精品解析：山西吕梁市文水县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列各式中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 3. 以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 4. 的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件个数有　　． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 若一个正多边形的每个内角都是，则该多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正十二边形 C. 正十四边形 D. 正十五边形 6. 一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（ ） A. 3秒 B. 4秒 C. 5秒 D. 6秒 7. 如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 9. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 12. 如图，长方形中，在数轴上，，若以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为___________ 13. 山西雁门关长城某段，三个烽火台的位置构成三角形，测得米，米，米．若在中点和中点之间修建补给通道，则线段的长度为___________米． 14. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 15. 如图，矩形中，，，连接，若点在图中任意线段上，当，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 18. 如图，在中，点A、C分别在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 20. 项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一 模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 （1）观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； （2）观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二 应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． （3）已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 21. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ． ，即． , ． 请你根据小明的分析过程，尝试解决如下问题： （1）计算： （2）计算： （3）若，求的值． 22. 综合与实践： 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度是 ； （2）如图2，当点与点 重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积； （3）是否存在点，使得点到矩形的两条较长边的距离之比为，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 定义：若一个四边形的一条对角线将它分成两个全等的三角形，则称这个四边形为“对称四边形”． （1）在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是___________；（写出一种即可） （2）如图，正方形中，对角线，交于点，为上一点，于点，交于点、点． ①证明：； ②当时，连接，判断四边形是“对称四边形”吗？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列各式中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，是二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数为无意义，不是二次根式，故本选项符合题意； C、由于，是二次根式，故本选项不符合题意； D、，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了二次根式的加减法则，只有同类二次根式才能相加减，清楚同类二次根式的定义是解此题的关键，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，把每个根式化简即可确定． 【详解】解：A、=，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误； 故选：B． 3. 以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 4. 的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件个数有　　． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②和③，由此即得答案. 【详解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形； ②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2， ∴△BAC是直角三角形； ③∵a：b：c＝3：4：5， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，属于基础题型，掌握直角三角形的判定方法是关键. 5. 若一个正多边形的每个内角都是，则该多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正十二边形 C. 正十四边形 D. 正十五边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用正多边形内角与相邻外角互补，任意多边形外角和为的性质，计算边数即可得到结果． 【详解】解：∵正多边形的每个内角为，内角与相邻外角互补， ∴正多边形的每个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴多边形边数为， ∴该多边形为正十二边形． 6. 一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（ ） A. 3秒 B. 4秒 C. 5秒 D. 6秒 【答案】C 【解析】 【分析】将已知的下落距离h和重力加速度g代入给定公式，解关于t的方程，结合时间为正数即可得到结果． 【详解】解：由题意，，，代入公式得 化简得 整理得 ∵时间为正数 ∴， 答：物体从125米自由下落时，下落的时间为5秒． 7. 如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：D． 9. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 10. 如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 故答案为：． 12. 如图，长方形中，在数轴上，，若以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得，再分别考虑点M在点A的右侧和左侧求解即可． 【详解】解：由图得，， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点M表示的数为或． 13. 山西雁门关长城某段，三个烽火台的位置构成三角形，测得米，米，米．若在中点和中点之间修建补给通道，则线段的长度为___________米． 【答案】 200 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理计算线段的长度． 【详解】解：是中点，是中点 是的中位线 根据三角形中位线定理得：（米）． 14. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，，连接，若点在图中任意线段上，当，则的长为________． 【答案】3或或 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，，当时，分情况讨论：①当点P在边上，②点P在的中点，③点P在边上，分别求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵，， 根据勾股定理，得， 当时，分情况讨论： ①当点P在边上，如图所示：在图1中， 设， 则， 在中，根据勾股定理，得， 解得，则； ②点P在的中点，如图所示：在图2中， ， ③点P在边上，如图所示：在图3中， 设， 则， 在中，根据勾股定理，得， 解得，则； 在中，根据勾股定理，得； 综上所述：当，则的长为3或或， 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，注意分情况讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算即可解答； （2）先根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，，然后利用完全平方公式将原式变形求解即可； （2）将原式变形，再将，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴ 18. 如图，在中，点A、C分别在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的基本判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的性质得出，得出，再由平行四边形的性质和判定即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形． 19. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米， 由题意列方程为：， 解方程得， 答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米． 20. 项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一 模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 （1）观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； （2）观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二 应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． （3）已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义表示出，即可得解； （2）同（1）中方法求解即可； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 21. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ． ，即． , ． 请你根据小明的分析过程，尝试解决如下问题： （1）计算： （2）计算： （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题意得， ∴． ∴， ∴． 22. 综合与实践： 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度是 ； （2）如图2，当点与点 重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积； （3）是否存在点，使得点到矩形的两条较长边的距离之比为，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，最后根据线段的和差即可求解； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点作交于点，交于点，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； 【小问3详解】 如图所示，过点作交于点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ， 当时，，， 由折叠得：， ， ， 点的坐标为； 当时，，， 由折叠得：， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 23. 综合与探究 定义：若一个四边形的一条对角线将它分成两个全等的三角形，则称这个四边形为“对称四边形”． （1）在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是___________；（写出一种即可） （2）如图，正方形中，对角线，交于点，为上一点，于点，交于点、点． ①证明：； ②当时，连接，判断四边形是“对称四边形”吗？并说明理由． 【答案】（1）正方形（答案不唯一） （2）①见解析；②四边形是“对称四边形”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“对称四边形”的定义，结合正方形、平行四边形等性质可得答案； （2）①证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； ②连接，利用勾股定理计算可得，再根据等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，则，，进而证明可得结论． 【小问1详解】 解：根据“对称四边形”的定义，在我们所认识的四边形中，一定是“对称四边形”的是正方形、平行四边形、矩形、菱形等； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②四边形是“对称四边形”． 理由：连接，如图， ∵，，， ∴，，即， ∵， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，，又， ∴， ∴四边形是“对称四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $