河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第4次数学周测

**基本信息** 河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第4次数学周测，聚焦排列组合、导数应用等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二下学期阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7/42|排列组合（1、3）、导数几何意义（2）|第6题区域涂色结合分类计数，考查逻辑推理| |多选题|2/14|函数性质（8）、导数应用（9）|第9题函数零点与最值，体现数学思维的严谨性| |填空题|3/18|导数不等式（10）、排列组合（11）|第12题双函数最小值关联，考查数学抽象| |解答题|2/26|导数综合应用（14）|第14题切线与存在性问题，融合分类讨论与运算能力|

河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期第4次数学周测 2026.04.19 一、单选题：本题共7小题,每小题6分,共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 2．若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数是定义是在上的可导函数，其导函数满足，则的解集是（    ） A． B． C． D． 6．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 7．设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题,共14分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 8．若正实数满足，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若，且，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 10．记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为 ． 11．由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为______. 12．已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为______. 四、解答题：本题共2小题，共26分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13．（1）已知，；求的值； （2）解不等式. 14．已知函数 (1)若直线与曲线相切，求a的值； (2)若存在，使得，求a的取值范围． 参考答案 1．【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. 2．【答案】C 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 3．【答案】A 【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座， 每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是. 故选A． 4．【答案】A 【详解】解：的定义域是， ， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 若函数在区间上单调递减， 则且且，解得：， 故选． 5．【答案】D 【详解】解：令，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值也就是最大值，，所以恒成立，又当时，所以，所以恒成立，即的解集是 故选D 6．【答案】C 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4， （1）四种颜色都用： 先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1， 再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2， 再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3， 若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3， 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法. （2）四种颜色只用其中的三种颜色： 即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法. 综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法. 故选C 7．【答案】C 【详解】由可得，， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以，可得在上单调递增， 因为，所以在上单调递增， 因为在上的值域为， 所以， 所以方程在上有两解，． 即，令， 则与的图象有个不同的交点， ， 令，则对于恒成立， 所以在单调递增，因为， 所以当时，，；当时，，， 所以在上单调递减，在单调递增， ，， 若则与的图象有个不同的交点， 则，可得， 所以的取值范围是， 故选C. 8．【答案】AC 【详解】设，则在为减函数， 因为 所以， 因为所以，所以， 即，从而所以A正确，B错误； 而 所以所以，所以C正确，D错误. 故选AC. 9．【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，令，则，， ，当时，恒成立，在上单调递增； 在上单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确； 对于B，当时，，又为正实数，， ，当时，恒成立，在上单调递增， 则由得：，即， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，则正实数的最小值为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；，则； 不妨设，则必有， 若，则，等价于， 又，则等价于； 令，则， ，，，，即， 在上单调递增，，即， ，可知不成立，C错误； 对于D，由，得：，即， 由C知：在上单调递减，在上单调递增； ，，则，， ，即，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即的最大值为，D正确. 故选ABD. 10．【答案】 【分析】 首先设函数，利用导数判断函数的单调性，不等式等价于，利用函数的单调性，即可求解. 【详解】 设，，所以函数单调递增， 且，不等式，所以. 故答案为：. 11．【答案】156 【详解】若组成的4位偶数个位数字是0，则可从这5个数字中任选3个排在千、百、十位， 共有种排法； 若组成的4位偶数个位数字不是0，则需从中选一个排在个位，再从除0和个位已排数字以外的4个数中选一个排在千位， 第三步从千位和个位所排数字之外的4个数字中任选两个排在百位和十位， 共有种排法. 所以由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为. 12．【答案】 【详解】由题可得，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 对于函数，设，则， 则当时，取得最小值， 所以有解，即有解. 令，，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，为. 因为有解，所以. 故m的最小值为. 13．【答案】（1）（2）不等式的解集为 【详解】（1）由，得或， 所以或. 因为，所以. 所以. （2）由，得. 由，得，即， 即，即，解得， 因此，则， 即不等式的解集为. 14．【答案】(1) (2)． 【详解】（1）∵，∴． 设切点为，则，即，解得． （2）当时，由得，∴的定义域为． 由得，当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴． ∵存在，使得，∴，结合，解得． 当时，由得，∴的定义域为． 由得，当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴． ∵存在，使得，∴，结合，解得． 综上，的取值范围为． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $