江苏省南菁高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练2

2025-2026学年第二学期高二数学周练2 2026.3.28 命题人：蔡娟 审题人：徐德云 本试卷满分133分 考试时间90分钟 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分） 1．已知，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ） A．18 B．15 C．14 D．10 3．在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 4．若，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有． A．280种 B．240种 C．180种 D．96种 6．已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分） 9．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 10．下列说法正确的有（   ） A．已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 B．已知直线的方向向量为，平面的法向量，则 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．已知直线的方向向量为，且过点，则的方程为 11．对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分） 12．设为实数，则双曲线的焦距为________. 13．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 四、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共4小题，共60分） 15．（本小题13分） 已知数列满足，且，． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 16．（本小题15分） 已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 17．（本小题15分） 已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 18．（本小题17分） 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B B C BD BD BCD 1．A 【分析】对求导，将代入化简即可得出答案. 【详解】由，得， 所以，解得． 故选：A． 2．A 【分析】由题设可得等差数列首项与公差，据此可得答案. 【详解】设等差数列公差为，则, ，则. 从而. 故选：A 3．A 【分析】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 4．C 【分析】利用换元法求出函数的解析式，再根据导数几何意义求切线方程即可. 【详解】设，则，所以，即， 所以．又，所以， 则函数的图象在点处的切线方程为，即． 故选：C． 5．B 【详解】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作， 有种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有种， 乙从事翻译工作的有种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作， 则选派方案共有360-60-60=240种． 故选：B. 6．B 【分析】将题意转换为，再求导分析函数的最小值，根据二次函数的性质求得最大值即可 【详解】，使得成立，等价于， ， 当时，，递减，当时，，递增， 所以当x＝－1时，取得最小值； 当x＝－1时取得最大值为， 所以，即实数a的取值范围是 故选：B． 7．B 【分析】通过对函数求导，满足，然后分类讨论利用导数法研究的符号，根据极小值点的概念判断即可. 【详解】对函数求导得：， 又由是函数的极小值点，所以， 还需分析在附近的符号变化，令， 则，， 当时，，即在附近单调递增，又， 所以当时，，当时，，满足0是的极小值点； 当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减， 又，所以当时，，当时，， 此时0是的极大值点，不符合题意； 综上所述：a的取值范围为. 故选：B 8．C 【解析】设，即， 再通过函数的单调性可知，即可求出的值，得到函数的解析式，然后根据零点存在性定理即可判断零点所在区间． 【详解】设，即，，因为是定义在上的单调函数，所以由解析式可知，在上单调递增． 而，，故，即． 因为，， 由于，即有，所以． 故，即的零点所在区间为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，零点存在性定理的应用，意在考查学生的转化能力，属于较难题． 9．BD 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于，故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B正确； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 10．BD 【分析】利用空间位置关系的向量证明判断AB；利用共面向量定理推论判断C；求出直线方程判断D. 【详解】对于A，由，得直线的方向向量与向量垂直，则或，A错误； 对于B，由，得直线的方向向量与向量平行，则，B正确； 对于C，由，得，而， 当不共线时，不共面，C错误； 对于D，由直线的方向向量为，得直线的斜率为，方程为， 即，D正确. 故选：BD 11．BCD 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图：    观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 12．6 【分析】由双曲线方程结合双曲线中的关系，建立关于半焦距和参数的方程，求解即可. 【详解】由双曲线，可得，， 因为，所以， 得，故焦距. 13． 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 14．或 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 15．（1）证明见解析，；（2） 【解析】（1）由，整理得，得出是以2为公比，以为首项的等比数列，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用等差数列的前项和公式和“乘公比错位相加法”，即可求得数列的前项和． 【详解】（1）由题意，数列满足， 可得，，即，， 所以是以2为公比，以为首项的等比数列， 所以，， 又由． 当，成立， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以． 令， 则， 两式相减得， 解得， 又由，故． 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等． 16．(1)当，时，，. (2)当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 【分析】（1）先求出函数的导数，根据导数判断函数在给定区间的单调性，进而求出最值；（2）同样先求导，根据的取值范围讨论函数的单调性，再结合函数的特殊值判断零点个数. 【详解】（1）当时，，对其求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值. . 且，. 因为， 综上所得，当，时，，. （2）， ①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点； ②当时，由得，所以在上单调递减， 又由得，所以在上单调递增， 因为，且所以， 因为，所以存在使得， 所以函数有2个零点； 综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 17．(1) (2)是定值， 【分析】（1）根据题设列出关于的方程组，求解即得； （2）设的方程为，与双曲线方程联立，写出韦达定理，分别求出直线的斜率，并化简，利用消元思想与韦达定理即可推出结论. 【详解】（1）由题意，可得， 解得. 所以的方程为. （2）由（1）知，的右焦点为，设的方程为， 与方程联立，得. 因为与有两个交点，所以且，解得． 设，则，则有 因，则， 所以，因， 代入可得，，即为定值. 18．(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【详解】（1） 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $