平面向量的数量积题型一：定义与简单计算专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型一：定义与简单计算 卷首导学 本卷定位 数量积的定义是平面向量模块的基石.无论是坐标运算、投影问题，还是最值与范围问题，最终都要回归到定义本身.本卷专攻定义的直接应用，属于月考、期中的必考基础题型，分值占比约10–15分.拿下这部分，后面的专题才能游刃有余. 核心易错点 1. 夹角判断错误——两向量必须平移至共起点，再判断夹角。看到“三角形中，求”，夹角是的补角，不是本身. 2. 特殊角余弦值混淆——，；，.一正一负，差之毫厘. 3. 反求参数忽略多解——已知型条件求参数时，往往有正负两个解，丢掉一个就是半对半错. 训练目标 1. 能瞬间写出数量积定义公式 ，并准确代入. 2. 能熟练处理已知数量积反求模长或夹角的变式. 3. 养成“先判断夹角，再代公式”的解题习惯. 建议用时：45–50分钟. 使用说明：本卷所有题目严禁建系，请全部用定义法求解，以此检验对定义本质的理解深度. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 已知，，和的夹角是，求（ 　　） A. 48   B. 24   C. 12   D. 0 2. 已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：(1)；(2)；(3).以下关于数量积的值，判断正确的是（ 　　） A. (1)−10，(2)20，(3)0   B. (1)10，(2)±20，(3)0   C. (1)−10，(2)20或−20，(3)0   D. (1)10，(2)20，(3)1 3. 已知中，，，当或时，试判断的形状（ 　　） A. 锐角三角形或直角三角形   B. 钝角三角形或直角三角形   C. 锐角三角形或等腰三角形   D. 钝角三角形或等边三角形 4. 在中，，，，则的值为（ 　　） A. 20   B. −20   C.    D. 5. 已知，，且与不共线.当为何值时，向量与互相垂直？（ 　　） A.    B.    C.    D. 6. 已知，，则“向量共线”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件   C. 既不充分也不必要条件   D. 充要条件 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 已知，，与的夹角为，则______. 8. 若向量与的夹角为，则向量与的夹角是______. 9. 已知向量满足，，且与的夹角为，则等于______. 10. 已知为单位向量，且.若，设的夹角为，则______. 三、解答题（共25分） 11. （12分）已知向量与的夹角为，，，求： （1） ； （2） . 12. （13分）已知，. （1） 若，求； （2） 若与的夹角为，求； （3） 若与垂直，求当为何值时，？ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 B 【详细解答】 由数量积定义公式： 【易错警示】 常见错误：将错记为，导致答案误选为.记忆口诀：“60度余弦一半，30度余弦根三半.” 【规律总结】 已知模长和夹角求数量积，直接代入定义公式三步走： ①写出定义式； ②代入模长； ③代入夹角余弦值.零失误的关键是准确记忆特殊角的余弦值. 2. 【答案速览】 C 【详细解答】 （1） 时，，. （2） 时，夹角为或.同向时，得20；反向时，得−20.故为20或−20. （3） 时，，数量积为0. 【易错警示】 平行条件极易漏解！包含同向（夹角0°）和反向（夹角180°）两种情况.只写20是典型的漏解错误，考试中至少扣一半分. 【规律总结】 平行向量的数量积有两种可能：同向取正，反向取负.垂直向量的数量积恒为0.记住：平行分同反，垂直必为零. 3. 【答案速览】 B 【详细解答】 由数量积定义：. 因为，，数量积的符号完全由决定. 当时，，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形. 当时，，∠A=90°，△ABC为直角三角形. 【易错警示】 注意：向量与的夹角就是∠A本身，因为它们的起点都是A.若题目是与，夹角则是∠B的补角，此处最容易出错. 【规律总结】 判断三角形形状的口诀：数量积看符号，正锐负钝零直角. 4. 【答案速览】 B 【详细解答】 在△ABC中，向量与的夹角不是∠C，而是∠C的补角. 将平移至起点C，则的方向指向B，的方向指向A，两向量夹角为. 【易错警示】 此题90%的错误发生在夹角判断.看见与就想当然认为是∠C（60°），直接用算出20.正确做法是：把向量平移到共起点，再看夹角. 【规律总结】 三角形中两边的向量数量积：若两个向量是“头对头”或“尾对尾”，夹角是内角；若“头对尾”，夹角是内角的补角.本题（尾B头C）与（尾C头A），C点一头一尾，夹角为补角. 5. 【答案速览】 A 【详细解答】 两向量垂直的充要条件是数量积为0： 展开得：，即. 代入模长：，. 解得. 【易错警示】 常见错误 ①：展开时符号出错，把写成.正确公式是平方差：. 常见错误 ②：解出后，只写，漏掉.垂直条件对方向不敏感，正负两个方向都满足. 【规律总结】 向量垂直问题的通法：写出数量积=0 → 展开 → 代入模长 → 解方程.遇到平方根一定考虑正负两个解. 6. 【答案速览】 B 【详细解答】 若同向共线，则的模为，此时满足. 若反向共线，则的模为，此时. 所以，“共线”推不出“|a+b|=5”（因为反向时是1），充分性不成立. 反之，若，说明两向量同向共线，必要性成立. 因此是必要不充分条件. 【易错警示】 学生容易忽略反向共线的情况，误认为共线就意味着模相加.实际上，共线包含同向（模相加）和反向（模相减）两种可能. 【规律总结】 判断充分必要性的口诀：先看谁推谁，再看是否唯一.共线有两种情况，不能唯一确定模长，所以充分性不成立；但模长等于模长之和能唯一确定同向共线. 二、填空题 7. 【答案速览】 −72 【详细解答】 先展开多项式： 再计算. 代入：. 【易错警示】 常见错误 ①：展开时漏项或符号错，如中间项应合并为. 常见错误 ②：记成，导致数量积算错. 【规律总结】 向量多项式展开与代数多项式完全一致，只需记住，.展开后代入数量积公式即可. 8. 【答案速览】 60° 【详细解答】 向量与的夹角为60°，即从逆时针（或顺时针）旋转60°得到的方向. 向量与方向相反，与方向相反.两向量同时反向，相对夹角保持不变，仍为60°. 【易错警示】 不要误以为反向会使夹角变成120°.夹角是两向量之间的“相对旋转角度”，两向量同时反向，旋转角度不变.画个图就能确认. 【规律总结】 两个向量同时乘以−1，夹角不变.一个向量乘以−1，夹角变为补角（180°−原夹角）. 9. 【答案速览】 【详细解答】 先求. 再展开： . 【易错警示】 展开时注意：，中间项合并为.符号出错是本题最常见的失分点. 【规律总结】 向量数量积的运算律与代数多项式一致，展开→合并同类项→代入已知量，按部就班即可. 10. 【答案速览】 【详细解答】 单位向量：，且. 先求：， ，故. 再求：. 由夹角公式：. 【易错警示】 注意：题目给的是，展开时中间项是，符号容易写错.由于，此题该项为0，符号不影响结果，但如果换成非零的题目就会致命. 【规律总结】 求向量夹角的标准流程： ①求两向量的数量积； ②求两向量的模长； ③代入.模长永远通过来计算. 三、解答题 11. （12分） 【答案速览】 （1） −5  （2） 【详细解答】 （1） . （2）先求. 再求. 所以. 【易错警示】 第(1)问：不要展开后一项项算，直接用平方差公式即可，省时且不易出错. 第(2)问：最常见错误是把直接写成，这是绝对错误的！向量模的减法不满足.必须平方，利用数量积公式计算. 【规律总结】 口诀：见模就平方，遇数量积想定义. 处理型问题的唯一正解：先平方，展开为，再开方. 【一题多解】 第(2)问也可用余弦定理在三角形中求解：以、为邻边作平行四边形，是对角线长度，用余弦定理得.定义法的平方展开本质上就是余弦定理的代数形式，两者等价.本卷要求用定义法，因为它能更直接地训练数量积公式的运用. 12. （13分） 【答案速览】 （1） 2或−2  （2）   （3） 【详细解答】 （1） 时，夹角为或. 同向时：. 反向时：. （2）. ，故. （3）由与垂直：，即，得. 由： 展开： 代入：，得，解得. 【易错警示】 第(1)问：平行条件必须分同向和反向讨论，漏解扣一半分. 第(2)问：切忌把写成，这是初学者最高频的错误. 第(3)问：垂直条件的转化必须准确——垂直数量积为0.另外注意先由第一个垂直条件求出，再代入第二个垂直条件解k. 【规律总结】 本题涵盖了定义法的三大核心应用： 平行条件求数量积——分同向反向. 模长计算——平方展开. 垂直条件求参数——数量积为零列方程. 【一题多解】 第(3)问也可用坐标法：设，由且可求出的坐标，再代入垂直条件求k.但定义法更直接，无需建系，计算量更小.本卷要求用定义法，以此检验对数量积运算律的掌握程度. $ 《平面向量的数量积》题型一：定义与简单计算 卷首导学 本卷定位 数量积的定义是平面向量模块的基石.无论是坐标运算、投影问题，还是最值与范围问题，最终都要回归到定义本身.本卷专攻定义的直接应用，属于月考、期中的必考基础题型，分值占比约10–15分.拿下这部分，后面的专题才能游刃有余. 核心易错点 1. 夹角判断错误——两向量必须平移至共起点，再判断夹角。看到“三角形中，求”，夹角是的补角，不是本身. 2. 特殊角余弦值混淆——，；，.一正一负，差之毫厘. 3. 反求参数忽略多解——已知型条件求参数时，往往有正负两个解，丢掉一个就是半对半错. 训练目标 1. 能瞬间写出数量积定义公式 ，并准确代入. 2. 能熟练处理已知数量积反求模长或夹角的变式. 3. 养成“先判断夹角，再代公式”的解题习惯. 建议用时：45–50分钟. 使用说明：本卷所有题目严禁建系，请全部用定义法求解，以此检验对定义本质的理解深度. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 已知，，和的夹角是，求（ 　　） A. 48   B. 24   C. 12   D. 0 【答案速览】 B 【详细解答】 由数量积定义公式： 【易错警示】 常见错误：将错记为，导致答案误选为.记忆口诀：“60度余弦一半，30度余弦根三半.” 【规律总结】 已知模长和夹角求数量积，直接代入定义公式三步走： ①写出定义式； ②代入模长； ③代入夹角余弦值.零失误的关键是准确记忆特殊角的余弦值. 2. 已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：(1)；(2)；(3).以下关于数量积的值，判断正确的是（ 　　） A. (1)−10，(2)20，(3)0   B. (1)10，(2)±20，(3)0   C. (1)−10，(2)20或−20，(3)0   D. (1)10，(2)20，(3)1 【答案速览】 C 【详细解答】 （1） 时，，. （2） 时，夹角为或.同向时，得20；反向时，得−20.故为20或−20. （3） 时，，数量积为0. 【易错警示】 平行条件极易漏解！包含同向（夹角0°）和反向（夹角180°）两种情况.只写20是典型的漏解错误，考试中至少扣一半分. 【规律总结】 平行向量的数量积有两种可能：同向取正，反向取负.垂直向量的数量积恒为0.记住：平行分同反，垂直必为零. 3. 已知中，，，当或时，试判断的形状（ 　　） A. 锐角三角形或直角三角形   B. 钝角三角形或直角三角形   C. 锐角三角形或等腰三角形   D. 钝角三角形或等边三角形 【答案速览】 B 【详细解答】 由数量积定义：. 因为，，数量积的符号完全由决定. 当时，，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形. 当时，，∠A=90°，△ABC为直角三角形. 【易错警示】 注意：向量与的夹角就是∠A本身，因为它们的起点都是A.若题目是与，夹角则是∠B的补角，此处最容易出错. 【规律总结】 判断三角形形状的口诀：数量积看符号，正锐负钝零直角. 4. 在中，，，，则的值为（ 　　） A. 20   B. −20   C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 在△ABC中，向量与的夹角不是∠C，而是∠C的补角. 将平移至起点C，则的方向指向B，的方向指向A，两向量夹角为. 【易错警示】 此题90%的错误发生在夹角判断.看见与就想当然认为是∠C（60°），直接用算出20.正确做法是：把向量平移到共起点，再看夹角. 【规律总结】 三角形中两边的向量数量积：若两个向量是“头对头”或“尾对尾”，夹角是内角；若“头对尾”，夹角是内角的补角.本题（尾B头C）与（尾C头A），C点一头一尾，夹角为补角. 5. 已知，，且与不共线.当为何值时，向量与互相垂直？（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 两向量垂直的充要条件是数量积为0： 展开得：，即. 代入模长：，. 解得. 【易错警示】 常见错误 ①：展开时符号出错，把写成.正确公式是平方差：. 常见错误 ②：解出后，只写，漏掉.垂直条件对方向不敏感，正负两个方向都满足. 【规律总结】 向量垂直问题的通法：写出数量积=0 → 展开 → 代入模长 → 解方程.遇到平方根一定考虑正负两个解. 6. 已知，，则“向量共线”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件   C. 既不充分也不必要条件   D. 充要条件 【答案速览】 B 【详细解答】 若同向共线，则的模为，此时满足. 若反向共线，则的模为，此时. 所以，“共线”推不出“|a+b|=5”（因为反向时是1），充分性不成立. 反之，若，说明两向量同向共线，必要性成立. 因此是必要不充分条件. 【易错警示】 学生容易忽略反向共线的情况，误认为共线就意味着模相加.实际上，共线包含同向（模相加）和反向（模相减）两种可能. 【规律总结】 判断充分必要性的口诀：先看谁推谁，再看是否唯一.共线有两种情况，不能唯一确定模长，所以充分性不成立；但模长等于模长之和能唯一确定同向共线. 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 已知，，与的夹角为，则______. 【答案速览】 −72 【详细解答】 先展开多项式： 再计算. 代入：. 【易错警示】 常见错误 ①：展开时漏项或符号错，如中间项应合并为. 常见错误 ②：记成，导致数量积算错. 【规律总结】 向量多项式展开与代数多项式完全一致，只需记住，.展开后代入数量积公式即可. 8. 若向量与的夹角为，则向量与的夹角是______. 【答案速览】 60° 【详细解答】 向量与的夹角为60°，即从逆时针（或顺时针）旋转60°得到的方向. 向量与方向相反，与方向相反.两向量同时反向，相对夹角保持不变，仍为60°. 【易错警示】 不要误以为反向会使夹角变成120°.夹角是两向量之间的“相对旋转角度”，两向量同时反向，旋转角度不变.画个图就能确认. 【规律总结】 两个向量同时乘以−1，夹角不变.一个向量乘以−1，夹角变为补角（180°−原夹角）. 9. 已知向量满足，，且与的夹角为，则等于______. 【答案速览】 【详细解答】 先求. 再展开： . 【易错警示】 展开时注意：，中间项合并为.符号出错是本题最常见的失分点. 【规律总结】 向量数量积的运算律与代数多项式一致，展开→合并同类项→代入已知量，按部就班即可. 10. 已知为单位向量，且.若，设的夹角为，则______. 【答案速览】 【详细解答】 单位向量：，且. 先求：， ，故. 再求：. 由夹角公式：. 【易错警示】 注意：题目给的是，展开时中间项是，符号容易写错.由于，此题该项为0，符号不影响结果，但如果换成非零的题目就会致命. 【规律总结】 求向量夹角的标准流程： ①求两向量的数量积； ②求两向量的模长； ③代入.模长永远通过来计算. 三、解答题（共25分） 11. （12分）已知向量与的夹角为，，，求： （1） ； （2） . 【答案速览】 （1） −5  （2） 【详细解答】 （1） . （2）先求. 再求. 所以. 【易错警示】 第(1)问：不要展开后一项项算，直接用平方差公式即可，省时且不易出错. 第(2)问：最常见错误是把直接写成，这是绝对错误的！向量模的减法不满足.必须平方，利用数量积公式计算. 【规律总结】 口诀：见模就平方，遇数量积想定义. 处理型问题的唯一正解：先平方，展开为，再开方. 【一题多解】 第(2)问也可用余弦定理在三角形中求解：以、为邻边作平行四边形，是对角线长度，用余弦定理得.定义法的平方展开本质上就是余弦定理的代数形式，两者等价.本卷要求用定义法，因为它能更直接地训练数量积公式的运用. 12. （13分）已知，. （1） 若，求； （2） 若与的夹角为，求； （3） 若与垂直，求当为何值时，？ 【答案速览】 （1） 2或−2  （2）   （3） 【详细解答】 （1） 时，夹角为或. 同向时：. 反向时：. （2）. ，故. （3）由与垂直：，即，得. 由： 展开： 代入：，得，解得. 【易错警示】 第(1)问：平行条件必须分同向和反向讨论，漏解扣一半分. 第(2)问：切忌把写成，这是初学者最高频的错误. 第(3)问：垂直条件的转化必须准确——垂直数量积为0.另外注意先由第一个垂直条件求出，再代入第二个垂直条件解k. 【规律总结】 本题涵盖了定义法的三大核心应用： 平行条件求数量积——分同向反向. 模长计算——平方展开. 垂直条件求参数——数量积为零列方程. 【一题多解】 第(3)问也可用坐标法：设，由且可求出的坐标，再代入垂直条件求k.但定义法更直接，无需建系，计算量更小.本卷要求用定义法，以此检验对数量积运算律的掌握程度. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $