专题强化04：立体几何结构、直观图、表面积和体积【九大题型】训练-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何核心模块，以“概念辨析—直观转化—度量计算—综合应用”为逻辑主线，覆盖9类基础与综合题型，通过典例变式强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体结构辨析|1典例+2变式|以易混概念辨析为主，考查棱柱、棱台等定义理解|从几何体本质属性出发，建立概念认知基础| |斜二测画法及计算|3题型共3典例+6变式|涵盖直观图绘制、还原及面积长度计算，强调空间与平面转化|通过斜二测规则实现平面与空间图形的互化，培养几何直观| |表面积与体积计算|5题型共5典例+10变式|涉及柱锥台球及组合体的表面积、体积公式应用，含动态最值问题|以公式推导为基础，结合空间结构特征进行度量计算，提升运算能力| |综合问题|1典例+2变式|整合结构、直观图与度量知识，考查复杂几何体的体积表面积及动态问题|综合应用前序知识，培养空间想象与逻辑推理能力|

专题强化04：立体几何结构、直观图、表面积和体积 【题型归纳】 · 题型一：空间几何体结构辨析 · 题型二：斜二测法画平面图、立体图的直观图 · 题型三：由直观图还原几何图 · 题型四：斜二测法的有关计算 · 题型五：柱、锥、台的表面积 · 题型六：柱、锥、台的体积 · 题型七：球体的表面积与体积 · 题型八：组合体的表面积和体积 · 题型九：空间几何体的综合问题 【题型探究】 题型一：空间几何体结构辨析 【典例1】．（25-26高一下·福建莆田·期中）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【变式1】．（25-26高一下·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 【变式2】．（25-26高一下·广东江门·期中）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 题型二：斜二测法画平面图、立体图的直观图 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【变式1】．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【变式2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 题型三：由直观图还原几何图 【典例3】．（25-26高一下·广东湛江·期中）已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中. (1)画出的原图并求其面积； (2)若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积. 【变式1】．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【变式2】．（23-24高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 题型四：斜二测法的有关计算 【典例4】．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 【变式1】．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______. 【变式2】．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 题型五：柱、锥、台的表面积 【典例5】．（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型六：柱、锥、台的体积 【典例6】．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·河南·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 题型七：球体的表面积与体积 【典例7】．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 【变式1】．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 【变式2】．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 题型八：组合体的表面积和体积 【典例8】．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，某几何体上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，． (1)若，该几何体的体积为192，求正四棱锥的高； (2)若，求该几何体的表面积． 【变式1】．（25-26高一下·广东·期中）如图，圆锥的底面半径是1，高是. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值. 【变式2】．（25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 题型九：空间几何体的综合问题 【典例9】．（25-26高一下·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积． ②若是线段上的动点，求的最小值． 【变式1】．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在正四棱锥中，，，M为的中点. (1)求正四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【变式2】．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一下·北京丰台·期中）下列说法不正确的是（    ） A．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．棱柱的侧棱相互平行 D．正棱柱的高与侧棱长相等 2．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 3．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·重庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 三、填空题 8（25-26高一下·安徽芜湖·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________． 9．（25-26高一下·北京丰台·期中）如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______. 10．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 11．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 四、解答题 12．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中. (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 13．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 14．（25-26高一下·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 15．（25-26高一下·河北·期中）如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 16．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）. (1)求该正四棱锥的表面积与体积； (2)求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化04：立体几何结构、直观图、表面积和体积 【题型归纳】 · 题型一：空间几何体结构辨析 · 题型二：斜二测法画平面图、立体图的直观图 · 题型三：由直观图还原几何图 · 题型四：斜二测法的有关计算 · 题型五：柱、锥、台的表面积 · 题型六：柱、锥、台的体积 · 题型七：球体的表面积与体积 · 题型八：组合体的表面积和体积 · 题型九：空间几何体的综合问题 【题型探究】 题型一：空间几何体结构辨析 【典例1】．（25-26高一下·福建莆田·期中）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】ABC 【详解】对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件， 但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形， 但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得， 轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 【变式1】．（25-26高一下·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 【答案】ACD 【分析】结合棱柱、棱台、圆台的定义逐一判断各选项的正误 【详解】对于A，棱柱的侧面均为平行四边形，故侧棱互相平行且相等，故A对； 对于B，只有当以直角梯形垂直于两底的腰为旋转轴旋转时，所得旋转体才是圆台，若以上底、下底或斜腰为旋转轴，得到的几何体都不是圆台，故B错； 对于C，棱台是由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到的，所有侧棱延长后必然交于原棱锥的顶点，即侧棱所在直线交于同一点，故C对； 对于D，该表述是棱台的标准定义，截面与底面平行，满足棱台的结构特征，故D对； 故选：ACD 【变式2】．（25-26高一下·广东江门·期中）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 【答案】ABC 【详解】对于A，棱锥的一个面是多边形，其余各面的三角形必须有公共顶点，若仅满足“一个面是多边形，其余各面是三角形”， 不一定是棱锥（例如两个同底的三棱锥拼接得到的几何体符合描述，但不是棱锥），A错误； 对于B，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，但直四棱柱的底面不一定是矩形，只有底面为矩形的直四棱柱才是长方体，B错误； 对于C，只有以直角三角形的直角边为轴旋转一周，得到的旋转体才是圆锥， 若绕斜边旋转一周，得到的是两个同底圆锥组成的组合体，不是圆锥，C错误； 对于D，圆台是平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，因此所有母线延长后一定交于原圆锥的同一点，D正确. 题型二：斜二测法画平面图、立体图的直观图 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【答案】 【分析】根据题意，得到梯形水平放置的直观图仍为梯形，画出其直观图，求得直观图中梯形的高，结合梯形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，在梯形中，可得， 因为为等腰直角三角形，所以, 又因为梯形水平放置的直观图仍为梯形，如图所示， 其中上底和下底的长度都不变，且， 所以，即梯形的高为， 梯形的面积． 【变式1】．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【答案】（1）图形见解析；（2）原图的面积，直观图的面积； 【分析】（1）确定各点对应点的位置，即可得到直观图； （2）根据面积公式计算可得. 【详解】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示：    （2）原图的面积， 直观图的面积. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【详解】（1）在已知的正五边形中，取正五边形的中心O为坐标原点， 对称轴为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴．分别过点B，E作、 ，与x轴分别交于G，H．画对应的，，使． （2）以点为中点，在轴上取，分别过， 在轴的上方作，，并使，； 在轴上轴的上方，取，在轴的下方，取， 并以点为中点画，且． （3）连接，，，，所得的五边形就是正五边形 的直观图． 题型三：由直观图还原几何图 【典例3】．（25-26高一下·广东湛江·期中）已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中. (1)画出的原图并求其面积； (2)若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积. 【答案】(1)图象见解析，8 (2)， 【详解】（1）由斜二测画法知，原图中，， 的原图如下图所示： ； （2）以的边为旋转轴旋转一周所得几何体为：底面圆半径为4，高为4，母线长为的圆锥， 故所得几何体的体积为， 所得几何体的表面积为. 【变式1】．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 【变式2】．（23-24高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】(1)图形见解析，面积为18 (2)表面积为，体积为 【分析】（1）把直观图还原出原平面图形，由此计算四边形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是圆柱，挖去一个圆锥，由此求解即可． 【详解】（1）如图所示：梯形为还原的平面图形， 作交于点， 因为，所以， 所以. （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱挖去一个以为底面半径的圆锥， 所以所形成的几何体的表面积为， ， 所形成的几何体的体积为. 题型四：斜二测法的有关计算 【典例4】．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图所示的是水平放置的的斜二测画法的直观图，已知，，则在中，_________． 【答案】 【详解】，，取中点，连结，则， ， ， ， 把直观图还原成平面图形如下： ， ． 【变式1】．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______. 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则进行计算即可. 【详解】过点C'作轴交轴于点，如下图所示： 设正三角形的边长为，则，解得， 在中，， ， 由正弦定理， 即，可得， 因此，顶点对应的点到轴的距离是. 【变式2】．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 【答案】 【分析】根据题意和斜二测画法可知四边形为直角梯形，且，从而可求出原图形的面积. 【详解】 过点作，则， 在等腰中，. 所以原图形中， 所以. 题型五：柱、锥、台的表面积 【典例5】．（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的表面积得到球的半径，由球与圆台内切得到圆台的高，进而求出圆台上下底面半径和母线长，求出表面积. 【详解】已知球的表面积为，设球的半径为，则得，解得， 因为球与圆台上下底面都相切，所以圆台的高. 设圆台上下底面半径分别为、（满足），因为圆台有内切球，则母线长， 即 .又，所以 ， 即 ，整理得 解得，即 ， ，母线. 所以圆台的表面积 . 【变式1】．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 【变式2】．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 题型六：柱、锥、台的体积 【典例6】．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知上底面积，下底面积， 对上底：； 对下底：. 圆台轴截面中，母线与底面所成角为，高与半径差构成直角三角形的两条直角边，满足. 由于，，因此 . 则圆台体积为. 【变式1】．（25-26高一下·河南·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【分析】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，所以为边长为的等边三角形， 又，且，所以是的中位线， 设，则平面，且， 所以正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 【变式2】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 题型七：球体的表面积与体积 【典例7】．（25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 【答案】 【分析】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，利用正弦定理求出，再根据求出，进而得到表面积． 【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为， 则，解得， ， 则其外接球表面积为． 【变式1】．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 【答案】 【详解】由题意，直三棱柱，，所以直三棱柱可以补成以、、为棱的长方体， 则球O为该长方体的外接球，设球O的半径为R，则， 所以球O的表面积为． 【变式2】．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 题型八：组合体的表面积和体积 【典例8】．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图，某几何体上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，． (1)若，该几何体的体积为192，求正四棱锥的高； (2)若，求该几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设正四棱锥的高为， 因为该几何体的体积为192， 所以； （2）在等腰三角形中，底边上的高为， 所以该几何体的表面积为： . 【变式1】．（25-26高一下·广东·期中）如图，圆锥的底面半径是1，高是. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题可知，， 所以剩下几何体的表面积为：， 体积为 （2）取上一点，设，则， 所以， 所以圆柱侧面积为， 所以当时，圆柱侧面积最大，为 【变式2】．（25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：被截去的几何体为三棱锥，体积为． （2）解：因为，， 所以，，， ． ，， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 所以． 题型九：空间几何体的综合问题 【典例9】．（25-26高一下·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积． ②若是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)312 (2)①；② 【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高 所以正四棱柱的体积为， 正四棱锥的体积为 所以该几何体的体积为. （2）①，所以，    正四棱锥侧面的高为 所以正四棱锥的侧面积为 ②将正方形展开在一个平面， ， 当三点共线时，最短， 所以. 所以的最小值为. 【变式1】．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在正四棱锥中，，，M为的中点. (1)求正四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正四棱锥的性质可求得四个侧面三角形和底面的面积，进而可求表面积； （2）求出正四棱锥的高，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积的关系可求解. 【详解】（1）由四棱锥是正四棱锥知， 四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底面是正方形， 因为，，所以， ，， 所以表面积为. （2）因为棱锥是正四棱锥，所以点在底面的投影是正方形的中心， 设底面的中心为，连接，则底面， ，，， 因为M为的中点，所以到底面的距离是的一半， 所以三棱锥的体积是三棱锥体积的一半， ，， 所以. 【变式2】．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. (1)当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； (2)取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】(1)（i）10（ii）； (2) 【详解】（1）（i）因为底面ABCD为正方形，所以， 则长方体的表面积为； （ii）由图和已知， ， 故三棱锥体积为， 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则， 因此三棱锥外接球体积； （2）因为M、N分别为、的中点， 所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一下·北京丰台·期中）下列说法不正确的是（    ） A．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．棱柱的侧棱相互平行 D．正棱柱的高与侧棱长相等 【答案】B 【详解】A选项：底面是正多边形的直棱柱，侧棱垂直底面，符合正棱柱定义，说法正确； B选项：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，仅底面是正多边形不能判定为正棱锥，说法不正确； C选项：棱柱的侧棱相互平行且相等，是棱柱基本性质，说法正确； D选项：正棱柱属于直棱柱，侧棱垂直底面，高与侧棱长相等，说法正确. 2．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 【答案】D 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 3．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 4．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的表面积为， 又，解得， 所以圆锥的高为：， 所以该圆锥的体积为： 5．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 6．（25-26高一下·重庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据斜二测画法可知，平行于轴方向长度不变，平行于轴方向长度变成原来的一半， 轴与轴所成角为，把直观图转变为原图就是相反过程，如图所示， 在直角梯形中，由于，， 所以，为等腰直角三角形，故 由，，得 ，， 四边形的周长是. 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 三、填空题 8（25-26高一下·安徽芜湖·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________． 【答案】186 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，所以棱台的斜高为， 所以该棱台的表面积为． 9．（25-26高一下·北京丰台·期中）如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______. 【答案】 【分析】利用斜二测画法画出原图，求出，即可求解. 【详解】如图，运用斜二测画法画出原图，原图为平行四边形. 由， 得， 所以， 所以平行四边形的面积为. 10．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 11．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和． 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 四、解答题 12．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中. (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 【答案】(1)面积为，周长为 (2)体积为，表面积为 【分析】（1）画出原图，根据原图计算出平面四边形的面积及周长； （2）判断出旋转形成的几何体的结构，进而求得体积和表面积. 【详解】（1）依题意，， 所以，画出原图如下图所示： 所以面积为， ，所以周长为. （2）四边形以为旋转轴，旋转一周， 所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图： 所以体积为. 表面积为. 13．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 【答案】(1)体积为，侧面积为 (2)21 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）为圆台的高，如图，在梯形中，作，垂足为， 则，， ， 在中，，， ． ∴圆台的高， 圆台的体积为， 圆台的侧面积为 （2）如图，延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线侧面展开， 连接，则线段的长度即为这根绳的最短长度， ，，即， 解得，， ∵圆台的下底面周长为， ∴弧的长度为，， 在中，，，， 由余弦定理得：， ， 故这根绳的最短长度为21. 14．（25-26高一下·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． ，， 因此阴影部分形成的几何体的体积为． （2）圆锥侧面积， 圆柱的侧面积， 底面面积， 表面积为． 15．（25-26高一下·河北·期中）如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 由四棱锥为正四棱锥知，所以，且， 又，所以， 则， 故正四棱锥的侧面积为． 长方体的侧面积为， 长方体的下底面积为， 所以这个几何体的表面积为． （2）连接，设的交点为，连接， 易知为正四棱锥的高，且， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为． 长方体的体积为． 所以这个几何体的体积为．    16．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）. (1)求该正四棱锥的表面积与体积； (2)求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）如图，， ， 则该正四棱锥的表面积为， 体积； （2）根据在棱锥中平行于底面的截面与底面相似，所以四边形为正方形， 设正四棱柱底面边长为，高为， ，即， ， 正四棱柱侧面积， 则当时，正四棱柱侧面积的最大值为，此时． 2 学科网（北京）股份有限公司 $