山东淄博第十八中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

**基本信息** 高二下学期期中试卷，涵盖导数、排列组合、概率等核心知识，解答题结合近视防控、家庭用电量等现实情境，注重数学应用与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数运算、二项式定理|基础概念辨析，如第1题导数运算| |多选题|3/18|排列组合、概率关系|多选项设计，如第9题路线计数与排列| |填空题|3/15|切线方程、正态分布|简洁计算，如第12题函数切线| |解答题|5/77|概率应用、函数单调性|现实情境综合，如17题近视眼镜概率、19题函数单调性证明|

《山东省淄博第十八中学2025-2026学年高二下学期5月期中试卷》参考答案及精品解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D A A C B CD AD 题号 11 答案 ABD 1．D 【解析】根据导数运算法则逐一计算,即可选择. 【详解】因为，，，，所以选D. 【点睛】本题考查导数运算法则，考查基本求解能力，属基础题. 2．A 【分析】直接由排列数和组合数公式计算即可. 【详解】由，则 则，得即， 解得n=6或（舍）. 故选：A 3．D 【分析】直接利用二项式展开式的通项公式求解即可 【详解】解：展开式中的第4项为， 故选：D 4．D 【分析】由题意可知不等式在上恒成立，对称轴为.分别对、、三种情况讨论函数的单调性求出函数对应的最小值，结合m的取值范围分别求出、取值范围即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以不等式在上恒成立， 令，，对称轴为. 当即时，函数在上单调递减， ，得， 所以， 由知，，无法判断的取值范围； ， 由知，； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，得， 所以， 由知，， ； 当即时，函数在上单调递增， ，所以，. 故选：D. 5．A 【解析】利用分步计数原理直接求出名次的不同排列情况. 【详解】解:甲和乙的限制最多,先排甲和乙有种情况, 余下的3人有种排法,所以共有种排列情况. 故选:A. 【点睛】本题考查了排列与简单的计数原理,解题的关键是弄清是分类还是分步完成,属基础题. 6．A 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 据此可得：的系数为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 7．C 【分析】由可判断. 【详解】∵，∴事件与相互独立. 故选：C. 8．B 【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分类再分配即可求解. 【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A正确； 对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, , 依题意 两两互斥, 其和为, 并且， ， ， ， 应用全概率公式, 有， 故B错误； 对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同, 则， ， ， 故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为的口袋的概率最大，故C正确； 对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份， 再放入三个不同的口袋， 则不同的分配方法有，故D正确. 故选：B. 9．CD 【分析】利用分步乘法计数原理判断A；利用组合计数问题判断B；利用定序问题判断C；求出二项式展开式指定项系数判断D. 【详解】对于A，从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条， 则从村经过村去村不同的路线有条，A错误； 对于B，在5人中确定3人去参观，没有排序要求，有种，B错误； 对于C，10个节目全排列有!种，则四个节目顺序固定共有种排法，C正确； 对于D，含项的系数为，D正确. 故选：CD 10．AD 【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可. 【详解】从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个； 其中恰好有个二等品的基本事件有个， 恰好有个二等品的概率； 也可由对立事件计算可得. 故选：AD. 11．ABD 【分析】利用求导转化为，再结合是偶函数，可证明周期性，然后赋值可得，，从而可计算各选项. 【详解】由求导可得：， 因为，所以， 又因为是偶函数，所以， 由上两式可得，又可得， 又两式相减得：， 所以是一个周期为的周期函数，故C错误； 由可得， 又由可得，故A正确； 又由可得， 因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确； 由， 由，结合是一个周期为的周期函数，可得， 所以， 即，故D正确； 故选：ABD 12． 【分析】先求导，求解，再结合，以及直线方程的点斜式，即得解 【详解】由题意，， 故， 故切线方程为： 即 故答案为： 13． 【分析】根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数. 【详解】由于正态分布曲线的对称轴为105，故， 由题意可知， 根据对称性可得， 所以数学成绩在分到分之间的学生有， 故答案为： 14． 【分析】令，可得出，利用二项式定理求出、中的常数项，作差即可得解. 【详解】令，则， 的展开式通项为， 在中，令，可得， 在中，令，可得. 因此，展开式中的常数项为. 故答案为：. 15．（1）600；（2）288 【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①分析易得首位数字有5种情况，②将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，由分步计数原理计算可得答案； （2）先从3个奇数中选出2个捆绑一起，看成整体，再将0、2、4排好，将奇数安排在0、2、4的空位中，据此分析可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析： ①0不能在首位，则首位数字有5种情况， ②将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，有种情况， 则有个六位数； （2）根据题意，分2步进行分析： ①先从3个奇数中选出2个捆绑一起，看成整体，有种情况， ②再将0、2、4排好，将奇数安排在0、2、4的空位中， 若0放在2，4的最前面和最后面，再安排奇数，有种安排方法， 若0放在2，4的中间，再安排奇数，共有种安排方法， 综上，共有种，即有288个符合题意的六位数． 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可， （2）利用赋值法，分别令和，然后将得到的式子相加可得答案 【详解】（1）当时，， 故 （2）当时， 即① 当时， 即②. 由①②相加得： 即有. 17．(1) (2)， (3)， 【分析】（1）由条件概率公式计算即可得解； （2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差； （3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解． 【详解】（1）解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件， “这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件， 所以， 所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜， 则他戴的是角膜塑形镜的概率是． （2）解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2， 其中：；； ， 所以男生人数的分布列为： 0 1 2 所以， （3）解：由已知可得：， 则：， 18．(1)， 估计去年全市每户年均用电量 (2) (3)第一档用电标准为，理由见解析 【分析】（1）由所矩形面积之和为1,求a，再根据平均值的计算方法估计即可 （2）求出“用电量大于的频率”，再根据二项分布的概率求解即可； （3）设第一档用电标准为，根据左边的频率为0.80求解即可 【详解】（1）因为，所以； 故估计去年全市每户年均用电量 （2）由条形统计图可得，用电量在以上的频率为，故若在该市居民中取甲､乙､丙3户，恰有1户用电量在以上的概率为 （3）设第一档用电标准为，因为前四组的频率和为：， 前三组的频率之和为， 所以频率为0.8时对应的数据在第四组，故，解得，故第一档用电标准为． 19．（1）在和上单调递增，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求得函数的导数，得到函数的单调性，同时利用函数的单调性，得时，，即可证明；（2）首先求，并变形为，再利用函数的单调性，结合零点存在性定理，求得函数取得极小值也即最小值，即可证明. 【详解】（1）的定义域为， 当且仅当时，所以在和上单调递增. 因此当时，，所以即. （2）证明：. 由（1）知单调递增，对任意，， 因此，存在唯一使得即 且当时，单调递减；当时，，单调递增. 故当时，取得极小值也即最小值，所以当时存在最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博第十八中学2025-2026学年高二下学期5月期中试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将好自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡和试卷的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，交回本场考试的答题卡。 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 2．若，则n=（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．展开式中的第4项为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间单调递增，则（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都没有得到第一，但你们也都不是最后一名”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有（    ） A．36种 B．48种 C．18种 D．54种 6．的展开式中的系数为（ ） A． B． C．120 D．200 7．若，，则事件与的关系是（ ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与互斥又相互独立 8．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（    ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 二、多选题（共3小题，每小题6分） 9．下列说法正确的是（    ） A．从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条，则从村经过村去村不同的路线有7条数. B．现有三张极地馆参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60. C．实验中学举办文艺晚会，共10个节目，其中四个节目顺序固定共有151200种排法. D．在的展开式中，含项的系数为55. 10．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12．函数的图像在点处的切线方程为___________. 13．我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_________人. 14．在的展开式中，常数项为__________． 四、解答题（共5小题） 15（13分）．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数． （1）可组成多少个不同的六位数？ （2）可组成多少个0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻的不同的六位数？ 16（15分）．已知为偶数，. (1)当时，求的值； (2)证明：. 17（15分）．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生） (1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大? (2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差； (3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差. 18（17分）．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在至之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示. (1)求的值；并用样本估计去年全市每户年均用电量（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； (2)用样本的频率作为概率，若在该市居民中取甲､乙､丙3户，且3户用电量互不影响，估计恰有1户用电量在以上的概率； (3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：）的建议，并简要说明理由. 19（17分）．已知函数. （1）讨论的单调性，并证明：当时，. （2）求证：当时，函数存在最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $