作业考试化01（范围：有关平面向量模的运算）专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量模的运算，通过基础计算、几何应用及综合题型，系统覆盖模的定义、数量积公式及几何意义，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|5题|已知模与夹角求向量差的模、单位向量模的运算|从模的定义出发，结合数量积公式推导| |几何应用|3题|平行四边形、三角形中向量模的关系判断|向量模与几何图形性质的关联推导| |综合应用|5题|含参数模的关系、夹角为锐角的条件、多选题|模的运算拓展到参数问题及综合判断|

永年二中高一数学必修二作业考试化01 测试范围：有关平面向量模的运算 1.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|等于(　　) A.7 B.17 C.13 D.8 【解析】因为|a-b|=||=||,由勾股定理,得AB=13,所以|a-b|=13. 【答案】C 2.已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=1,则|m-n|等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】∵|m-n|2=m2-2m·n+n2=3-21+1=1,∴|m-n|=1. 【答案】D 3.在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD是(　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 【解析】∵||=||,||=||=||,∴||=||,∴四边形ABCD是矩形. 【答案】B 4.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有(　　) A.A,B,C三点必在同一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 【答案】C 【解析】如图,因为m,n的长度相等,所以||=||,即||=||,所以四边形ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠B=90°. 5．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以，因为，平方得，即， 所以，即.故选：B． 6．（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．与夹角为 D． 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的运算律，结合向量垂直、夹角的相关计算公式逐项判断可得答案. 【详解】∵，∴，∴，即， ∴，选项B正确.∵，∴不成立，选项A错误. ∵，，∴与夹角为，选项C正确. ∵，∴，选项D正确.故选：BCD. 7．（多选）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量数量积的运算化简求模、数量积判断AD，利用夹角公式可得，从而判断BC. 【详解】由，得，整理得①．由，得，整理得②．由①②及得，所以，所以，所以，所以反向共线，所以，故选：AC． 8.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=2,|a+b|=,则△ABC的形状是　　　　　　.  【答案】等腰直角三角形 【解析】因为||=|a|=2,||=|b|=2,||=|a+b|=,所以△ABC为等腰直角三角形. 9.设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且|ka+b|=|a-kb|(k>0).若a与b的夹角为60°,则k=　　　　　.  【答案】1 【解析】由|ka+b|=|a-kb|,得k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2, 即(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|=1,|b|=1,a·b=1×1×cos 60°=,∴k2-2k+1=0,∴k=1. 10．已知向量，满足，，则________． 【答案】 【分析】由，两边平方并整理得，由，平方得，展开求解即可. 【详解】因为，所以，即，整理得，又因为，所以，则，所以． 11．已知平面向量为单位向量，若，则___________． 【答案】 【分析】由平面向量为单位向量得到，将两边平方求得，则整理代入数值得解. 【详解】平面向量为单位向量，，，，， ，，，， . 12．（1）已知向量满足，求. （2）已知向量、满足，，，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先由向量数量积的定义求出，再由向量的数量积的运算律即可求得结果. （2）根据向量的数量积的运算律即可求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，，， 所以. 13．已知，，. (1)求；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可得出的值； （2）分析可知以及与方向不相同，结合平面向量数量积的运算性质和平面向量共线的基本定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，，所以， 即，即，所以. （2） 因为与的夹角为锐角，所以，即， 即，解得，若与同向，设，其中，因为、不共线，所以，解得，由题意可知，与方向不相同，则， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化01 考试范围：有关平面向量模的运算 班级 姓名 1.已知=a,=b,||=5,||=12,∠AOB=90°,则|a-b|等于(　　) A.7 B.17 C.13 D.8 2.已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=1,则|m-n|等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD是(　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 4.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有(　　) A.A,B,C三点必在同一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 5．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．（多选）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．与夹角为 D． 7．（多选）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=2,|a+b|=, 则△ABC的形状是　　　.  9.设向量a,b满足|a|=1,|b|=1,且|ka+b|=|a-kb| (k>0).若a与b的夹角为60°,则k=　　.  10．已知向量，满足，，则________． 11、已知平面向量为单位向量，若，求． 12．（1）已知向量满足，求. （2）已知向量、满足，，，求. 13．已知，，. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $