北京市平谷中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

平谷中学高二年级第二学期期中考试数学试题 一、选择（共40分，每题4分） 1. 二项式的展开式中，常数项的值是（ ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 10 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（ ） A. 0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 已知等差数列满足：，，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 5. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 6. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A B. C. D. 7. 从名高一学生和名高二学生中，选人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（ ） A. B. 数列有最大项 C. 数列为递增数列 D. 存在正整数，当时， 9. 在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 二、填空（共25分，每题5分） 11. 在的展开式中，的系数为___________(用数字作答) 12. 函数的定义域为________． 13. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________. 14. 在数列在中，，，,其中为常数，则_______ 15. 已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为等差数列，则______，______. 三、解答题（共85分） 16. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 17. 如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 （1）证明：平面； （2）若点为线段中点，求证：平面． （3）求二面角的余弦值． 18. 手机完全充满电量，在开机不使用状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间． 为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各台，在相同条件下进行测试，统计结果如下， 手机编号 型待机时间（） 型待机时间（） 其中，，正整数，且． （）该卖场有台型手机，试估计其中待机时间不少于小时的台数． （）从型号被测试的台手机中随机抽取台，记待机时间大于小时的台数为，求的分布列及其数学期望． （）设，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出，的值（结论不要求证明）． 19. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作 经济损失 设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立． （1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； （2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； （3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况 操作方案 编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，证明：在上单调递增； （3）判断与的大小关系，并加以证明． 21. 已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. （1）求椭圆方程的标准方程； （2）证明； （3）求的最大值． 平谷中学高二年级第二学期期中考试数学试题 一、选择（共40分，每题4分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空（共25分，每题5分） 【11题答案】 【答案】15 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】-1 【15题答案】 【答案】 ①. ##0.25 ②. 三、解答题（共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【18题答案】 【答案】（1）40；（2）见解析；（3），. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）①，理由见解析 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$