专题01 平面向量的概念及运算常考19题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

专题01 平面向量的概念及运算（含基本定理） 题型1 平面向量的有关概念（易错点） 题型11 用基底表示向量（常考点） 题型2 向量加法及几何意义 题型12 利用平面向量基本定理证明三点共线（重点） 题型3 向量加法运算 题型13 利用平面向量基本定理求参数（难点） 题型4 向量数乘概念的辨析 题型14 向量的加、减、数乘的坐标运算 题型5 平面向量的混合运算 题型15 向量的模的坐标运算 题型6 向量线性运算的几何应用（重点） 题型16 向量共线的坐标表示（常考点） 题型7 共线定理的应用（难点） 题型17 已知三点共线求参数（常考点） 题型8 已知向量共线求参数（常考点） 题型18 线段定比分点 题型9 已知三点共线求参数（常考点） 题型19 由向量的线性运算解决最值和范围问题（难点） 题型10 基底的概念及辨析 题型一 平面向量的有关概念（共4小题） 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·河北唐山·月考）下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 【答案】A 【详解】平行向量又叫共线向量，故A正确； 单位向量方向可能不同，所以不一定相等，故B错误； 长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D错误. 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反 B．向量的长度与向量的长度相等 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．若与同向，且，则 【答案】BC 【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错； B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对； C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对； D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错. 题型二 向量的加法及几何意义（共5小题） 5．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 6．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 7．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，所以既是的中点，又是的中点， 所以， 故选：D 8．（多选）（2026高三·全国·专题练习）下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【分析】直接利用向量的概念，向量的线性运算，三角形法则，向量的模的应用逐项判断． 【详解】对于A，因为向量与的方向相同或相反且，所以的方向必与或的方向相同，故A正确； 对于B，因为，的方向相反，且，可知的方向与的方向相同，故B错误； 对于C，当A，B，C三点共线时，也可以满足，故C错误； 对于D，当，反向时，，等式不成立，故D错误. 故选：BCD. 9．（25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 题型三 向量的加减运算（共4小题） 10．（25-26高一下·江苏扬州·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 11．（25-26高三上·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据向量的加法和减法的运算性质，即可求解. 【详解】. 故选：D 12．（多选）（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 13．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 题型四 向量数乘概念的辨析（共3小题） 14．（25-26高一上·北京西城·期末）设，是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由数乘定义可知，若，则； 若，表示向量的长度是向量长度的2倍，但，的方向不一定相同， 所以由推不出， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 16．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则且 C．若且，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【详解】向量不能比大小，故A错误； 若，，则不且，故B错误； 若，则满足且，但不一定成立，故C错误； 对任一非零向量，是一个与同向的单位向量，故D正确. 题型五 平面向量的混合运算（共3小题） 17．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 故选：D 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的个数是（    ） ①；②；③. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，故①正确； ②,故②正确； ③，故③不正确； 故选：B 19．（25-26高一下·安徽六安·月考）（1）化简 （2）设向量，，求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，， 所以原式 ． 题型六 向量线性运算的几何应用（共5小题） 20．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，    则. 故选：C. 21．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】B 【详解】因为，且E为中点， 所以， 则长度是的4倍. 故选：B. 22．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 23．（2025·海南·一模）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 24．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，点为的重心，则，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，即，D正确. 故选：CD． 题型七 共线定理的应用（共5小题） 25．（25-26高一下·贵州遵义·月考）设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 26．（25-26高一下·河南·月考）在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设，则， 又，所以. 设，， 则， 又， 所以，解得，所以. 27．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 28．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 29．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以 故答案为： 题型八 已知向量共线求参数（共4小题） 30．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，存在，使得， 因不共线，则有，解得. 故选：D. 31．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 32．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 33．（25-26高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量，向量，，且与的方向相反，则实数_____________． 【答案】 【详解】因为与的方向相反,即向量与的方向相反， 所以存在实数，使得， 又，不共线， 所以，消去，得． 因为，所以， 所以． 故答案为： 题型九 已知三点共线求参数（共3小题） 34．（23-24高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得. 故选：C 35．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 36．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 题型十 基底的概念及辨析（共3小题） 37．（25-26高一下·河南·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底； 选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底； 选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底； 选项D：假设两向量共线，则存在实数， 使得，即， 若是基底，故不共线， 系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立， 故两向量不共线，可以作为基底． 38．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 39．（多选）（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 题型十一 用基底表示向量（共6小题） 40．（25-26高一上·河北唐山·月考）在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，得， 所以. 41．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 42．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 43．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 44．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 45．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 【答案】 【详解】 由已知可得：， 所以，设，则， 因为，所以，即， 因为三点共线，所以， 即，所以， 把代入可得： ， 即，所以， 故答案为： 题型十二 利用平面向量基本定理证明三点共线（共2小题） 46．（25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； （2）由， 则，所以，即三点共线. 47．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，；(2)证明过程见解析 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 题型十三 利用平面向量基本定理求参数（共6小题） 48．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 49．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 50．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 51．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 【答案】 【详解】在中，，E为AC中点，得， 由，得，， 由点共线，点共线，得，解得， 所以. 52．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 53．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由平行四边形中，为的中点，可得为的中点， 可得，所以， 又由，可得， 因为点在上，且，可得， 又因为，则， 所以， 因为，所以，所以. 题型十四 向量的加、减、数乘运算的坐标运算（共6小题） 54．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，则． 故选：D． 55．（25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 56．（多选）（25-26高一·全国·假期作业）以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设， 若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即； 若，则，即，解得，即； 故选：AB 57．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 58．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 【答案】2 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，，，， 由，可得， ， 故答案为：2 59．（24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)，，． 【详解】（1）由题意得， ，， 所以； （2）因为， 又， 所以， 解得，即； （3）设为坐标原点，∵， ∴，即， 又， ∴，即， ∴． 题型十五 向量的模的坐标运算（共3小题） 60．（25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）    A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，    则，， ， ． 故选：B． 61．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知平面向量，若，则（   ） A． B．0 C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】因为，， 所以 ， 又， 所以， 所以， ， 所以或 62．（25-26高三上·福建福州·月考）已知向量，，则__________． 【答案】 【详解】， ， ． 故答案为：． 题型十六 向量共线的坐标表示（共5小题） 63．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 64．（2026·陕西商洛·二模）已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 65．（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即， 解得：. 66．（25-26高三上·浙江·期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，，即向量共线， 所以“”是“向量共线”的充分条件； 若“共线”，则，解得或， 所以“”不是“向量共线”的必要条件. 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件. 故选：A. 67．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）如图所示：    因为，所以， 设，则， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 所以点D的坐标为. （2）因为为的中点，所以， 由， 且， 所以， 所以， 因为，所以， 解得. 题型十七 已知三点共线求参数（坐标表示）（共3小题） 68．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 69．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 70．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 题型十八 线段定比分点（共4小题） 71．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 72．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 73．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知O为坐标原点，，若，则与共线的单位向量为________． 【答案】或. 【详解】因为，所以， 由，可得，即，所以， 可得，所以， 则， 所以与向量同向的单位向量为，与向量反向的单位向量为， 所以向量共线的单位向量为或. 故答案为：或. 74．（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 【答案】或 【难度】0.85 【分析】利用向量的坐标运算即可求得坐标，注意有两解. 【详解】由得， 因为点P在直线上，且， 所以或． 因为可设， 所以，可得， 或，可得， 则点P的坐标是或． 故答案为：或． 题型十九 由向量的线性运算解决最值和范围问题（共6小题） 75．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【详解】如图： 由，得, 所以，又三点共线，所以. 所以， 因为，故，当且仅当时， 即时等号成立,所以 76．（25-26高一下·湖北十堰·月考）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（   ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】B 【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解. 【详解】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为，则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则，又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，，令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为，所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 77．（多选）（25-26高一下·江苏泰州·月考）在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确. 对于B，因为，所以，， 由三点共线可得，. 因为，所以，， 由三点共线可得，. 而，所以有，整理得，故B正确. 对于C，因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确. 对于D， 因为， 所以， 当且仅当即时取等号.而，故D错误. 78．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    79．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 80．（25-26高一下·贵州遵义·月考）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念及运算（含基本定理） 题型1 平面向量的有关概念（易错点） 题型11 用基底表示向量（常考点） 题型2 向量加法及几何意义 题型12 利用平面向量基本定理证明三点共线（重点） 题型3 向量加法运算 题型13 利用平面向量基本定理求参数（难点） 题型4 向量数乘概念的辨析 题型14 向量的加、减、数乘的坐标运算 题型5 平面向量的混合运算 题型15 向量的模的坐标运算 题型6 向量线性运算的几何应用（重点） 题型16 向量共线的坐标表示（常考点） 题型7 共线定理的应用（难点） 题型17 已知三点共线求参数（常考点） 题型8 已知向量共线求参数（常考点） 题型18 线段定比分点 题型9 已知三点共线求参数（常考点） 题型19 由向量的线性运算解决最值和范围问题（难点） 题型10 基底的概念及辨析 题型一 平面向量的有关概念（共4小题） 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 2．（25-26高一上·河北唐山·月考）下列说法中正确的是（   ） A．平行向量一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量都是在同一条直线上的向量 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反 B．向量的长度与向量的长度相等 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．若与同向，且，则 题型二 向量的加法及几何意义（共5小题） 5．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026高三·全国·专题练习）下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 9．（25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型三 向量的加减运算（共4小题） 10．（25-26高一下·江苏扬州·月考）（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 12．（多选）（25-26高一上·安徽·期末）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 题型四 向量数乘概念的辨析（共3小题） 14．（25-26高一上·北京西城·期末）设，是向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 16．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则且 C．若且，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 题型五 平面向量的混合运算（共3小题） 17．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的个数是（    ） ①；②；③. A．1 B．2 C．3 D．4 19．（25-26高一下·安徽六安·月考）（1）化简 （2）设向量，，求． 题型六 向量线性运算的几何应用（共5小题） 20．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 21．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 22．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·海南·一模）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 24．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 共线定理的应用（共5小题） 25．（25-26高一下·贵州遵义·月考）设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 26．（25-26高一下·河南·月考）在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 28．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 29．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则__________． 题型八 已知向量共线求参数（共4小题） 30．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 31．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 33．（25-26高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量，向量，，且与的方向相反，则实数_____________． 题型九 已知三点共线求参数（共3小题） 34．（23-24高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 35．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 36．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 题型十 基底的概念及辨析（共3小题） 37．（25-26高一下·河南·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 39．（多选）（24-25高一下·福建泉州·期中）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型十一 用基底表示向量（共6小题） 40．（25-26高一上·河北唐山·月考）在中，为边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 41．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 44．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________. 题型十二 利用平面向量基本定理证明三点共线（共2小题） 46．（25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 47．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 题型十三 利用平面向量基本定理求参数（共6小题） 48．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 49．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 50．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 51．（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，在中，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则______． 52．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十四 向量的加、减、数乘运算的坐标运算（共6小题） 54．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高三上·湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 56．（多选）（25-26高一·全国·假期作业）以，，三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 59．（24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 题型十五 向量的模的坐标运算（共3小题） 60．（25-26高一上·北京西城·期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（   ）    A． B． C．5 D． 61．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知平面向量，若，则（   ） A． B．0 C．0或 D．0或 62．（25-26高三上·福建福州·月考）已知向量，，则__________． 题型十六 向量共线的坐标表示（共5小题） 63．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 64．（2026·陕西商洛·二模）已知向量，若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D． 65．（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 66．（25-26高三上·浙江·期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 67．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 题型十七 已知三点共线求参数（坐标表示）（共3小题） 68．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 69．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 70．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型十八 线段定比分点（共4小题） 71．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 72．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 73．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知O为坐标原点，，若，则与共线的单位向量为________． 74．（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 题型十九 由向量的线性运算解决最值和范围问题（共6小题） 75．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,，，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 76．（25-26高一下·湖北十堰·月考）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（   ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 77．（多选）（25-26高一下·江苏泰州·月考）在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 78．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 79．（25-26高一上·江苏南通·月考）如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 80．（25-26高一下·贵州遵义·月考）如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $