北京市平谷中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2026北京平谷中学高二（下）期中 数 学 (时间120分钟，满分150分) 20265 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的 1.已知f(x)=m，那么函数在=”处的瞬时变化率为 （) a.月 B.0 C.- D. 2若(3x+1)5=ax5+a4x+…+ax2+a4x+a,则a+a+a4=() A.90 B.270 C.496D.1024 3.一袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的4个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球， 在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是() 2 B C 2 D 5 5 5 4.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 1 2 8 9 (A) (B) (C) (D) 5 25 25 5.曲线y=1过点AL,0)处的切线斜率为() A.1 B.-1 C.2 D.-4 6.(1-2x)(1+3x)4展开式中含x的系数() A.120 B.27 C.126 D.-26 7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表； 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 9 10 环数 8 10 频数 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 S,5,53分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有() A.S3>51>53B.J2>51>53 C.S1>52>3 D.S2>53>51 第1页/共10页 3 8 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是() A.84 B.-84 C.15 D.-15 9函数f(w)=血x-。x的图象大致是() t: D 10.已知函数f(x)=x-nx.若对于任意x>x>0,都有f(x)<f(x,),则实数a的范围是 () A.（-0,0 B.[0,+0) C.（-w,0） D.(-0,1] 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.已知随机变量X的分布列为 X -2 1 P 0.16 0.44 0.40 则E(X)=, E(2X+5)= 12 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为 13.六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻.不同排法种数为 (用数字作答) 14.若(2x-1)5=a+a1(x-1)+a2(x-1)2+a(x-1)3+a4(x-1)4+a(x-1)5 则a3= 15.己知函数f(x)的定义域为[-1,5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表： 0 4 5 f(x) 3 1 2.5 1 3 第2页/共10页 f(x f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.给出下列四个结论： ①f(x)在区间[-1,0]上单调递增；②f(x)有2个极大值点： ③f(x)的值域为[1,3]：④如果x∈[t,5]时，f(x)的最小值是1，那么t的最大值为4. 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题：（共85分，解答应写出文字说明、.证明过程或演算步骤，） 16.(13分)跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高二年级举行跳长绳比赛（该校高二年级共4个班）， 规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳 个数最多的班级将获得冠车.为预测获得优胜奖的班级个数及冠车得主，收集了高二年级各班训练时在2分 钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）： 高二(1)班：142,131,129,126,121,109,103,98,96,94； 高二(2)班：137,126,116,108： 高二(3)班：163,134,112,103： 高二(4)班：158,132,130,127,110,106. 假设用频率估计概率，且高二年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立. (I)估计高二(1)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率； (Ⅱ)用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望X: ()在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 17.(13分)近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2021年12月至2022年5月全国新能 源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 (I)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售 销量平均值的概率； (Ⅱ)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份 个数记为X,求X的分布列和数学期望EX； 第3页/共10页 (Ⅲ)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为s2,同期各月轿车与对应的MPV月度 零售销量分别相加得到6个数据的方差为$，写出s与s的大小关系.（结论不要求证明） 18.(14分)如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD,AB=2, AD=AP=4,M,N分别是BC,PD的中点 N B (I)求证：MN/I平面PAB: (Ⅱ)再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值， 条件①：AD⊥MN: 条件②：AM=AN (注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分) 19.(15分)已知函数f(x)=x2e2-x-x+1. (1)求曲线y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程： (2)设函数g(x)=f"(x),求8(x)的单调区间： (3)判断f(x)极值点的个数，并说明理由. 20.(15分)己知函数f(x)=e(x2-ax-). (1)若曲线y=f(x)在点A,fI)处的切线平行于x轴，求实数a的值； (2)求函数f()的单调区间. 2引G15分》已加横圈c普号1a>6>0经过点a5,离心案为 v (I)求椭圆C的方程： (IⅡ)设直线1：y=+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点，O为坐标原点.若以OA,OB为邻边的平行四边 形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积是定值yi 第4页/共10页 参考答案 答案：ACCBD DBCBA 11.1.327.64 12.113240 148015③④ 16【答案】 解：(I)设事件A为“高二(1)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖， 根据题中数据，高二(1)班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次. 所以P(4)估计为3=1 102 4分 (Ⅱ)设事件A,为“高二(k)班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖，飞=1,2,3,4. 根银腿中数振，P)省计为分心)省计为异-台风心省计为任号 42 63 根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 P(X=0)=P(4AAA4)=P(A)P(A)P(4)P(A): P(X=1)=P(A44A)+P(A44A)+P(A44A)+P(AA44) P(A)P(4)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A) +P(A)P(4)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A); P(X=3)=P(AA4A)+P(A4AA)+P(AAA4)+P(A444) P(A)P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A) +P(A)P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A): P(X=4)=P(A4AA)=P(A)P(A)P(A)P(A): P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4). 所以，PK=0)估计为4：Px=)估计为是：P0x=到告计为 24 P0x=)省计为品：P=习估计为爱 8 1 7 15+18+21+813 厨以欧估计为0x+1X+2×。十3X24+4x 10分 24 24 8 12 24 6 ()在此次跳长绳比赛中，高二(3)班获得冠军的概率估计值最大. 13分 第5页/共10页 17【答案】 解：(I)这6个月MPV车型月度零售销量平均值为 x=0.8+02+02+0.3+0.4+0.4)≈0.38. 6 故MPV月度零售销量超过x的月份为12月，4月，5月. …2分 所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过x的 概率为3=0.5 …4分 6 (IⅡ)从2022年1月至2022年5月，sUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有 2个：3月和5月. 所以X的所有可能取值为0,1,2. …5分 P(X=0)= .1 P(X=1)= C4c_3 PX=2)= CC=3.…8分 C310 C35 C310 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 P 3 3 10 10 故X的数学期望Ex=0x1+1×3+2×6=6 …10分 10 5 105 (I)<s. …13分 18注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 解：(I)取AP中点E,连接EN,BE. 因为N为PD中点，所以有EN∥AD且EN=号AD. 因为BM∥AD,BM=2AD,所以EN∥BM且EN=BM. 第6页/共10页 所以四边形BMNE为平行四边形. 所以BE∥MN. 又因为MN￠平面PAB,BEC平面PAB, 所以MN∥平面PAB.…4分 (Ⅱ)选择条件①：AD⊥MN 因为平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为矩形 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PA. 又因为AD⊥MN,由(I)可知BE∥MN,BEC平面PAB, 所以AD⊥BE,又因为AD⊥AB,AB∩BE=B, 所以AD⊥平面PAB. 所以PA⊥AD. …………8分 以A为原点，以AB,AD,AP分别为x轴、y轴、x轴建立坐标系，则A(0,0,0),M(2,2,0), N(0,2,2), 则AM=(2,2,0),A市=(0,2,2)，设面AMN的法向量n=(x,y,z), 则n·A7=2x+2y=0 n·Ai=2z+2y=0 令y=1,则n=(-1,1,-1),…12分 因为AP⊥平面ABCD, 则平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值|cOs(n,A产)1=，4=B, 433 …14分 选择条件②：AM=AN. 因为平面ABCD⊥平面PAD,ABCD为矩形 所以有AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PA. 又因为AM=AN, 取AD中点为G,连接MG,NG, 则有MG=AG=2,NG∥PA. 所以△ANG≥△AMG. 所以∠AGM=∠AGN=90 所以PAAD.……… …………8分 以A为原点，以AB,AD,AP分别为x轴、y轴、之轴建立坐标系，则A(0,0,0),M(2,2,0), N(0,2,2), 则AM=(2,2,0),AN=(0,2,2),设面AMN的法向量n=(x,y,z), n·AM=2x+2y=0 则 n·AN=2x+2y=0 令y=1,则n=(-1,1,-1), 则平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值1cos(n,A中1=，4=5. ………14分 4√331 19.(1)x+y-5=0(2)答案见解析(3)2；理由见解析 【详解】(1)由题意知f(x)=xe2--x+1,定义域为R,所以f(x)=（-x2+2x)e2-x-1, 所以直线的斜率k=f'(2)=-1,f(2)=3, 第7页/共10页 所以切线方程为y=-x+5,即x+y-5=0. 4分 (2)由(1)知g(x)=f'(x)=(x2+2x)e2--1,所以g'(x)=(x2-4x+2)e2-, 令8(x)=0,即x2-4x+2=0,解得x=2-√2或x=2+√2， 当x∈(-m,2-V2),g'(x)>0, 当x∈(2-2,2+V②)，g(x)<0, 当x∈(2+V2,+∞)，g'(x)>0, 所以8(x)在(-0,2-V2),(2+V2,+∞)单调递增，在(2-√2,2+V2)单调递减.9分 (3)2个极值点，理由如下： 10分 由(2)知当x<2-√2时，8(x)在区间(-∞，2-√2)上单调递增， 8(2-)=(2-)e-1>2e-1>0,go)=-1<0, 所以存在唯一x∈(0,2-√②)，使g(3)=0: 当2-√2<x<2+√2时，8(x)在区间(2-√2,2+√2)上单调递减， g(2-V②)>0，g(2+V2)<8(2)=-1<0, 所以存在唯一x∈(2-V2,2+V2),使g(k)=0: 当x>2+√2时，（-x2+2x)<0,e2->0,所以gx)=（←x2+2x)e2--1<0 所以8(x)在区间(2+V2,+0)无零点： 综上，当x∈(-n,),8(x)=f'(x)<0, 当x∈(，x2),8(x)=f(x)>0, 当x∈(x2,+m),g(x)=f(x)<0, 所以当x=,时，∫(x)取到极小值；当x=x时，∫(x)取到极大值： 故f(x)有2个极值点. 15分 20【详解】(1)(4分)由题可得f'(x)=e[x2+(2-a)x-2a], 因为f6)在点Q,f(1)处的切线平行于x轴，所以f")=0, 即e3-3a)=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.（或写f1)=-e)(没检验扣1分） 第8页/共10页 (2)因为f'x)=e[x2+(2-a)x-2a], 令f'(x)=0,得x=-2或x=a. 当a<-2时，随x的变化，f(x),f)的变化情况如下表所示： （-0, e (a,-2) -2 (-2,+0) f'(x) 0 0 f(x) 单调递增 f(a) 单调递减 f(-2) 单调递增 所以f()在区间(-w,)上单调递增，在区间（α，-2）上单调递减，在区间(-2，+∞)上单调递增.5分 当a=-2时，因为f(x)=e(x+2)2≥0，当且仅当x=-2时，'(x)=0, 所以f()在区间(-n,+o)上单调递增. 6分 当a>-2时，随x的变化，f(x),f)的变化情况如下表所示： (-0,-2) (-2,a) a (a,+n) f'(x) + 0 0 + f(x) 单调递增 f(-2) 单调递减 f(a) 单调递增 所以f()在区间(-∞，-2)上单调递增，在区间(-2，a)上单调递减，在区间(a,+∞)上单调递增.11分 综上所述 当a<-2时，f()的单调递增区间为(-n,和(-2，+0)，单调递减区间为(a,-2): 当α=-2时，f(x)的单调递增区间为(-n,+w),无单调递减区间： 当a>-2时，f(的单调递增区间为(-”，-2)和(a,+∞)，单调递减区间为(-2，a) 21【答案】 ② 解：(I)因为离心率为2，“a=V2c, 因为a2=b2+c2,b=C,a=V2b x2 “椭圆方程为： .3分 1, 又因为椭圆经过点〈”2)， 第9页/共10页 .b=1,a=V2 六椭圆的方程为2 +y2=1 ----5分 (Ⅱ)设A(x1）,B(x2y2）,P(xoyo》 层+2=1 y=kx+t 由 可得(1+2k2)x2+4kt+2t2-2=0.-6分 4kt 2r2-2 △>0名十x2=+72=1+20 42t 2t 六%+归=k+x2)+2t=1+2派+2t=1+2 品=+品=(+y%1+y2 因为四边形OAPB为平行四边形， P() --10分 8022 4r2 因为点P在椭圆上，所以+2十a+=1 整理得 4(2k+D-1 1+2k2)2 所以1+2k2=4t2 -12分 d=以 AB=V1+:-xl,点0到直线AB的距 V1+ s边彩0P9=2Sa0A8=A81d=V1+k网-l一间 1+辰=比：-x训= 16k2t2 tV化1+x)2-4x1为=|t 2t2-2) 8(1+22-t2) 1+22y-4 1+2k2 (1+2k22 =221e-号 平行四边形OAPB的面积是定值. -15分 第10页/共10页