精品解析：山东青岛市2025-2026学年高二年级部分学生调研检测数学试题

青岛市2026年高二年级部分学生调研检测 数学试题 2026.05 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 2. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 3. 已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 4. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式求出，再根据定义可判断其为偶函数，而根据反例可判断ACD的正误. 【详解】对于A，， 设，， ，其中， 故不为奇函数，为偶函数，故A错误，B正确. ，其中， 设，则， 故 故既不是奇函数，也不是偶函数，故CD错误. 5. 某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面， 因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系，求出的单调减区间，进而利用单调性比较大小即可. 【详解】令，则. 由，得. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以， 即. 7. 桌面上有以下四种几何体，设P是几何体表面上的一点，任意转动几何体（始终与桌面保持接触），则点P到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】逐一求出选项ACD中几何体外接球直径及选项B中球的直径即可. 【详解】对于A，棱长为1的正方体外接球直径为，点P到桌面的距离最大值为； 对于B，表面积为的球直径为2，点P到桌面的距离最大值为2； 对于C，轴截面是边长为1的正方形的圆柱外接球直径为，点P到桌面的距离最大值为； 对于D，设体积为且轴截面为直角三角形的圆锥底面圆半径为，则， 解得，因此此圆锥外接球直径为3，点P到桌面的距离最大值为3. 8. 数列的前n项和为，数列与函数满足：（1）定义域为；（2）与均单调递减；（3）使.则称与具有“D关系”.给出结论： ①与具有“D关系” ②与具有“D关系” ③与具有“D关系”的函数有有限个 ④与具有“D关系”的函数有无限个 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列与函数具有“D关系”的定义计算判断①②，设，结合题意计算判断③④. 【详解】对于①，是公差为的等差数列，单调递减， 函数是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 其前项和， 令，则，解得或（舍去） 所以使成立， 故与具有“D关系”， ①正确； 对于②，是以公比为且首项的等比数列，单调递减， 是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 其前项和， 令，则，解得， 所以使成立， 故与具有“D关系”， ②正确； 对于③，数列单调递减，设， 此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 数列的前项和为， 令，则，即， 所以取时，即可保证恒有解， 故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故③错误； 对于④，数列单调递减，设， 此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 数列的前项和为 令，则，即， 所以取时，即可保证恒有解， 故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故④正确； 综上所有正确结论的个数为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（ ） A. 棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点 B. 四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥 C. 任意一个棱柱的侧面都是矩形 D. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据多面体的相关概念，逐项分析判断即可判断ABC，对D，根据长方体外接球直径公式和球的表面积公式即可判断. 【详解】对A，用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体就是棱台， 所以棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点，故A正确； 对B，由四边形的对角线交点为平面， 无法确定四边形是正方形，所以四棱锥不一定是正四棱锥，故B错误； 对C，任意一个棱柱的侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是矩形，故C错误； 对D，球的直径， 所以半径，则球的表面积为，故D正确. 故选：AD 10. 已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为8 B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为 C. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】当取不同值时，得到曲线的方程，明确曲线类型及的值，求出对应曲线的焦距，即可判断A； 求出对应曲线的离心率，即可判断B；根据题目条件，列出不等式组，根据不等式组解的情况，即可判断C，D. 【详解】对于A，当时，曲线的方程为，是椭圆 . 其中，则，所以焦距，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为，是双曲线 . 其中，则，，所以离心率为，故B正确； 对于C，若曲线为焦点在轴上的双曲线， 需满足，即， 不等式组无解，所以不存在这样的实数，故C错误； 对于D，若曲线为焦点在轴上的椭圆，需满足， 其中可化为，此不等式无解， 所以不等式组无解，所以不存在这样的实数，故D错误； 故选：ACD 11. 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. 在E上任取一点P，则的最小值为 B. 在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形 C. 若函数的最大值为b，则点在该星形线上 D. 若E上三点满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两点间的距离公式及基本不等式，求得的最小值，判断A；根据关于直线对称和关于y轴对称的点的特征，利用向量的模及夹角的坐标表示判断的形状，判断B；利用导数分析函数的单调性，并求得最大值，从而得到的值，代入曲线E的方程，判断C；由单位圆及正三角形的性质，得的关系，判断D. 【详解】对于A，设，则， 由对称性，只需要考虑的情形， 此时 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，， 向量，， 显然，所以，且， 所以是等腰直角三角形，故B正确； 对于C，由，得， 令，得，，此时， 令，，， 因为在上单调递减，是增函数，所以在上单调递减. 所以当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为， 即，整理得，故C正确； 对于D，在单位圆上取三点， 则的外接圆即为该单位圆，点为外接圆圆心. 的重心为，即， 故的外心与重心重合，是正三角形，. 不妨取，， 则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以，则， 故. 13. 从1，2，3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数，，，则能被4整除的概率为________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意知a，b，c中至少有1个数为偶数，分类讨论，求出对应的总数，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】考虑abc能被4整除的抽法： 由abc能被4整除可知，a，b，c中至少有1个数为偶数， 若a，b，c中恰有1个偶数2个奇数，则偶数须为4或8，不同的抽法有种， 若a，b，c中恰有2个偶数1个奇数，则不同的抽法有种， 若a，b，c均为偶数，则不同的抽法有种， 所以使abc能被4整除的不同抽法有种， 因此abc能被4整除的概率为， 故答案为：. 14. 已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题当平面平面时，这时三棱锥的体积最大，作出图形，依次确定外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积；由，,就是相交所成的二面角的平面角，运算得解. 【详解】因为的面积为定值，所以当平面平面时，点到平面的距离最大， 这时三棱锥的体积最大. 设的中点为的中心为的中点为，则平面， ∵四棱锥外接球的球心为，则平面， 又，所以是四边形外接圆的圆心，故平面， 则， 此球的半径， 所以外接球的表面积； 这时， 在中， 又，, 则， 故. 故答案为：，. 四、解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司调查员工使用AI工具熟练度，统计如下表： 熟练使用AI 不熟练使用AI 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI熟练度有关？ （2）从男员工按是否熟练使用AI进行分层抽样，抽取12人，再从中抽3人，记不熟练人数为X，求X的分布列与数学期望. 参考公式：，. 【答案】（1）无关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】1）利用卡方计算公式得出的值，再与临界值表对照可得结论； （2）根据分层抽样得出抽取的不熟练使用AI的有4人，利用古典概型结合组合数分别计算出概率，得到分布列，并计算数学期望即可. 【小问1详解】 零假设：使用AI熟练度与性别无关. 由列联表可知， 根据小概率值的独立性检验，不能认为性别与使用AI熟练度有关. 【小问2详解】 从男员工按是否熟练使用AI进行分层抽样，抽取12人， 则熟练使用AI的有人，不熟练使用AI的有人， 所以可能的取值为. ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，分别为底面的中心和的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合题意根据面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的夹角的余弦值，得到和的关系式即可求出的值. 【小问1详解】 连接，如图所示： 因为底面为矩形，为底面的中心， 所以为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为，所以， 所以四点共面， 因为，且， 平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由题意以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 由， 则， 则， 设平面的法向量， 则 ， 令，则，所以， 设平面的法向量， 则， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则 ， 化简得：， 解得：， 所以. 17. 设函数. （1）证明：； （2）已知函数. （i）若，求； （ii）若，，，求函数与及围成的曲边三角形AOB的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）令，利用导数分析的单调性，即可证得； （2）（i）因为，所以进行累加可得，结合等差数列的前项和公式可求得，从而得到； （ii）将曲边三角形的边等分成n份，则曲边三角形可以看成由n个小矩形组成，根据（i）的结论，利用极限思想即可求得n个小矩形的面积和，即曲边三角形AOB的面积. 【小问1详解】 令，则恒成立， 所以是增函数. 所以. 【小问2详解】 （i）由， 得. 即. 因为， 所以， 所以， 所以. 因此若，则； （ii）若将曲边三角形的边等分成n份，则曲边三角形可以看成由n个小矩形组成. 把等分成份，在每一个小区间上，取右端点值，对应的函数值为. 所以每个小矩形的面积为：， 所以所有小矩形的面积和为. 当时，，所以. 所以曲边三角形AOB的面积为. 18. 已知抛物线上一点到它的准线的距离为3.若点A，B，C都在抛物线上，且点A，C在y轴右侧、点B在y轴左侧，的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足，直线BC交轴于点N.记，，的面积分别为，，. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线上一点到它的准线的距离为3构建方程，求得p，则可得准线方程； （2）设点，，由面积公式可知，由点G为的重心，且在y轴上，可以表示，由相似三角形可知，即可表示，令，由，得，将视为二次函数求得值域，进而求得的范围，取倒即可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，得，即抛物线方程为, 抛物线的准线方程为. 【小问2详解】 设点，， ， 因为点G为的重心，且在y轴上， 所以，且， 则， 由相似三角形可知， 所以 令， 因为，所以，故，， 则，故. 19. 设函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）在中，内角，，所对的边长分别为a，b，c. （i）若，求的最小值； （ii）证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）最小值为（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，令，再求导数，分别对与进行讨论即可. （2）（i）设，则，由在上单调递减得到，再由正弦定理以及基本不等式，化简求解即可. （ii）利用排序不等式可结合不等式的基本性质可得出，再利用三角形三边关系结合三角形内角和定理可推导出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，所以，令， 所以， 当时，且，所以，所以在上是单调递减， 因为， 所以对于任意，都有，所以当时，， 所以在上单调递减， 当时，且，所以， 所以在上是单调递减， 因为，所以对于任意，有，所以， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 （i）不妨设，则，由（1）可得在上单调递减， 则有， 即，由正弦定理可得， 所以有， 即， 即，整理可得， 当时取等号，故所求最小值为. （ii）因为，，由排序不等式可得， 所以， 所以， 又由，，， 可得 ， 可得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市2026年高二年级部分学生调研检测 数学试题 2026.05 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 5. 某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 桌面上有以下四种几何体，设P是几何体表面上的一点，任意转动几何体（始终与桌面保持接触），则点P到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 8. 数列的前n项和为，数列与函数满足：（1）定义域为；（2）与均单调递减；（3）使.则称与具有“D关系”.给出结论： ①与具有“D关系” ②与具有“D关系” ③与具有“D关系”的函数有有限个 ④与具有“D关系”的函数有无限个 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（ ） A. 棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点 B. 四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥 C. 任意一个棱柱的侧面都是矩形 D. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为 10. 已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为8 B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为 C. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆 11. 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. 在E上任取一点P，则的最小值为 B. 在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形 C. 若函数的最大值为b，则点在该星形线上 D. 若E上三点满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为___________. 13. 从1，2，3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数，，，则能被4整除的概率为________ 14. 已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则__________. 四、解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司调查员工使用AI工具熟练度，统计如下表： 熟练使用AI 不熟练使用AI 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI熟练度有关？ （2）从男员工按是否熟练使用AI进行分层抽样，抽取12人，再从中抽3人，记不熟练人数为X，求X的分布列与数学期望. 参考公式：，. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，分别为底面的中心和的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 17. 设函数. （1）证明：； （2）已知函数. （i）若，求； （ii）若，，，求函数与及围成的曲边三角形AOB的面积. 18. 已知抛物线上一点到它的准线的距离为3.若点A，B，C都在抛物线上，且点A，C在y轴右侧、点B在y轴左侧，的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足，直线BC交轴于点N.记，，的面积分别为，，. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 19. 设函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）在中，内角，，所对的边长分别为a，b，c. （i）若，求的最小值； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $