江西南昌大学附属学校2025-2026学年高二年级下学期5月考试数学试卷

南昌大学附属学校2025-2026学年度 下学期高二年级5月考试数学试卷 出题人：陈松审题人：衷志俊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.★已知函数fx)=c十lnx,则f'(1)= A.0 C.1 D.2 2.★★小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天 支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天 起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前 一天的1.2倍.小明一共工作了10天，则他领到的 总报酬为()元.（参考数据：1.2°≈5.16,1.210≈ 6.19) A.778.5 B.624 c.185.7 D.154.8 3.★★☆设等差数列{an}的前n项和为Sm,且公差不 为0，则“m=4”是“S3=2a1十anm”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.★★对于给定数列{cn},如果存在实常数p,q,使 得cm+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数 列{cm}是“M类数列”.已知“M类数列”{an}中， a1=1,a2=3,且p=2,q=k,则a5=（) A.7 B.15 C.31 D.63 5.★★☆已知函数f(x)=x?+a(a∈R)在区间 [1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（) A.a<2 B.a>2 C.a≤2 D.a≥2 6.★★函数f(x)=sinx-xcosx的大致图象是( 7.★★★已知g(x)是定义域为R的函数，g(x)=ax2+ 2, 若对任意的1<<<2，都有9一9、 D1一C2 -3成立，则实数a的取值范围是 A[0,+∞) B[-0 c(-,-) 8.★★★如图，这是一张圆形纸片，其半径R=2W3, 剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点P(i =1,2,…,6)重合于点P,得到正六棱锥P一 ABCDEF,则该六棱锥体积的最大值是() P A384v5 B.192v5 125 125 c.192w5 D.96V5 25 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.★★☆下列叙述不正确的有 A数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列 B.数列0,1,2,3，…的通项公式是am=n-1 C.-1,1,-1,1,…是常数列 D.一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是 12.该数列的第8项的值为-4374或256. 10.★★★已知函数f(x)=x3-ax+2(a∈R),则下列 说法正确的是 () A当a<0时，函数f(x)不存在极值点 B.当a=3时，函数f(x)有三个零点 C.点(0,2)是曲线y=f(x)的对称中心 D.若y=2x是函数f(c)的一条切线，则a=1 11.★★★已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为 q,记数列{an}的前n项积为Tn,且T>1,T0< 1,则下列正确的是 () A q>1 B.ao>1 C.当n=10时，Tn取最大值 D.a10+a11-1>a10a1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.★★☆设等差数列{an},{b}的前n项和分别是 成，若受-7，则爱= 66 13.★★若曲线f(xc)=ac+lnx在x=1处的切线与直 线x十2y-1=0垂直，则实数a= 14.★★★★若存在x1>1,c2>1使得2e4+lnc2=c1 +2x2成立，则的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.★★★设数列{an}满足a1=3,a2=8,且an+2= 2an+1-an+5. (1)求证：数列{an+1-an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 16.★★★★已知函数f(x)=x(1-lnc): (1)求函数f(c)在x=e处的切线方程； (2)求f(x)的极值； (3)(考试无此项)设a,b为两个不相等的正数，且 blna-alnb=a-6,证明：2<日+名<e. 17.★★★☆已知函数f(x)=x-alnx+a2 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在最小值，且最小值小于2，求a的取值 范围. 18.★★★★已知数列{an}中，a1=3,an+1= 2an am+1 ,n∈W. （1)证明：数列上-1为等比数列； (2)记bn=a杜，数列{b,-1}的前n项和为T. an (i)求bn的取值范围； (闭求证：工<号 19★大★☆已知函数f(m=ln,g四)=品(a>0), 设F(x)=f(x)+g(x) (1)求F(x)的单调区间； (2)若以y=F(x)(x∈(0,3])图像上任意一点 P(,y)为切点的切线的斜率k≤号恒成立，求正实 数a的最小值； 3)是否存在数m,使得函数y-o,)+m-1 的图像与y=f(1+x)的图像恰好有四个不同的交点？ 若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由， 参考答案 1.【答案】D 【分析】求f'(x),代入x=1求值， 【详解】因为f✉=1+子，所以f0=1+}=2 2.【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案。 【详解】设第n天的报酬州为an,n∈W', 由题意，{an}是以首项a1=30,公比q=1.2的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬5=301-129≈78.5 1-1.2 3.【答案】C 【详解】设等差数列{an}的首项为a1=2,公差为d(d≠0)， 根据等差数列基本公式： 前3项和5，=3a1+3X2d=3a4+3d,am=a1+(m-1)d 将上述结果代入等式S3=2a1+am,整理得3a1+3d=2a1十a1 +(m-1)d,即3d=(m-1)d. 因为d≠0，所以m=4,即S3=2a1+am台m=4, 因此“m=4”是“S3=2a1十am”的充要条件， 4.【答案】C 【分析】先利用已知的首项、第二项，代入递推公式求出未知 参数k,对递推公式进行构造，转化为熟悉的等比数列，利用 等比数列通项公式求解a 【详解】由题意知a+1=2an十k,令n=1,则a2=2a1十k, 即3=2+k,所以k=1, 所以an+1=2an+1,故an+1+1=2(an+1).又a1+1=2, 所以数列{a+1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以a5十1=2×2±=32，所以a5=31. 5.【答案】C 【详解】由f@)=+品a∈R,得f回=2-会= 2a-a 因为函数f(x)在区间[1，十o)上单调递增，所以f'(x)≥0在 [1,+o∞)上恒成立 即a≤2x对x∈[1，+w)恒成立，而y=2x3在[1，+o)上递 增，所以ymn=2×13=2, 所以实数a的取值范围是a≤2. 6.【答案】B 【详解】f(x)=sinc-xcosx,f(-x)=-sinx+ccOS= 一f(r),f(x)市奇函数. f'(x)=cosr-（cosD-sin)=xsinc=0→x=0或x=kr, 当xe(0,π)，f'()>0,fm)刀x∈（π，2x),f'()<0,fx)y ,x∈(0,2π)，f(x)极大值为f(π)=sinπ-ccosπ=π>0. 故选：B. 7.【答案】D 【分析】构造h(x)=ax2+3x+2,根据其(1,2)在单调递增， 分类讨论即可求解。 【详解】因为对任意的1<m<,<2,都有9)-9> D1-1D2 -3成立， 所以g(c1)-g(x2)<-3m1+3m2,所以g(r)+3m1<gx)+32 成立， 构造h(c)=g(r)+3x=ax2+3r+2, 所以由上述过程可得h(x)=ax2+3x+2在(1,2)单调递增， (若a<0,则对称轴红=是≥2，解得是≤a<0: (2)若a=0,h(x)=3x+2在(1,2)单调递增，满足题意； 问若a>0,则对形鞋a=是≤1回拉： 综上ae[-是+∞) 故选：D. 8.【答案】B 【分析】连接OE,OP,由题意得OP⊥ED,设OE=a, 则DB=a,PM=23-9a,由已球出0<a<2,利用 条件得六棱维的体积V=35V2a-a,构造函数fa)= 2 2a+-a,利用导数法求解最值即可. 【详解】连接OE,OP,OP,与DE交于点M. P 0 P P 设0a=a,则nE=a,OM=9。,W=w5-9。 设正六棱锥P-ABCDEF的高为h, 则h=VP-OF=√2-9a-(9a-i-d (0<a<2), 所以正六棱锥P-ABCDEFE的体积V-号×6xa%= 3 a/-at 令f(a)=2a*-a,求导得f'(a)=8a3-5a*,由f'(a)=0,得 当a∈(0，号)时，fa>0,当ae(号，2)时，fa)<0, 则当a=号时，fo取得极大值，也是最大值， 此时v的最大值为12-6=9×结×√D-6x号 2 =192W5 125 故选：B 9.【答案】AC 【分析】根据数列具有顺序性判断A;利用等差数列的通项公 式判断B；根据常数列的概念判断C；根据已知条件列方程求 出等比数列的公比，即可求出该数列的第8项判断D. 【详解】因为数列具有顺序性，所以数列1,3,5,7与7,5,3， 1不是同一数列，A错误； 数列0,1,2,3，…的通项公式是an=n-1,B正确； 因为常数列是各项都相等的数列，所以-1,1，-1,1，…不是 常数列，C错误； 设等比数列的首项为a1=2,公比为q,则a2=2q,a3=2q, 由题意可得2g+2q2=12,解得9=2或-3，当q=2时，a8 =29=256, 当9=-3时，ag=2×(-3)7=-4374,D正确。 故选：AC 10.【答案】ACD 【详解】 对于A,当a<0时，可知y=x,y=-ax+2均在R上单调 递增， 则f(c)=x3-aac+2在R上单调递增，所以f(c)不存在极值 点，A正确： 对于B,当a=3时，f(c)=x3-3x+2,求导得f'(c)=3x2 -3=3(x-1)(x+1), 令f(x)=0得x=-1或1，又当x∈(-0，-1)U(1,+w)时 f'()>0, 当x∈(-1,1)时f(x)<0,所以x=1,-1分别为极大和极小 值点， 且f(-3)=(-3)3-3(-3)+2=-16<0,f(-1)=(-1)3- 3(-1)+2=4>0, f1)=13-3×1+2=0,所以f(c)只有两个零点，B错误； y=fx) -101 对于C,因为f(0+x)+f(0-x)=(x3-ax+2)+ [(-x)3-a(-x)+2]=4=2×2, 所以点(0,2)是曲线y=f(x)的对称中心，C正确： 对于D,设y=2x与f(x)的切点坐标为(t,t-at+2),因为 f'(x)=3x2-a, 所以f(x)在x=t处的切线方程为y-(t-at+2)= (3t2-a)(c-t), 即y=(3t2-a)x-2t+2,依题意有3t2-a=2,-2t+2=0, 得a=1,D正确， 11.【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质推导得a0>1,0< a1<1,再逐项分析判断. 【详解】由等比数列{a}的各项均为正数，得q>0, 由Z6=a1aag…aw=(aag)￥=(a品)￥=(anP>1,得aw> 1； 由Tn=a1aa3…an=(a1an)0<1,得a1an=a10a1<1,则a <1, 0<g<1且a4>1,=0>1,当n=10时，T取最大 值，BC正确，A错误； 由aoa1+1-(a0十an)=ao(a1-1)+(1-a)= (a1-1)(a0-1)<0,即a0十a1-1>aoa,D正确. 12【答案】品05 【分析】利用等差数列前项和公式、等差数列下标性质进行 求解即可. 【洋解】因为会=午7， 2n 所以=2a=+a1= (a+a×11 Su=2×11 b6 266 61+611 b+b×11 T3×11+7 13.【答案】1 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率 存在的两直线垂直时，斜率乘积为一1，建立等量关系，从而 求出实数a. 【详解】解：由题可得f)=a+士，所以函数于@)在=1 处的切线斜率为k=f'(1)=a+1. 已知直线x+2y-1=0的斜率为-分，切线与该直线垂直， 所以a+1)×(-)=-1,解得a=1 14【答家】吉 【分析】同构变形，构造函数，得到2=e,代入变形，构造 函数，求出最值，得到答案. 【详解】2e+l1nx2=D1+22→2e-d1=2x2-nx2→2e- 1 2els:-Inc2, 设f(x)=2e-x,则f(m)=f(nx), 因为x1>1,2>1,所以1lnx>0, f'(x)=2e-1>0在x∈(0，+o)上恒成立， 故f(c)=2e-x在x∈(0，+o)上单调递增，故=lnx, =e, 以。，令g= 所以戏= e,c>1, 改g回-2定=2。，令g回国>0得1<a<2, 令g(c)<0得c>2, 故g()=在1,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减， e 所以g(四)=二在0=2处取得极大值，也是最大值，最大值 e 为g2)=志， 所以的最大值为专 02 15.【答案】(1)证明见解析 (2)a,=5n2-5n+6(meN) 【分析】(1)借助等差数列定义即可得证； (2)借助累加法计算即可得。 【详解】(1)已知an+2=2ant1-an十5，移项可得an+2-an+1= am+1-am+5, 设bn=an+1-an,则bn+1=an+2-an+1,那么bn+1-bn=ant2 an+1-(a+1-an)=5, 又b=a2-a=8-3=5,所以数列{am+1-a.}是以5为首 项，5为公差的等差数列； (2)由(1)得a+1-an=5+5(n-1)=5m, 当n≥2时，an=(an-am-i)++(a2-a)+a1=5n-5+… +5+3=5m2-5m+6 当n=1时，a1=3也满足上式，所以an= 5m2-5n+6(neN). 2 16.【答案】(1)x+y-e=0 (2)f(x)极大值为1，无极小值， (3)证明见解析 【分析】(1)先求切点，再求斜率即可. (2)讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. (3)分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成f(x)的极值 点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函 数，研究新函数的最值， 【详解】(1)f(e)=e(1-lne)=0,所以切点(e,0) 由f(o)=x(1-nm)得，f(c)=-lnx,kw=f'(e)=-lne= -1 所以切线方程为：y-0=-1(x-e),即：x+y-e=0 (2f(x)的定义域为(0，+o). 由f(x)=c(1-nc)得，f'(c)=-lnx, 当x=1时，f'(x)=0;当x∈(0,1)时f(x)>0;当x∈ (1,+oo)时，f'(x)<0. 故f(x)在区间(0,1)内为增数，在区间(1，+∞)内为减涵 数， 故f(x)的极大值为f1)=1(1-0)=1,无极小值. 36ina-anb=a-b变彩形为g-g-号-日，所以 a Inatl=Inb+1 a b 令是=m,多=m.则上式变为m1-lnm=n1-lnm, a 于是命题转换为证明：2<m+n<e. 因为f(c)=c(1-lnc),则有f(m)=f(n),不妨设m<n. 由(2)知0<m<1,1<n<e,先证m+n>2. 要证：m+n>2台n>2-m-f(n)<f(2-m)台f(m)< f(2-m)台f(m)-f(2-m)<0. 令g(m)=f()-f(2-x),x∈(0,1)， 则g(x)=-nx-ln(2-)=-ln[c(2-c)]≥-nl=0, ∴g(c)在区间(0,1)内单调递增，所以g()<g(1)=0,即m +m>2. 再证m+n<e. 因为0<m<1,所以1-lnm>1,所以n·(1-lnm)= m(1-nm)>m,所以需证n(1-lnn)+n<e→m+n<e. 令h(c)=x(1-nc)+x,c∈(1，e), 所以h'(x)=1-lnx>0,故h(x)在区间(1，e)内单调递增. 所以h(x)<h(e)=e.故h(m)<e,即m+n<e. 综合可知2<+古<e, 17.【答案】(1)答案见解析 (2)(0,1) 【分析】(1)先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到 单调区间即可. 2)结合题意确旋a>0,再得到a-1a-子+1<0，构洁函 数并求导得到单调性，结合9(1)=0求解参数范围即可. 【详解】(1)由题意得f(x)的定义域为(0，+o), 由f(m)=-alnx+a2,可得f(m)=1-g=四-a 若a≤0，则f(x)>0在(0，十o)上恒成立， 则f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间. 若a>0,则当x∈(0，a)时，f(x)<0,当x∈(a,+∞)时， f'(x)>0, 则f(x)的单调递增区间为(a,+oo),单调递减区间为(0，a). (2)由(1)可知，若f()存在最小值，则a>0, 且f(x)的最小值为f(a)=a-alna+a, 则a-alna+a2<2,可得1-lna+a<2,即a-na-2 a a +1<0. 令g间=2-1n-是+1(e>0,则g回)=1-占+是 2 x2-x+2 因为-+2=（号+子>0恒应， 所以g'(x)>0恒成立，则g(x)在(0，+∞)上单调递增。 又g(1=0,令g(x)<0,解得x∈(0,1)，即a∈(0,1)， 故a的取值范围为(0,1). 18.【答案】(1)证明见解析 2(号寺号号1+2中：倒证明见标折 【分】将产气左右两边现做，得亡号 ·+子，将莫变形为1=号（公-，即呵根据等 an antl 差数列的定义，证明数列1-1小为等比数列： (2)()由(1)得到an及a+1的解析式，进而得到bn的解析式bn =1+2十1通过讨论2的取值范国，即可得到b,的取 值范围；()先得到b。一1的解析式，进而得到其前n项和 的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前n项 和S,通过讨论S.的范园，即可证明工<号 【洋】因为a2,所以。=2法2-号士 2dn 2 an + 以之-1=号是-。 又a4=片，所以-1=3-1=2， a 所以数列{位-是以2为首项，以号为公比的等比数列： ②间由0可知.-1=2×(}-2×2=2， 所以an= 1 1 22-n+1′a+1= 21-n+1' 因为6，==3+=2+1=2+1+2=1+ an 21-n+1 21-n+1 22n+1 21-n 21-n+1 =1+ 1 2-1+1 因为n∈N,2-1≥1，所以1+2n-1≥2，所以0< 1 1+2n-1 所以1<6，≤号，6.的取值范园 侵寺号碧1++的 倒因为，1-2中1·又因为+1是 所以T=(b1-1)+(b2-1)+(b3-1)+…+(亿.-1) 4+4+4++2中2 1 <1十 (分+++) 1-号 =3+1-(3]=3-(号 当n=1时，S=}<号粒： 当n=2时，S=1<号成立： 当n=3时，$=1<是应 且随言n值增大，（兮厂逐新减小，逐渐增大， 因为（号>0，所以8，<号，所以<8<号， 即T< 19.【答案】(1)F(x)的单调递减区间为(0，a),单调递增区间为 (a,+0). 2号 3)存在实数m,m的取值范围是（分，血2小 【分析】（①）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其 单调区间； (2)利用分离参数求得函数的最大值即可求解； (3)先化简函数将所求转化为两个函数的交点，通过导数得到 函数的极值及单调性求解。 【详解】(1F(回)=血x+号，定义域为如>0，a>0,求导 令F(c)=0得x=a, 当0<D<a时，F'(x)<0,F(x)单调递减； 当x>a时，F(x)>0,F(x)单调递增. 故F(x)的单调递减区间为(0，a),单调递增区间为(a,+o). ②切线斜率k=F=2≤号，对任意0e(0,3]恒 成立， 整理得a≥号5+，设@=一分+红=号a-1+ 分ee0,3l, h创)的最大值为h1)=子，故a≥号 即正实数a的最小值为号 同先化简两个藏数041）=a÷升1=号，因此左 2 边函数为y=1+m-1=号+m-号， 2 右边函数为y=h1+列，交点满足方程n1+习=号十 m-z 整理得m=la1+-号+分， 令()=h1+-号+子，问题转化为y=m与y=(a 的交点个数。 (四)是偶函数，求导得)=，2。 1十2一x=1二，令知· 1+2 (x)=0得c=-1,0,1, 单调性分析： 区间 (-00,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞) p'(x) + + (x） 递增 递减 递增 递减 极大值p(±1)=ln2,极小值(0)=号 且x→士oo时o(x)→ -00, 因此y=m与y=()有1个不同交点，当且仅当号<m< n2. 即存在实数m,m的取值范园是（号，lm2)