精品解析：湖北省孝感市安陆市2024-2025学年八年级下学期期中质量调研数学试卷

安陆市2024—2025学年度下学期期中质量调研 八年级数学 本试共4页，卷满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键； 根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列式计算即可； 【详解】解：根据题意可知，， 即； 故选：B 2. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 3. 平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A. 8和14 B. 10和14 C. 18和20 D. 10和34 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，利用三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、两对角线的一半分别为4、7， ∵4+7=11＜12， ∴不能组成三角形，故本选项错误； B、两对角线的一半分别为5、7， ∵5+7=12， ∴不能组成三角形，故本选项错误； C、两对角线的一半分别为9、10， ∵9+10=19， ∴能组成三角形，故本选项正确； D、两对角线的一半分别为5、17， ∵5+12=17， ∴不能组成三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，三角形的三边关系，利用两对角线的一半与边长能否构成三角形判定是解题的关键． 4. 估算的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据二次根式的性质得出，即可求出答案． 【详解】解：， ， 即在和之间． 故选：C． 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 6. 的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，平行四边形的对角线互相平分，则平行四边形两条对角线的中点坐标相同，据此根据中点坐标计算公式列式求解即可． 【详解】解：∵平行四边形两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故选：D． 7. 《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设秋千绳索的长为尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：根据题意，设秋千绳索的长为尺， 则； 故选：C 8. 如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，由勾股定理求出，，即可判定①；由勾股定理的逆定理可判定②；根据三角形的面积公式求出的面积可判定③，据此即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：，故①正确； ，， ∵， ∴是直角三角形，故②正确； ，故③错误； 故选：A． 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. 78 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 10. 如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 当时，二次根式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 12. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为___________． 【答案】（19，180，181） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______． 【答案】48 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键． 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 中，，即， 解得：， 故答案为． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 17. 如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．利用四边形和是平行四边形，证明，，，则可得，继而证得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，垂足为． （1）若，，直接写出的值为 ； （2）若，，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （2）由已知可得，再分别在、和中，利用勾股定理可得，据此即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， 解得． 19. 已知三角形的三边长分别为、、，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式其中①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式②． 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积．（写出计算过程） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是选择合适的公式进行计算， 根据题意选择秦九韶公式代入，化简二次根式即可得出答案． 【详解】解：∵，，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便， ∴可代入公式②进行计算， ∵，，， ∴ ． 20. 【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小． 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． （1）把小明的求解过程补充完整； （2）小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； （3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）． 【答案】（1）见解析 （2）三角形的中位线等于第三边的一半 （3）示意图见解析， 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形中位线等于第三边的一半； 【小问3详解】 解：如图， ， ． 21. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 22. 阅读下列解题过程： （1）观察上面的解题过程，计算的结果是_____； （2）比较大小：______（用“>”，“<”，“=”填空）； （3）利用上面所提出的解法化简： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据题意利用平方差公式对其进行有理化，即可得到本题答案； （2）先将两个分数有理数再进行比较大小即可； （3）先将每个分数有理化，再进行合并计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： . 23. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． 【小问1详解】 解：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形面积为10， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24. 如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值． （3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度． 【答案】（1）见解析 （2）72 （3） 【解析】 【分析】（1）作交EF于点G，则，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形ABCD是正方形； （2）证明得，同理得出，即可得，设，，则，，，在中，由勾股定理得，进行计算得，即可得； （3）把沿PQ翻折得，把沿PR翻折得，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得，四边形PMGD是正方形，则，，即可得，，设，则，，在中，由勾股定理得，，进行计算即可得． 【小问1详解】 证明：如图所示，作交EF于点G， 则， ∵，， ∴， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴，， ∴， ∴四边形ABCD是正方形． 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴， 在和中， ， ∴（HL）， ∴， 在和中， ， ∴（HL）， ∴， ∴， 设，， 则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴ = = = =72． 【小问3详解】 解：如图所示，把沿PQ翻折得，把沿PR翻折得，延长DQ、MR交于点G， 由（1）（2）得，四边形PMGD是正方形，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 解得，， 即． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定，翻折变换的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点，本题综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安陆市2024—2025学年度下学期期中质量调研 八年级数学 本试共4页，卷满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 3. 平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A 8和14 B. 10和14 C. 18和20 D. 10和34 4. 估算的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. 78 B. C. D. 10. 如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 当时，二次根式的值是______． 12. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是________ 13. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为___________． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______． 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：． 18. 如图，在中，，垂足． （1）若，，直接写出的值为 ； （2）若，，求的长 19. 已知三角形的三边长分别为、、，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式其中①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式②． 一个三角形三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积．（写出计算过程） 20. 【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小． 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． （1）把小明的求解过程补充完整； （2）小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； （3）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）． 21. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 22. 阅读下列解题过程： （1）观察上面解题过程，计算的结果是_____； （2）比较大小：______（用“>”，“<”，“=”填空）； （3）利用上面所提出的解法化简： 23. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 24. 如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值． （3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $