精品解析：山西省吕梁市文水县2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷

2024—2025学年八年级期中阶段监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上， 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若菱形的边的长为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1.5，2，2.5 C. 3，5，7 D. 6，8，9 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A，B两地被池塘隔开，为了测出A，B两地间的距离，小明先在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15米，由此他知道了A，B两地间的距离为（ ） A. 15米 B. 20米 C. 25米 D. 30米 6. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 8. 如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ） A. 15° B. 22.5° C. 20° D. 10° 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则的周长是（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，若，则的度数为__________． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 13. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为___________． 14. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 15. 如图，在中，，，，为上的一动点，且，，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，O是的中点，延长至点D，使得，连接．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，在矩形中，，动点，分别从点，同时发出，点以的速度向点运动，到点停止运动，点以速度向点运动，到点停止运动，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． （2）连接，当为何值时，？ 19. 小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求风筝离地面的垂直高度的长． （2）若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 20. 如图，在中，，交 于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则菱形的面积是 ． 21. 阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． （1）． （2）． （3）． 22. 综合与实践 箭头形标识牌的探究与设计 素材（1） 某科技公司计划开设高峰论坛，图1是该论坛的标识牌，图2为其平面示意图．该标识牌是轴对称图形，由矩形和等腰三角形组成，且点，，，四点共线．滨滨测量了点到的距离为1米，，两点之间的距离为0.61米，且米． 素材（2） 因考虑牢固耐用，滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作标识牌中的矩形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接）．已知甲材料的单价为每平方米200元，乙材料的单价为每平方米100元． 根据上述材料，解答下列问题．  （1）滨滨说：“如果的长与，两点之间的距离相等，那么点到地面的距离就是线段的长．”他的说法对吗？请判断并说明理由． （2）滨滨发现他设计的方案中，米．求制作标识牌的总费用． 23. 综合与探究 如图，在正方形中，点（不与点，重合）在对角线所在的直线上，连接．过点作，交直线于点． （1）如图1，当点在对角线上时，求证：． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）若正方形的边长为5，，直接写出由，，，四点构成的四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年八年级期中阶段监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上， 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】A． ：被开方数x的符号不确定，若则无意义，不一定是二次根式，不符合题意． B． ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式，不符合题意． C． 一定是二次根式，符合题意． D． ：根指数为3，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 2. 若菱形的边的长为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质即可求出菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的边的长为， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：D． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1.5，2，2.5 C. 3，5，7 D. 6，8，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； B、∵，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确； C、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； D、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选：B． 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 5. 如图，A，B两地被池塘隔开，为了测出A，B两地间的距离，小明先在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15米，由此他知道了A，B两地间的距离为（ ） A. 15米 B. 20米 C. 25米 D. 30米 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点D，E是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝30（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质及坐标与图形，根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，， ∴， ∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标， 即点C的坐标是， 故选：C． 7. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 8. 如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ） A. 15° B. 22.5° C. 20° D. 10° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵正方形ABCD外侧作等边， ∴， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键． 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查化简绝对值与二次根式．先化简平方根平方项，再处理绝对值表达式，结合定义域确定绝对值符号的展开方式，最后合并同类项． 【详解】解：化简平方根平方项： （平方与根号抵消，且被开方数需满足，即）． 处理绝对值： 由于时，，故． 合并表达式： ． 因此结果为， 故选A． 10. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则的周长是（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质推出，由角平分线定义得到，由平行线的性质得到，因此，得到，同理：，根据线段的和差求出，再求的周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 平分， ， ， ， ， ， 同理：， ， ， 则的周长， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，若，则的度数为__________． 【答案】80°． 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠C=∠A=80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 12. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 13. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．由题意可知，连接，因为，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，， ， 四边形是菱形， 连接， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离为2， 故答案为：2． 14. 如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，为上的一动点，且，，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，解题关键是根据勾股定理求出待求线段的长． 连接，作于点H，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，作于点H， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先化简二次根式，再加减即可； （2）先计算二次根式除法，利用平方差公式计算二次根式乘法，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在中，O是的中点，延长至点D，使得，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵O是的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行推理即可，正确掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，在矩形中，，动点，分别从点，同时发出，点以的速度向点运动，到点停止运动，点以速度向点运动，到点停止运动，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． （2）连接，当为何值时，？ 【答案】（1） 解：当为时，四边形是矩形， 理由：由题意，可知，， 在矩形中，，， ∴， 当时，四边形是矩形， 即， 解得， ∴当为时，四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）由题意知，，则，则当时，四边形是矩形，从而求得t的值； （2）过Q作于E，则；再证明四边形是矩形，则；由可得到关于t的方程，解方程即可求得t的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，可知，， 则， 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴为时，． 19. 小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求风筝离地面的垂直高度的长． （2）若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 【答案】（1）6.5米； （2）2米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理求出，进而求出； （2）风筝沿方向上升至点，先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点， 在中，，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）； 【小问2详解】 解：如图2，风筝沿方向上升至点， 由（1），可知米， 所以（米）， 在中，由勾股定理，得（米）， 所以小明手中的线应该再放出（米）． 20. 如图，在中，，交 于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则菱形的面积是 ． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是菱形； （2）30 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）根据勾股定理得出，然后利用菱形的性质及平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积. 21. 阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 22. 综合与实践 箭头形标识牌的探究与设计 素材（1） 某科技公司计划开设高峰论坛，图1是该论坛的标识牌，图2为其平面示意图．该标识牌是轴对称图形，由矩形和等腰三角形组成，且点，，，四点共线．滨滨测量了点到的距离为1米，，两点之间的距离为0.61米，且米． 素材（2） 因考虑牢固耐用，滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作标识牌中的矩形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接）．已知甲材料的单价为每平方米200元，乙材料的单价为每平方米100元． 根据上述材料，解答下列问题．  （1）滨滨说：“如果的长与，两点之间的距离相等，那么点到地面的距离就是线段的长．”他的说法对吗？请判断并说明理由． （2）滨滨发现他设计的方案中，米．求制作标识牌的总费用． 【答案】（1） 解：滨滨的说法对， 理由：如图1，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵设计方案中的的长与，两点之间的距离相等， ∴， 在和中， ， ， ∴， 即点到地面的距离就是线段的长，故滨滨的说法对； （2）元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定及性质，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质是解决本题的关键． （1）过点作于点，可证得，据此即可判定； （2）根据轴对称图形的性质得到米，米，求得米，根据勾股定理得到的长，求出的高，得到长方形的面积为，三角形的面积，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，过点作于点，交于点， ∵该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形， 米，米， 米， 在中，（米）， 米， ∵标识牌是轴对称图形，四边形是矩形， （平方米）， （平方米）， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 根据题意得：（元）， 答：制作标识牌的总费用为元． 23. 综合与探究 如图，在正方形中，点（不与点，重合）在对角线所在的直线上，连接．过点作，交直线于点． （1）如图1，当点在对角线上时，求证：． （2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）若正方形的边长为5，，直接写出由，，，四点构成的四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，过点作于点，作于点． ∵为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2） 成立，证明如下： 证明：如图2，过点作于点，作于点． ∵为正方形对角线上的点， ∴平分， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）21或121． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作于点．通过正方形的性质以及角平分线的性质得出四边形是矩形，由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出． （2）过点作于点，作于点．四边形是矩形，由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出． （3）由正方形的性质得出，分两种情况讨论：当点在的延长线上时和当点在的延长线上时，结合（1）（2）的解题过程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为5， ∴． 分两种情况讨论： ①如图3，当点在的延长线上时，过点作于点，作于点． ∵， ∴， ∴， 在中，． 由（2）可知是等腰直角三角形， ∴； ②如图4，当点在的延长线上时，过点作于点，作于点． ∵，， ∴． 由（1）（2），可知四边形是正方形，， ∴，， ∴． 综上所述，由，，，四点构成的四边形的面积为21或121． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的综合问题，角平分线的性质定理，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $