精品解析：湖北孝感市安陆市2025-2026学年度下学期期中质量检测八年级数学

安陆市2025～2026学年度下学期期中质量调研 八年级数学 本试卷共6页，卷满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，故不是最简二次根式； 故选C． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x-3≥0，解得x≥3． 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并规则和二次根式的性质，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能直接相加合并，∴A错误； 选项B：∵，结果不等于，∴B错误； 选项C：∵，∴C正确； 选项D：∵，二次根式的运算结果为非负数，结果不等于，∴D错误． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）． A. 2，3，4 B. 7，24，25 C. 6，7，8 D. 1，1，2 【答案】B 【解析】 【分析】要判断三边能否构成直角三角形，只需验证两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可． 【详解】解：选项A、，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意； 选项B、，，即，∴能构成直角三角形，符合题意； 选项C、，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意； 选项D、，∴不能构成三角形，不符合题意． 5. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，然后根据两直线平行，同旁内角互补得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 在下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以C选项正确； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误． 故选：C 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及菱形性质、勾股定理等知识，先由菱形性质得到，，且，再由勾股定理代值求解即可得到菱形的边长，熟记菱形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，对角线和相交于点，，， ，，且， 在中， 由勾股定理可得， 则菱形的边长为5． 故选：A． 8. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案． 【详解】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分； 菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； ∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考基础题． 9. 如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（ ） A. 12 B. C. D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得是的中位线，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，再根据直角三角形的性质可求得，从而求出的周长． 【详解】解：∵点O是矩形对角线的中点，E点为中点， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， 则的周长为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度． 10. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，点P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】通过作辅助线转化的值，根据两点之间线段最短可得就是的最小值，求出的值即得出的最小值． 【详解】解：连接， 正方形， 点C关于的对称点为点A， ， 根据两点之间线段最短可得就是的最小值， 正方形的边长为4，， ， ， 的最小值是5． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式除法的性质进行计算即可． 【详解】解：． 12. 在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，满足，把和的长度，代入即可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴． 13. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，正确记忆多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题关键．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 14. 在中，对角线，相交于点，若，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出和的长度，再利用三角形三边关系即可求出的取值范围． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，根据三角形三边关系，可得， 即， ∴． 15. 观察下列等式：①；②；③；…；根据以上规律， （1）第5个等式是______；（2）第n个等式可表示为：______（n为正整数）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接根据示例找出规律即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤； …； 则第n个等式可表示为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算，平方差公式，代入数值再进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ∵，， ∴． 18. 如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求证AC⊥CD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】在直角△ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到△ACD为直角三角形． 【详解】证明：∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC＝ ＝5， ∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 即AC⊥CD． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键． 19. 如图，在中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请从以下三个条件：①，②平分，③中，选择两个合适的作为已知条件，使四边形为菱形，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）选择条件：①，③，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形得出，再证出，即可得出结论； （2）选择条件①，③，先证，由直角三角形斜边上的中线等于斜边得一半得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：选择条件：①，③，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 20. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． （1）对二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用题干中的方法将分子有理化即可； （）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处． （1）求证：； （2）求重叠部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）通过矩形的性质可得，，，由折叠性质可知，，，所以，，然后证明，所以，然后通过线段的和与差即可求证； （）设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值，最后通过即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，有， 即，解得， ∴． 22. 如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 23. 如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】（）延长到点，使得，先证明，则有，，然后证明，则，最后通过线段的和与差即可求证； （）由（）得，则，由角平分线性质可得，设，则，，则，即，然后求出的值即可． 【小问1详解】 证明：延长到点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 24. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【解析】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，    ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安陆市2025～2026学年度下学期期中质量调研 八年级数学 本试卷共6页，卷满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）． A. 2，3，4 B. 7，24，25 C. 6，7，8 D. 1，1，2 5. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 9. 如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（ ） A. 12 B. C. D. 14 10. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，点P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 在中，，，，则______． 13. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 14. 在中，对角线，相交于点，若，，则的取值范围是______． 15. 观察下列等式：①；②；③；…；根据以上规律， （1）第5个等式是______；（2）第n个等式可表示为：______（n为正整数）． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求证AC⊥CD． 19. 如图，在中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请从以下三个条件：①，②平分，③中，选择两个合适的作为已知条件，使四边形为菱形，并加以证明． 20. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． （1）对二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 21. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处． （1）求证：； （2）求重叠部分的面积． 22. 如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 23. 如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $