精品解析：山东临沂市沂南县2025-2026学年八年级下学期数学期中素养展示试题

2025-2026学年度下学期期中教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若有意义，则x的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此求出x的取值范围，再结合选项判断即可. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得； ∵选项中只有，均小于， 故选D. 2. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3， C. 1，，3 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理的应用，即可求解． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项A符合题意； B、，，不能构成直角三角形，选项B不符合题意； C、，不能构成三角形，选项C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，选项D不符合题意． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，先求出的度数，再计算的度数即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式解答即可． 【详解】解：这个正八边形的内角和为． 5. 如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 6. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 7. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，只需根据矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】解：∵已知四边形是平行四边形， 对于选项A：∵，可得，∴有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故A错误； 对于选项B：∵，∴对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故B错误； 对于选项C：∵，∴对角线相等的平行四边形是矩形，因此是矩形，故C正确； 对于选项D：若，无法推出平行四边形的邻边相等，也不能得到特殊平行四边形的判定条件，无法判定为菱形，故D错误． 8. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 9. 化简成最简二次根式后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用二次根式的性质化简，去绝对值后得到最简结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数非负，分母不为0， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴，， ∴． 10. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A. 5 B. 8 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点O． 由作图可知：平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴ 在中，． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的判定是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：7____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 先求出，，根据，得出即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 根据勾股定理，得， 点在正半轴，且 点对应的实数为， 故答案为：． 13. 菱形的对角线，，则菱形的面积________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的面积公式，利用求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：24． 14. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】##340度 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 连接，如图： ∵点，分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小． 若， 则， ∴， ∴． ∴的最小值是． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】∵AD//BC （两直线平行，内错角相等） 又∵AE//CF （两直线平行，内错角相等） 在与中， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 18. 2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】（1），理由见详解 （2）小亮跑的路线更短 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解； （2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解． 【小问1详解】 解：， 理由：由题意可知，，点C在点B的正东方处， 即， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 【小问2详解】 解：由题意知，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 19. 如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）请写出与的数量关系，并说明理由． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质以及角平分线的定义推出，从而得出； （2）先由（1）和得出是等边三角形，再利用勾股定理得出的长． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 是等边三角形， ∴ ， F是的中点， ， 在中，． 20. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1） （2）木工乙的想法可行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； 【小问2详解】 解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1）与垂直且相等，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形性质及判定，勾股定理等． （1）利用正方形性质证明，继而利用全等三角形性质即可得到答案； （2）利用正方形性质计算出，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：与垂直且相等，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴与垂直且相等； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵点是的中点， ∴． 22. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 23. 综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】 （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为________，与的数量关系为________，的大小为________； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；； ；（2）四边形是菱形．理由见解析；（3）长的取值范围是 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， ∵点，分别为，的中点， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形 ∴垂直平分 ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ 故答案为：；， （2）四边形是菱形．理由如下： 折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ，，， 垂直平分， ，， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， 长的最大值为4； 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则， 折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ，，，， ， ， ， ， ； 解得：， 长的最小值为， 长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若有意义，则x的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 2. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3， C. 1，，3 D. ，， 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是菱形 8. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米 9. 化简成最简二次根式后等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A. 5 B. 8 C. 12 D. 10 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：7____ 12. 如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_____． 13. 菱形的对角线，，则菱形的面积________． 14. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 15. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值是_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 19. 如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）请写出与的数量关系，并说明理由． （2）若，，，求的长． 20. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 22. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 23. 综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】 （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为________，与的数量关系为________，的大小为________； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $