精品解析：山东德州市宁津县2025-2026学年度第二学期年级期中考试八年级数学试题

2025—2026学年第二学期八年级素养质量监测 数学试题 试卷说明： 本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 1，，2 B. ，， C. ，， D. 2，3，4 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 7. 化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 10. 如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 12. 如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为______． 13. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为____． 14. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是__________． 15. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 17. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 18. 如图，在中，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的面积． 19. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 20. 小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） （1）求旗杆的高度的长． （2）由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 21. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ； ． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 22. 已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为D，连接． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当时，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？并加以证明； （3）当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明． 23. 完成以下问题 （1）正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 （2）如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期八年级素养质量监测 数学试题 试卷说明： 本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 1，，2 B. ，， C. ，， D. 2，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解： A、最长边为，，∴能组成直角三角形，该选项符合题意； B、最长边为，，，，不能组成直角三角形，不符合题意； C、三边长为，，，即分别为， ，因为，不能组成三角形，不符合题意； D、最长边为，，，，不能组成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，，A错误； B、，等式成立，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 4. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理，对每个选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A. 若，，四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B. ， ， ， ，，四边形两组对边分别平行，是平行四边形，故B符合题意； C. 若，，四边形可为等腰梯形，不能判定是平行四边形，故C不符合题意； D. 若， ，无法推出两组对边平行，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 5. 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴上点表示的数为，点表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得，进而即可得到答案． 【详解】∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴PA=2， 又∵l⊥PA，， ∴， ∵PB=PC=， ∴数轴上点所表示的数为：． 故选B． 【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键． 6. 如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，解题关键是利用中位线定理求出对角线长度，由勾股定理求出另一条对角线的长度，再结合菱形面积公式求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， E，F分别是，边上的中点， ， 在中，， ， ． 7. 化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．由已知可得，根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ， 故选：B． 8. 如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得，即得，进而由即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长，利用勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长， ，，， ， 由平移得，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最小值为． 10. 如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】····本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积，掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键；由正方形的性质可得，，进而得，由垂直得，即得，即可得，进而由得到，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即可得，得到，即可判断②；由勾股定理可得，进而得，过点作的延长线于点，则，，由勾股定理得，即可判断③；由计算即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 过点作的延长线于点，则，， ∴， ∴点到的距离为，故③正确； ， 故④错误； 综上，正确结论的为①②③， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 12. 如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为______． 【答案】720 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式可直接代入求值， 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解本题的关键． 13. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】4-2 【解析】 【分析】由题意可知阴影部分的面积=大正方形的面积−4个小直角三角形的面积，代入数值计算即可. 【详解】直角三角形斜边长为，最短的直角边长为， 该直角三角形的另外一条直角边为， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形. 14. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是__________． 【答案】（1+2，2）． 【解析】 【详解】试题分析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，然后过点C作CE⊥x轴于点E，根据直角三角形的性质求出∠CBE=30°，在Rt△BCE中求出CE、BE的长度，再求出OE的长度，即可得解． 试题解析：∵AB=2，∠OAB=30°， ∴OB=AB=1， 在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AB0+∠CBE=90°， ∴∠CBE=∠OAB=30°， 点C作CE⊥x轴于点E， 在Rt△BCE中，CE=BC=×4=2，BE=， ∴OE=OB+BE=1+2， ∴点C的坐标是（1+2，2）． 考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质． 15. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中， ∴，  ．  ．  ． 所以，． 所以，是直角三角形． 由勾股定理得． 因为是的中点， 所以． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 18. 如图，在中，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）利用勾股定理逆定理，即可得证； （2）勾股定理求出，进而求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 即． 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理，得， 即， ． ． ． 19. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形AEBO是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质、矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等边三角形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）∵，， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴四边形AEBO是菱形； （2）∵四边形AEBO是菱形， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ， ， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵，即AF是OB边上的中线， ∴AF平分． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确找出两个全等三角形是解题关键． 20. 小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） （1）求旗杆的高度的长． （2）由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）设，则，根据勾股定理建立方程求解即可； （2）由（1）得，延长至点，使，连接，可得，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设，则， 又， 在中，， ∴， 解得， 答：旗杆的长为． 【小问2详解】 解：由（1）得，延长至点，使，连接 则 在中，， 则绳子至少要加长：， 答：绳子至少要加长． 21. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 （1）填空： ； ． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 【答案】（1），；； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； 结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）设两小正方形的边长分别为，，则有，，然后化简得，，然后通过剩余部分的面积为即可求解． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：，； ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：设两小正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴剩余部分的面积为． 22. 已知：中，E是边的中点，，平分，过点A作的垂线，垂足为D，连接． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当时，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？并加以证明； （3）当时，如图③，其他条件不变，问线段之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，利用等腰直角三角形的性质求得，证明，求得，再证明是的中位线，得到，据此即可得到； （2）延长交于点F，证明是等边三角形，再证明是的中位线，得到，据此即可得到当时，； （3）同理可得到当时，． 【小问1详解】 证明：延长交于点F，如图，则， ∵平分，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 延长交于点F，如图，则， 同（1）可证：， ∴，， 又， ∴是等边三角形，， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时， 延长交于点F，如图，则， ∵平分，， ∴，则， ∴，， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 23. 完成以下问题 （1）正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 （2）如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 【答案】（1）；成立，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，，证明，则，，所以，然后通过角平分线性质即可求解； 延长到点H，截取，连接，证明和即可求解； （）取，的中点，，连接，连接，证明四边形是正方形，由勾股定理得，由（）同理得：，设，则，，通过勾股定理求出，即，则，过作于点，再证明四边形是矩形，所以，然后证明，所以，再通过线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图（）， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， ∴； ，中线段，，之间等量关系还成立：， 如图（），延长到点，截取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：如图，取，的中点，，连接，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形是正方形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 由（）同理得：， 设，则，， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， 过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $