作业考试化05（范围：空间线面关系、几何体的表面积与体积）专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间线面关系与几何体度量，通过概念辨析与计算应用构建立体几何基础认知体系，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间线面关系|2题（1,6）|概念辨析（多选含易错点）|线面平行定义及性质→平面确定条件的逻辑推理| |几何体表面积与体积|11题（2-5,7-13）|公式应用、组合体计算、最值问题|基本几何体公式推导→组合体分割法→空间想象下的体积转化（如液面问题）|

永年二中高一数学必修二作业考试化05 考试范围：空间线面关系+几何体的表面积与体积 班级 姓名 1. 下列命题中正确的是（ ） A.若直线l上有无数个点不在平面内，则. B.若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D.若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 2. 若一个球的体积与其表面积的数值相等，则该球的半径为（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 4. 将一个棱长为4cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ） A. B. C. D. 5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（    ） A． B． C． D． 6. （多选）下列命题中不正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面 7．（多选）棱长为的正四面体，下列说法正确的是（ ）第8题图 A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 8. 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该球与圆柱的体积之比为 . 9. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为 ？ 10. 在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积为 . 11. 如图，在四面体中，分别为上的点.若，，求证：。 12．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 13. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点 B，D，A1截下一个三棱锥. （1）求剩余部分的体积； （2）求三棱锥A－A1BD的体积及高. 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化05 考试范围：空间线面关系+几何体的表面积与体积 班级 姓名 1. 下列命题中正确的是（ ） A.若直线l上有无数个点不在平面内，则. B.若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D.若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【分析】A.举反例说明；B.分析三种位置关系的可能性．由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平行相交的直线，与平面外的那条直线异面；C.把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；D.由线面平行的定义判断． 【详解】当直线1与平面相交时，直线1上也有无数个点不在平面内，故A错；对于B项，也可能异面，故B错；对于C项，也可能直线在平面内，故C错；对于D项，∵1∥a，∴l与没有公共点，∴l与内任意一条直线都没有公共点，故D对. 2. 若一个球的体积与其表面积的数值相等，则该球的半径为（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【分析】设球的半径为R时，根据体积公式和表面积公式列方程求解即可. 【详解】设球的半径为R时，其体积和表面积的数值相等.则，.即球的半径时，其体积和表面积的数值相等，故选D. 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】A 【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，所以，解得.故选：A. 4. 将一个棱长为4cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意知，球内切于正方体，，. 所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为. 5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案. 【详解】已知底面圆的半径，由，则， 故该陀螺的体积. 6. （多选）下列命题中不正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：ABD 7．（多选）棱长为的正四面体，下列说法正确的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 【答案】BCD 【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可． 【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，所以正四面体的表面积．故D选项正确；如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心， 正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误；正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r，则有，即，解可得，C选项正确；将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为，正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以正方体的对角线为，，．故B选项正确．故选：BCD． 8. 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该球与圆柱的体积之比为 . 【答案】 【分析】利用圆柱和球的体积公式，求出体积即可. 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.球的体积，圆柱的体积，. 9. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为 ？ 【答案】6 【分析】按侧面放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的，故可得水的体积为棱柱的，由此可得按底面放置时液面的高． 【详解】设三棱锥的体积为，按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，设按底面放置时液面的高为，则，故． 10. 在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积为 . 【答案】 【分析】由已知中底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，则圆柱的上底面为中截面，可得，，，. 11. 如图，在四面体中，分别为上的点.若，，求证：。 【答案】，证明见解析 【分析】利用线线平行，再利用等角定理即可得到. 【详解】，证明如下： ，.，，，. 由等角定理可得，. 12．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 【答案】(1)；(2)当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为 【分析】（1）根据锥体体积公式运算求解； （2）利用轴截面分析可得，进而可求侧面积并结合二次函数求最值. 【详解】（1）因为，即圆锥的体积为． （2）该几何体的轴截面如图所示． 由题意可得设圆柱的底面半径为r cm，由题意可知，可得，则圆柱的侧面积，所以当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为． 13. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥. （1）求剩余部分的体积； （2）求三棱锥A－A1BD的体积及高. 【答案】（1）；（2）三棱锥A－A1BD的体积为，高为. 【分析】（1）由题意，先判断剩余部分的体积是正方体的体积减去棱锥的体积，结合棱锥和正方体的体积公式，即可求解； （2）由（1），利用等体积法求得三棱锥体积，再设三棱锥的高为，结合等边三角形的面积解方程即得高. 【详解】（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，又三棱锥的体积， 所以剩余部分的体积； （2） 由（1）知，设三棱锥的高为，是等边三角形，边长为， 即面积，则，即， 解得，故三棱锥A－A1BD的体积为，高为. 学科网（北京）股份有限公司 $