得，所以A错误，B正确； 因此，所以， 令，可得，因此有两个零点，所以C正确； 易知，所以， 即，可知D正确. 12． 【详解】由题可知，，， 所以． 13． 【分析】因为，无极值，则可得恒成立，即可求解. 【详解】，因为函数无极值， 所以方程恒成立， 所以只需，解得，即． 故答案为： 14． 【分析】求导可得，设，则，解之即可求解. 【详解】（2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 15．(1)；和 (2) 【分析】（1）由在处取得极值得到，求出，由得到的方程组，计算出的值，从而得到；解出的的范围是单调递增函数； （2）设切点为，求出，利用点斜式求出切线方程，将点代入切线方程得到的方程，计算出的值，将代入切点和斜率，利用点斜式得到切线方程. 【详解】（1）在处取得极值，， ，， ，； ， ，即，即或， 在和上是单调递增函数； （2）设切点为，， 则切线方程为， 切线过点， ， ，， 切点为，， 切线方程为，即. 16．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取的中点，根据中位线定理证明，利用平行四边形的性质证明 ，再由线面平行的判定定理证得平面. （2）假设在线段上是否存在点Q满足题意，建立空间直角坐标系，并设，，根据线面角的向量求法，列出关于的方程，求解可得. 【详解】（1）取中点N，∵M为中点，∴，且. 又∵，，∴，且， ∴四边形为平行四边形，所以 . ∵平面，平面 ∴平面. （2）∵平面，且，所以两两垂直. 以点A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. ∴，，，，，. 假设存在点Q满足题意，设， . 设平面的法向量为 则，令，则 设直线与平面所成的角为，则 ， 化简得，解得或. 因为，所以，即. 17．(1)； (2) 【分析】（1）根据离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为，由求解. （2）当直线斜率不为零时，设直线为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得和，由三角形面积求解即可，当直线斜率为零时，设其方程为,与椭圆方程联立，求出坐标，直线与的斜率之积为，即可求出n，进而求得的面积． 【详解】（1）由题意得， 解得， ∴，， ∴椭圆的方程为. （2）当直线斜率不为零时，设直线的方程为：，， 联立，消元得， 由韦达定理得：， 已知，即， 则 ， ， 代入韦达定理化简得，， 又 ， 则， 当直线斜率为零时，设其方程为， 联立，解得， 设在左侧，则， 由，则， 解得，此时， 则， 所以的面积是 . 18．(1); (2)极小值为，无极大值； (3) 【分析】(1)先求出曲线在处的切线，根据平行直线的性质斜率相等，即可得到结论； (2)求导得到函数单调性，根据极值得定义可得； (3)根据题意问题转化为恒成立，令，求导得其最小值，令，求导得其最大值即得. 【详解】（1）求导得，所以， 直线与曲线在的处切线平行， 即与曲线在的处切线平行，所以. （2）由(1) 得， 令，得； 令，得； 所以在单调递减，在单调递增； 故的极小值为，无极大值； （3）依题意，对，恒成立， 即，即恒成立； 令，则； 若，则恒成立，在上单调递增，无最小值，不符合题意； 若，令得， 当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增； 所以； 所以，令，则； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故，即， 的最大值为. 答案第10页，共11页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $