上海市格致中学2024-2025学年高三下学期三模数学试题

格致中学二○二四学年度第二学期模拟考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获/ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利/ 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分） 1. 已知全集，集合，则________． 2. 不等式的解集为________． 3. 函数的最小正周期为________． 4. 复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 5. 直线，直线，若，则________． 6. 假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是________．（精确到0.0001） 7. 记为数列前项和，若，则_____________． 8. 在的二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有______个． 9. 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为________．（精确到1） 10. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 11. 抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 12. 一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分） 13. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 15. 已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件． 16. 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数取值范围． 18. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 19. 下表是某景点在某APP平台10天预定票销售情况： 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量y（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.50 （1）由于系统故障，该APP平台在第10天时销售量数据异常，现剔除第10天数据，求y关于t的线性回归方程，并用回归方程修正第十天的销售数据；（回归系数与销售数据都精确到0.0001） （2）为招揽游客，现推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X张盖有纪念章（可兑换纪念品），X的分布如下：．求X的期望与方差； （3）在（2）的条件下，小明购买了一份团体票，从中随机抽取2张，恰有1张有纪念章，求此情况发生的概率． 附：对于一组数据、、…、，其回归方程为，其中回归系数，． 20. 在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． （1）若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； （2）若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； （3）在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 21. 已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． （1）若，求出函数的极值点，并判断的符号； （2）若，，讨论方程解的个数； （3）若，当，，记与中较大者为．证明：． 格致中学二○二四学年度第二学期模拟考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获/ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利/ 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】三 【5题答案】 【答案】1 【6题答案】 【答案】04772 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】373 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1），第10天数据为； （2），； （3）； 【20题答案】 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【21题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $